专题03 直线、圆与圆锥曲线（抛物线与双曲线）（抢分专练）（天津专用） 2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题03 直线、圆与圆锥曲线（抛物线与双曲线） 题型 考情分析 考向预测 1．直线与圆的弦长和位置关系求参 2025年天津卷：9题考查了双曲线的离心率；12题圆的中点弦； 2024年天津卷：8题考查了双曲线的标准方程；12题点到直线的距离； 2023年天津卷： 9题考查了双曲线的标准方程。12题根据直线与圆的位置关系求参数；   判断直线与圆(相交/相切/相离)，求半径；弦长计算(勾股+距离公式)、圆上点到直线的最值(d±r)。双曲线：定义、渐近线、离心率。抛物线：定义（到焦点=到准线）、焦点弦、与圆/直线相切等计算。 2.双曲线的标准方程、离心率问题 3.抛物线的标准方程、定义及其相关性质 题型1 直线与圆的弦长和位置关系求参； ①两点间的距离：平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 ②点到直线的距离：点到直线的距离 圆的常用结论：（1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 【例1】（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 【变式1-1】（2026·天津南开·一模）过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 【变式1-2】（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 题型2双曲线的标准方程、离心率问题 解题技巧：双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系 【例2】1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【变式2-2】（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 题型3 抛物线的标准方程、定义及其相关性质 1.焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2.的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3.焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4） 的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 4.求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 【例3】（2026·天津红桥·一模）设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 【变式3-2】（25-26高三上·天津西青·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________. 1．（2026·天津东丽·一模）已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·天津和平·一模）已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 9．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 10．（2026·天津河西·一模）直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 11．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 12．（2026·天津河北·一模）抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 14．（2026·山东德州·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线、圆与圆锥曲线（抛物线与双曲线） 题型 考情分析 考向预测 1．直线与圆的弦长和位置关系求参 2025年天津卷：9题考查了双曲线的离心率；12题圆的中点弦； 2024年天津卷：8题考查了双曲线的标准方程；12题点到直线的距离； 2023年天津卷： 9题考查了双曲线的标准方程。12题根据直线与圆的位置关系求参数；   判断直线与圆(相交/相切/相离)，求半径；弦长计算(勾股+距离公式)、圆上点到直线的最值(d±r)。双曲线：定义、渐近线、离心率。抛物线：定义（到焦点=到准线）、焦点弦、与圆/直线相切等计算。 2.双曲线的标准方程、离心率问题 3.抛物线的标准方程、定义及其相关性质 题型1 直线与圆的弦长和位置关系求参； ①两点间的距离：平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 ②点到直线的距离：点到直线的距离 圆的常用结论：（1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 【例1】（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得圆心坐标为，则，，则，准线方程为 不妨取，因为该圆与抛物线交于，两点，则， 联立，解得或（舍去）， 则根据对称性有，解得， 则圆，则. 【变式1-1】（2026·天津南开·一模）过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【详解】联立，解得或， 所以交点坐标为或， 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 综上所述，弦长为 【变式1-2】（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 题型2双曲线的标准方程、离心率问题 解题技巧：双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系 【例2】1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 【变式2-1】（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量垂直的条件构建等式，找出双曲线中的关系，从而得离心率. 【详解】对于双曲线，右焦点为，其中，离心率， 渐近线为， 因为抛物线以为焦点，故，即. 又因为准线交渐近线于，将代入渐近线方程得：，过作轴的垂线，交抛物线于第一象限的点， 因为，即向量， 又因为，， 所以，整理得：， 所以离心率. 【变式2-2】（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 题型3 抛物线的标准方程、定义及其相关性质 1.焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2.的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3.焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4） 的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 4.求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 【例3】（2026·天津红桥·一模）设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得点为靠近的三等分点，故设，得到，再根据焦半径公式得，再将点的坐标代入抛物线方程即可求得. 【详解】由题知抛物线的焦点，准线为， 设，由可知点为靠近的三等分点， 所以， 因为点到抛物线准线的距离为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，， 将点代入抛物线方程得，解得， 所以点的纵坐标为. 【变式3-1】（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 【答案】 【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得. 【详解】抛物线的准线为， 因为点在上，所以，得， 所以抛物线的焦点为， 线段的中点坐标为，， 所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则，. 【变式3-2】（25-26高三上·天津西青·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________. 【答案】2 【分析】由焦半径公式可求出点的坐标，进而求出圆的方程，令，即可求解. 【详解】由题意知，， 又点在抛物线上且在第一象限，所以，故点为， 则以点为圆心3为半径的圆的方程为， 令得或，故以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 1．（2026·天津东丽·一模）已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数定义，结合渐近线的倾斜角、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 2．（2026·天津·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】由可得为中点，再设出点坐标，可表示出点坐标，则可利用及点在双曲线上列出与、、有关等式，最后利用离心率定义计算即可得. 【详解】由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 3．（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，双曲线（，）的渐近线方程为， 取，即，因为，且圆的半径为， 则到的距离为， 所以，结合， 整理得到，即的离心率为. 5．（2026·天津和平·一模）已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的，求出，再结合直线的斜率为可得，进而结合的关系求解即可. 【详解】抛物线的准线的方程为，则焦点， 而双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第四象限内的点， 联立，解得，即， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，易得， 而，， 在中，，即， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 4．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 7．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 8．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 【答案】 【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得. 【详解】抛物线的准线为， 因为点在上，所以，得， 所以抛物线的焦点为， 线段的中点坐标为，， 所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则，. 9．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可. 【详解】设圆心，， 由题意得，解得或0（舍去）， 则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 10．（2026·天津河西·一模）直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 【答案】1或 【详解】由，得，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，又， ，解得. 11．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设到直线的距离为， 则有， 即，解得， 故实数的取值范围为. 12．（2026·天津河北·一模）抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】确定抛物线的焦点与过点的切线，求出，可知，进而有外接圆以为直径，即可求解. 【详解】由题意，，设， 因为，所以切线方程为， 代入得，点P在第一象限， 所以，从而， 所以外接圆以为直径， 当时，圆心为，半径为， 圆的方程为； 所以外接圆的标准方程为． 13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 14．（2026·山东德州·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义，结合已知建立方程，再利用给定的三角形面积列式求解. 【详解】抛物线，焦点为，准线为， 准线与x轴交点，； 设，由抛物线定义可得，且满足， 由于，则， 即， 故，可得，即得， 结合，可得， 的面积为2，故，即，解得. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $