专题08 直线、圆与圆锥曲线（7年汇编）（天津专用）2020-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2020-2026年天津高考真题及模拟题，聚焦直线、圆与圆锥曲线5大核心考点，系统呈现命题规律与创新趋势，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|7题|直线与圆弦长计算、抛物线综合|依托勾股关系、点到直线距离公式，陷阱设置斜率不存在等易错点| |选择题|10题|双曲线方程与离心率|结合抛物线准线、焦点三角形等交叉命题，构造齐次式求离心率| |解答题|7题（15分/题）|椭圆综合|分梯度设计，第一问求方程/离心率，第二问融合切线、存在性等几何条件，强化韦达定理应用|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08直线、[ 圆与圆锥曲线 7年真题1年模拟 七年真题分类园 @ 考点01直线与圆的弦长问题 1.2 2.2 4.5 @ 考点02求双曲线的方程 1.A 2.D 3.D 4.D 考点03求双曲线的离心率 1.D 2.A 3.A 考点04抛物线的综合 1.②④ 1/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 2.50.8 3.6 考点05椭圆综合（解答题) 【详解】山由于椭圆的离心率为)所以e。”即。2 由于a2=b2+c2,所以b2=3c2, 将x=b代入椭圆方程，得a2炉1乙 b2,y2 2 y2=3c2 ，即43T,解得4，助3 2c, 由题意，所截得的线段长为V3,所以2x2C⑤ ,解得c=1,从而a2=4,b2=3, x2,y2 所以椭圆的方程为4+31 (2)由(1)可知， 6=3,所以圆的方程为 2+y2=3 设直线'的方程为”=3x+m,因为直线'与圆相切，如图所示， m d= 则圆心到直线的距离 ) 2 ,解得 m=+2V3 椭圆上顶 A0,5) 分两种情况讨论： @当m25时，直线的方程为x+23,代入稀圆方程子+片 2/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 化简得5x2-16r+12=0,解得x=2或x=5, 64V3 则当=2时y=0,当 5时，少4 ,由于y<⅓，所以P2,0), 55 45-5 则k0-55,名= 5飞」 2 一=6，此时无方3： =3 k= 2-02 6 @当m时，直线，的方程为3x25,代入精圆方在父+片 化筒得5+16r+12=0:解得2或=。 当x=-2时，=0，当=时，少=-4 6 p_6.-45,(-2,0) 5，由于y<2,所以气55 455 则4 35 3w5 k」 25=3 -6-02’k2-055,此时% -2-02 2 k 综上所述，k2的值为3. x2 y2 2。【详解】(1)依题意，设椭圆d+方=1(a>b>0 的半焦距为C, 则左焦点F(-c,0,右顶点a,0y,离心幸e=。-。 a2,即a=2c, 因为P为x=a上一点，设P(a,m), 又直线pr的斜率为则”即片。} ,m-01 a+c3, m I 所以2c+c3,解得m=c,则P(a,c),即P(2c,c), 3 因为aPFA的面积为2，|AF卡a-(-c)=a+c=3c,高为m=c, 所以S-例-xe-.解得e=l 3/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2.y2 =1 所以椭圆的方程为43 (2)由(1)可知P(2,1),F(-1,0),A2,0). 易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=c+m,则1=2k+m,即m=1-2k, y=kx+m 联立 4 生1，消去v得，3+4k2+8r+4m2-12 因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(8k:m'-43+43)(4m-12)=0 即4-m+3=0则4-0-2旷+3=0，解得=分，则m=2 所以直线P8的方程为=+2， 1 y= +2 x=1 联立 x2,y2 ,解得3，则。 =1 y= 43 2 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则 FB.FP 2x3+3x1 310 coS∠BFP= 所以 F@-F丽 10 V32+12 4/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FA.Fp3×3+1×03√10 Cos∠PFA= FAFP332+1210, 则cos∠BFP=cos∠PFA:又∠BFP,∠PFAe(.孕. 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB 3 -03 1-01 法三：所以k进2D4KrP2-30 31 10 43 1 由两直线夹角公式，得an∠BFP tan∠PFA= 3 1 133, 1+0 3, 1+34 则an∠BFP=tan∠pEM:又∠BFP,∠PFAe0, 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB 达三：则m∠PA=n.n∠BA-a 1 2x1 故an2∠PFA= 2tan∠PFA 33 ，=tan∠BFA 1-tan2∠PFA 1)2 4 1入3 又∠BFP,∠PFAe(0,.2, 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB 303 法四：则ka户4 2 所以直线B的方程为+)，即3y+30 3×2-4×1+3 = 1=1 则点p到直线FB的距离为 V32+(-4) 又点P到直线FA的距离也为1， 所以PF平分∠AFB 1 3.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e=2,故a=2c,b=V3c,其中c为半焦距， 5/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4《a叭acae马-9 -C= 22 故c=5,所以a=25,6=3,放括因方程为：2十)1 (2) 0、3 过点2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：少石、3 2, 设P(0()70,) 3x2+4y2=36 由=a 可得(3+4k2)x2-12-27=0, 27 散△44ki08B+42+6>0月+为3十3+ 而严=(G-0,西=(4-） 而=+0--小=+多气小 故 =0+)s-3+j+)r[3+小 =0e小层 27-27-18-127+337j+06+2刘 3+4k2 6/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [e+2-1r-45]k+8-27 3+4k2 (3+2)}2-121-45≤0 -27s0·得31s 2 因为 恒成立， P.T0≤0 3 0, 若过点 2J的动直线的斜率不存在，则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),0(0,3), 此时需-3≤t≤3， 两者结合可得-3s1≤3 T(0,t) 综上，存在 32 使得严.T见≤0恒成立 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借 助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设： x2,y2 1 4.【答案】)椭圆的方程为4十了，离心率为°2. =1 g少6 (x-2) 【详解】(1)如图， F a+c=3 由题意得a-c=1,解得a=2,c=l,所以b=V22-1P=5, 7/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2,y2 =1 e=一= 所以椭圆的方程为43，离心率为a2 -=1 (2)由题意得，直线4，P斜率存在，由椭圆的方程为43可得4(2,0)， 设直线4P的方程为”=x-2) 43 联立方程组 y=k(x-2),消去y整理得：(3+42)x2-16k2x+16k2-12=0: 16k2-12 3+4k2，所以xp= 8k2-6 由韦达定理得x·xp= 3+4k2, 8k2-6-12k 所以3+4k23+4k2,Q(0,-2k) 所以5a=安4xp园5m1刘，w-4x， 1 所以34e4=S.4e+S44n=2S6m+SP 所以2a=3.即2-2=3,12k 3+4k2: ￥6 解得 2,所以直线4P的方为6 2(x-2) BF b2+c2 5【详解】4)解：HB2+a公+a=24如=3你+a)户a=3次☐ a2-b2√6 3 2+3y2=a2 (2)解：由(1)可知椭圆的方程为 易知直线的斜率存在，设直线I的方程为y=a+m, 8/26 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [y=kx+m 联立1x2+3y2=a2得（1+3k2)x2+6mx+(3m2-a2）=0, 由4=36m-40+3k3m-)=03m=a+3),0 XM= 3km m 3+,=,+m=1+3次2， OM=ONI可程m≤m（(9k+ (32+12，② 5=5可0州-6， 联立0@烟回物-m-4。-6越祝圆的标准方程为。苦1 x2 y2 6.【详解】(1)易知点F(c,0)、B(0,b),故lBF=V+B=a=5 因为椭圆的离心率为a5,故c=2,b=V2 因此，椭圆的方程为5+少=山： (2②设点M6)为椭园5+P-1上一点， Xox 先证明直线MN的方程为亏+y=1, Xox+yoy=1 联立 ,消去并整理得 5+21 y x2-2x0x+x=0△=4x6-4x=0 因此，箱网写+少=1在点M气，以)处的切线方程为号+%= 9/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 1 在直线N的方程中，今x0,可得"元，由题意可知%>0，即点， 1 y=2x+ 直线BF的斜率为 c2,所以，直线PN的方程为 1 (_1,0 在直线PN的方程中，令y=0,可得=2或，即点气2%0， 1 因为，则 12x+12,整理可得 MP/IBF kup=kBF 即x+20 +5%)}=01 _V6 所以，，=-5y,因为5 +=66=1,∴6>0，故 =56 6, 6, 6x+6 所以，直线的方程为6 61 ,即x-y+V6=0 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： (1)设切线方程为y=+m与椭圆方程联立，由△=0进行求解： x2,y2 Xox yoy=1 (2)稀圆+云-1在其上一点(（化)的切线方程为等+分 ,再应用此方程时，首先应证明直线 +y=1, x2,y2 ”+尔引与椭圆正+京引相切 10126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2,y2 7.【详解】(I)椭圆a+京=1(a>b>0 的一个顶点为4A(0,-3). .b=3, 由o4=or, 得C=b=3. 又由a2=b2+c2,得a2=32+32=18, 所以，椭圆的方程为9+。1： (I):直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以CP⊥AB, 根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在， 设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y+3=a,即y=x-3, y=-3 12k 名8+。，法可得2+-2=0：解得X0政x2农 12k 将x 2P+代入y=-3:得y=k12-3=62-3 2k2+11 2k2+1 12k6k2-3 所以，点B的坐标为2k2+1'2k2+1, 因为P为线段AB的中点，点A的坐标为0，-3) 6k-3 所以点P的坐标为2k2+1'2k2+1, 由30C=0F,得点C的坐标为L0) -3 所以，直线的斜率为c卿=221V 3 。6k-12k2-6k+1, CP 2k2+1 3 又因为cP1AB,所以k2-6k+-1, 11/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 整理得2k2-3k+1=0,解得k=2或k=1 所以，直线AB的方程为y=2-3或y=x-3. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式 以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置 关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程 一年模拟练测园 1.B 2.D 3.52-5 4.=+5-1或=x-2- 5.(x+1'++83=196 6.5 7.(x-2y2+2=8 8.4 9.2 10.(x+1)+(y-1)2=1 .号 2.分 13【详解】1)由e2-11 1-2,得a=2b, 自点0：0：可知直线8的方程为后名-1，即+2，-26-0 12126 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V6 10+0-√2b1√2b√6 由于原点0到直线AB的距离为3，即VP+(W2列 33, 得b=1,a=26=5 所以椭圆E的标准方程为2+y=1, (②)假设存在直线'交椭圆于P,Q两点，设P(,少），(，) 右焦点FL,O),B(0,1), 因为F为△BPO的垂心，所以BF⊥P, 因为s-0-,所以ke= 1-0 设直线的方程为y=x+m, x2 、+y2=1, 由 y=x+m,得3x2+4mx+2m2-2=0” 由4>0，（4m-43x2m-2小0，得m<3, 3,5=2m2-2 且+书=-4 3 因为BP1F.P=(y-).F=(-1) 故西-)+%0-)=0，(6-+(3+m)+m-1)=0 即2年5+(+)0m-1)+m2-m=0 代入整理，得3m2+m-4=0, 4 解得m=-3,或m=1 经检验，当m=1时，△BPQ不存在，故舍去， 13/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 当m=一3时，满足A>0,所求直线存在，所以，的方程为y=x- 3 A B P A 14. 【详解】(1)因为椭圆的短轴长为2，所以2b=2,即b2=1, 又心=1g-1,所以p4 3s、 a2 1a44 所以椭圆的方程为4+少L. (2) M B 设PC直线方程为”=k(x+2),>0, y=k(x+2) 则由4+少=1，可得(42+)x+162x+16k2-4=0, 16k2-4 -8k2+2 (-2=4+,x=4w+1 4k .=42+1,令x=2P(2,4) 1 4k4k 5a40e-2x2x 4k2+14k2+1 14126 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ×4kx2- 2-8k2) 32k3 4k2+1厂4k2+1, 4K32k3 由题意可知SAc=SAc’ 4k2+14k2+1’ 、② 解得4。 e-c=25 2V5 C= 15.【详解】(1)因为a5,所以5“， 由x=c代入。+发=1，可得旷- a,y=tb b2b2)_2b2_25 所以椭圆的通径长为aa厂。兮，即5=5。 a, 、由2b+2可得二Sa+2,解得。、 所以 5a=1 x2 所以椭圆的方程为5+少=1. (2) N B M 0 F2 15126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由（山）可知P(5.,0),e0,-) 所以PO=5+1=V6 百线心所在百线方程为1点， x,即x+5y+5=0 设75eo0如o0c0引】 设T点到直线PQ的距离为d,则 d5as8+5m0月.5s0-5g+55m0+- V1+5 6 6 所以5wPed=sno 2sm++5 42, √10+√5 当0=4时，Sor有最大值2 6)咽为(-2,0) 设直线'方程为=侧-2，代入稻圆方程可得㎡+5)少-4-1=0， m+5,所以中点M的纵坐标y4=当+五=2m 4m 设A(G,出)，B(x,),则+ 25+m2, +-2=10 所以w=mw-2=2m3 102m】 5+m,即5+m25+m2, -x 102m） 16126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以GGN=1+20+10老0恒成立，则周20+10=0·解得，2 m2+5 即x轴上存在定 G(-2,0),使得以MW为直径的圆恒过点G. 16. 【详解】(1)由题意可知， a=2 a=2 由公=B+c,解得6=5 19 (a+46=1 c=1 ∴.椭圆的方程：43 c_1 离心率为e= a 2 (2)①-10.BL0),由于直线斜率不为0，则设直线1：x=m+-,B(,C(,) x=my+-1 联立方程组 后+号1,0：mr-6m9-0 6m -9 所以y+4=3m2+45=3m+4 焦点弦长BC=1+m+广-45=+m 6m)2 12Wm2+1 3m2+4 4×-9 =V1+m2× 3m2+4 3m2+4, 12 d=- 2 点F2到直线1的距离”V1+m2V1+m2, 5.ccd 12 3m2+43m2+11 Vm2+1, 令1=m产+1≥，所以0-=3+在轧四)上单调递增，所以0≥0=4， 17126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3Vm2+1+ 1 =≥4 所以 √m2+1,当m=0时等号成立， 12 SBCF:= 所以 3Vm2+1+ 1s3 ，当。时等号成立， √m2+1 m=0 △F,BC 即 面积的最大值为3 YA F OF (i) A(2,0) 3 关于x轴对称，∴.点M,N关于原点对称，∴.以MN为直径的圆圆 心为O,半径为OM OM 4O 2 :M0MBF,∴.BFAPAMOA,则BFAE3,.OM=1, 又DF=OF=,六圆0与X轴的裁得的弦为F5,F-2 M F 当直线I斜率存在时，设直线：y=x+k, 设()，C(,) 18126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [y=kx+k 联立方程组 存+号-1，整理得6+4F++-2=0 8k2 4k2-12 则x+x2=一 3+4k2,3= 3+4k2, -9k2 =k(xx++为+)=3中4， w-子0，则头， 号名令0期头， 丽雨 -1头2西 4y y2 乡 4× -9k2 即FM·FN=1+ 3+4k2 -36k2 4-2 8k2）.4k2-12 12+162+16k2+4h2-12=1-1=0 =1 3+4k23+4k2 M⊥FN FM⊥F,N 即 同理可证 在以W为直径的圆上，又.， F,F 即点 2在x轴上， ∴.以N为直径的圆被x轴截得的弦为 FF FF=2 综上所述：以W为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2. 19126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17. 【详解】(1) y D 由题意得BD=V云2+F,EF引=2c 所后46-92，又d-2 2 所以N+a--5c,整理得“=2c, 所以椭圆C的离心率e一。2： (2) B 由可狗方0，代入=-e=a-j小， 1 整理得a2=2b2, 20126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2.y2 所以椭圆C的方程为方+尔1，A(2,0以， 设直线1E的方程为=wv-V26, 联立方程组 262+6京-1 x=my-V26'得(m2+2)y2-2V2m=0 则 2√2mb =2mb-2V26 m2+2, m2+2, x=√2b 联立x=mw-V2b,解得P 262②6） m, 2√2mb 2√2b m2+2 设 op=m=2,因 ,则E= 、n 2 √2bm B2b,0 √2m2b-2W2b-√2b m2+2 所以apke=- ，则OPL BE 垂足为H, 因此△OBH的外接圆是以 OB=2b 为直径，OB的中点为圆心的圆， 设圆心为7 所以圆T的标准方程为 2 +- 2, √2 设A0的中点为 20 则TG=2b, 连接MT,由题意知M71GM,7G=OB=2M 所以∠MGT= 石，由对称性可知∠MGN=行，且GM-GN, 则△MGN是等边三角形， IGM=V 2, 因tw-5(V@-35 =42=8,解得6=1 21126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以椭圆C的标准方程为2+少=1. 18. 【详解】(1)因为当P与椭圆短轴顶点重合时，△PAB的面积最大， 此时最大值为2(2ab=ab, 所以 b=2V3 1c1 又因为椭圆的离心率为2，即。2， 所以a=2c, 又因为b2=a2-c2=3c2, =3c 所以 b=2V3c2=23 所以 所以c2=1, 2=4c2=4,b2=3c2=3 所以 x2,y2 所以C的方程：令+了： (2)证明：由(1)可知F(L,0), 设直线：x=my+1, x=my+1 由3x2+4y2=12, 得3m+4y2+6my-9=0 △=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0 22126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (x,y),E(x2,y2) 设 6m 9 则片+2= 3m㎡+45=3m2+4<0, 不妨设片>05<0 则s=oF1x1+oFHF-2, 8 又因为+名=m心+1+m,+1=m0g+,)+2=3m+4, 所以线段DE的中点G( 4-3m1 m2+4’3m2+4, -3m) 所以N43m+4, -3m -3m 所以k= 为-3m+4_为-3mt4. x-4 my-3 -3m -3m _3m+4_为3m2t4】 k2= x2-4 my2-3 -3m -3m 所以k-| -3m2+4_片3m2+4 my-3 my2-3 -3m)(y2-3)-(y2-3m2+4)(y1-3) 0y-3m2+4 (my,-3)(my2-3) ，+3) m2yy2-3m(0y+y2)+9 3m2 2-y) +3 3m2+4 36(m2+1) 3m2+4 23126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =凸 Γ3 1 =304-), 20-4)3 所以k- 所以k-k2为定值， B G 9 详解】(1)由已知F(b,0,则c6.a2=2c2es2 2 压--0-2b (2)(i)设点P(x%),于是V2 所以-为-36=0或-%+b=0 或 mFy0天：由+3动用个 x-y-3b=0 x-y+b=0 1 又因为三角形P℉5面积S=2×2b×b=3,所以6=1， 3 x2 于是，椭圆的方程为2+少=1. （i)设直线人：y=+m代入椭圆C的方程+2y=2中，得(2k2+小r+4mx+2m-2=0 由已知△=0，即m2=2k2+1 24126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同时FM m-k m+k V1+k2, IMN]= FM-FN V1+k2, k, 2km_2m_2m-4v2 易知四边形 为梯形.所以sM中ENN士☒1+1+m-13 FMNF 2 m2-1-V2 解得m=反，所以=2=之. 所以，直线的方程为x M B 20. 【详解】(1)依题意有 e6-24 2,解得 a=2. a2=b2+c2 b=1 C=V3 故椭圆B的方程为4+广=1. (②设直线的方程为=+-1，伥≠，点M(,）.N飞，)，则点P(,), y=当-1 -1 直线CP的方程为x,直线OD的方程为y=x, 联立得点气(-片+1'-y+1: 25126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [y=+k-1 由x2+4y2=4消去y得(4+1)x2+8kk-)x+4(k2-2k)=0, 8k(k-1) 4k2+1 则 (k2-2k) =64k2(k-12-16(4k2+1)(k2-2k)=16(3k2+2k)>0’x= 4k2+1 0=-,2x+y-1） 而点B(0,1),则 2气x-4+1'x-y+1,BN=(,21), -x(凸-_（-2x+片-)x=-x(,+k-2)_（-2x++k-2)x 因为-y+1x-片+1 -片+1 x-y+1 =2-0-k-2s+)2- 4-2）+-2)4 4k2+1 4k2+1=0 -出+1 x-y+1 所以丽，又0，丽有公共点B,所以点B在直线№上 B M 26126 专题08 直线、圆与圆锥曲线 7年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2020-2026） 命题规律 考点01直线与圆弦长、位置计算 2025天津：直线与圆相交，结合弦长公式求解参数 2022天津：直线截圆，结合点到直线距离公式求参数 2021天津：斜率已知的直线与圆相切，求值计算 2020天津：直线与圆相交弦长计算，反求直线参数 该考点为填空基础题型，难度偏低。核心依托圆心到直线距离、半径、半弦长的勾股关系解题。命题侧重运算熟练度，陷阱集中在直线斜率不存在、参数正负取舍，是解析几何入门必拿分题型。 考点02双曲线方程求解 2024天津：双曲线焦点三角形直角、面积条件，求标准方程 2023天津：双曲线焦点向渐近线作垂线，求标准方程 2022天津：抛物线准线结合双曲线渐近线，求标准方程 2020天津：双曲线渐近线与已知直线平行/垂直，求标准方程 该考点为选择题中档题型，固定考查双曲线基本量求解。命题变化显著，早年仅依靠渐近线列式求解，近年频繁与抛物线准线、焦点三角形、直线斜率垂直条件综合设问。解题需结合双曲线定义与几何图形，计算量逐步加大，侧重数形结合思想，是区分基础薄弱学生的核心题型。 考点03双曲线离心率计算 2026天津：双曲线顶点、焦点、曲线上点结合，求离心率 2025天津：双曲线与抛物线交点联立，求离心率 2021天津：抛物线准线截双曲线，结合线段长度求离心率 该考点为选择压轴高频题型，难度中等偏上，是近年命题创新重点。核心变化在于双曲线与抛物线交叉命题，利用抛物线焦点、准线提供的数值条件，替代传统单纯关系式的考法。多借助坐标、线段长度构造齐次式求解离心率，常结合直角、相似几何条件，对学生代数变形与几何转化能力要求显著提升。 考点04抛物线综合小题 2026天津：抛物线上四点直线交点，多结论正误判断 2024天津：抛物线焦点与圆相交，求原点到直线距离 2023天津：抛物线切线与曲线相交，线段长度计算 该考点以填空形式考查，2026年新增多结论判断题为核心变化。命题常融合圆、切线、坐标轴交点等条件，可利用抛物线上点纵坐标定值结论简化计算。不再单纯考查焦半径基础公式，侧重直线交点定值推导，逻辑判断类设问增多，对学生严谨推导与数形结合能力要求更高。 考点05椭圆综合解答题 2026天津：椭圆离心率求解+动直线相切斜率乘积计算 2025天津：椭圆切线性质+角平分线证明综合题 2024天津：椭圆动直线存在性+参数范围求解 2023天津：椭圆面积比例条件+直线方程求解 2022天津：椭圆切线与向量结合+椭圆方程求解 2021天津：椭圆切线垂直直线条件+数值计算 2020天津：椭圆中点性质+圆切线综合+直线方程求解 该考点为解析几何核心大题，固定15分，分2小问梯度清晰，是全卷区分高分的核心题型。第一问稳定考查椭圆方程、离心率求解，为基础送分内容；第二问综合性逐年提升，早年侧重面积、弦长基础计算，近年新增角平分线、存在性、参数范围、向量条件等综合设问。核心解法为直线与椭圆联立+韦达定理，近年强化几何条件转化，计算量持续加大，对学生综合运算与逻辑推理能力要求极高。 考点01 直线与圆的弦长问题 1．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 2．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 3．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 【答案】 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 4．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 考点02 求双曲线的方程 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 2．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 3．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为， 又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得． 故选：． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题． 考点03 求双曲线的离心率 1．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 3．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 考点04 抛物线的综合 1．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 2．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】/ 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 3．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 【答案】 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 考点05 椭圆综合（解答题） 1．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 2．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 4．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 5．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 6．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切. 7．（2020·天津·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 1．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在以为直径的圆上，所以，延长交于点， 在中，已知且即平分， 故为等腰三角形，有，且为的中点， 同时根据双曲线的定义以及在第一象限，有， 所以，又因为分别为的中点， 所以且，已知直线斜率为， 则直线的斜率也为，所以，可得， 由可得， 在中，根据余弦定理有， 即， 整理得，于是有，解得. 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 3．（2026·天津·模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 4．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 5．（2026·天津·二模）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 【答案】 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为圆的圆心在抛物线的准线上，所以设圆的圆心坐标为， 则圆的半径为， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以半径， 因此圆的方程为. 6．（2026·天津·模拟预测）已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为__________． 【答案】5 【详解】由题意得，，切线斜率，切点为，切线方程为，即. 直线与圆联立， 整理得，解得，. 到直线的距离为， 故 7．（2026·天津武清·模拟预测）以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆中，面积最大的圆的标准方程为_________． 【答案】 【详解】直线恒过定点，抛物线的焦点为， 当直线与圆相切，切点为点，此时圆的面积最大，半径为， 所以面积最大的圆的标准方程为. 8．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 9．（2026·天津和平·三模）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______． 【答案】2 【详解】由题意得，抛物线的焦点为， 则直线方程为，即， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 故所求的弦长为.    10．（2026·天津北辰·二模）在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为，则， 直线在轴上的截距为，故， 设内切圆的标准方程为， 则，解得， 该圆与轴、轴相切，故， 由内切圆圆心在内部，故圆心坐标为， 即内切圆的标准方程为. 11．（2026·天津河西·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，准线， 则以为圆心，且与相切的圆的方程为， 抛物线上一点位于第四象限，设， ，即，解得，所以， 直线过点，且与直线垂直，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即， 直线与圆相交于两点， 联立可得，代入可得， 解得，因此， 所以. 12．（2026·天津河东·三模）是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【详解】是双曲线的左右焦点，在右支、在左支，根据双曲线定义： 对右支上的：， 对左支上的：， 因为，是等边三角形，设，且直线顺次为，因此， 代入的定义式：，得；再代入的定义式，得，因此等边边长， 点处，，在的延长线上，因此， 在中，，由余弦定理： ， 代入， 化简得，即，因此离心率. 13．（2026·天津河北·二模）已知椭圆：的离心率为，，，且原点到直线AB的距离等于. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在直线，交椭圆于、两点，使得椭圆的右焦点为三角形BPQ的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）由，得， 由点，，可知直线AB的方程为，即. 由于原点到直线AB的距离为，即， 得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）假设存在直线交椭圆于，两点，设，， 右焦点，， 因为为的垂心，所以， 因为，所以. 设直线的方程为， 由得， 由，，得， 且，， 因为，，， 故，， 即， 代入整理，得， 解得，或. 经检验，当时，不存在，故舍去， 当时，满足，所求直线存在，所以的方程为. 14．（2026·天津·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，所以，即， 又，所以， 所以椭圆的方程为. （2） 设直线方程为， 则由，可得， ∴，∴， ∴，令，∴， ∴， ∴， 由题意可知，， 解得. 15．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得， 设，则，所以中点的纵坐标， 所以，即， 所以所在直线方程为，令，可得，即， 假设在轴上存在一定点满足题意，则， 所以恒成立，则需，解得， 即轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 由代入，可得，， 所以椭圆的通径长为，即， 由可得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. （2） 由（1）可知， 所以， 直线所在直线方程为，即 设， 设点到直线的距离为，则， 所以， 当时，有最大值. （3）略 16．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为，离心率为 (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知， 由，解得， ∴椭圆的方程：. 离心率为 （2）（i），，由于直线斜率不为，则设直线， 联立方程组，得： 所以 焦点弦长， 点到直线的距离， ∴， 令，所以在上单调递增，所以， 所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 即面积的最大值为 （ii）， 当轴时，交点，关于轴对称，∴点关于原点对称，∴以为直径的圆圆心为，半径为 ∵，∴，则，∴， 又∵，∴圆与轴的截得的弦为， 当直线斜率存在时，设直线， 设， 联立方程组，整理得， 则，， ， 直线，令，则， 直线，令，则..， 则，， 则 即 即，同理可证， 即点在以MN为直径的圆上，又∵在轴上， ∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为，， 综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2. 17．（2026·天津红桥·二模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，上顶点为，左、右焦点分别为，且． (1)求椭圆的离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为，且的面积为，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） 由题意得，， 所以，又， 所以，整理得， 所以椭圆的离心率； （2） 由（1）可得，代入，整理得， 所以椭圆的方程为，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 则，， 联立，解得， 设，因为，则， 所以，则，垂足为H， 因此的外接圆是以为直径，的中点为圆心的圆， 设圆心为，所以圆T的标准方程为， 设的中点为，则， 连接，由题意知，， 所以，由对称性可知，且， 则是等边三角形，， 因此，解得， 所以椭圆C的标准方程为． 18．（2026·天津武清·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明：由（1）可知， 设直线， 由， 得， 设， 则， 不妨设， 则， 又因为， 所以线段的中点， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以， 所以为定值.    【分析】 【详解】（1）因为当与椭圆短轴顶点重合时，的面积最大， 此时最大值为， 所以， 又因为椭圆的离心率为，即， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的方程：; （2）略 19．（2026·天津·二模）设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】 【详解】（1）由已知，则．，． （2）（ⅰ）设点，于是， 所以或， 而无解；由得 又因为三角形面积，所以， 于是，椭圆的方程为． （ⅱ）设直线：代入椭圆的方程中，得 由已知，即 同时，，， 易知四边形为梯形，所以， 解得，所以. 所以，直线的方程为． 20．（2026·天津北辰·二模）已知椭圆：的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，离心率为，的面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)已知斜率存在且不为1的直线经过点，且与椭圆E交于不同的两点M，N（均不与点B重合），点P与点M关于原点O对称，直线与直线交于点Q.求证：点B在直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意有，解得. 故椭圆E的方程为. （2）设直线的方程为，，点，，则点， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得点， 由消去得， 则，， 而点，则，， 因为 ， 所以，又，有公共点B，所以点B在直线上. 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线、圆与圆锥曲线 7年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2020-2026） 命题规律 考点01直线与圆弦长、位置计算 2025天津：直线与圆相交，结合弦长公式求解参数 2022天津：直线截圆，结合点到直线距离公式求参数 2021天津：斜率已知的直线与圆相切，求值计算 2020天津：直线与圆相交弦长计算，反求直线参数 该考点为填空基础题型，难度偏低。核心依托圆心到直线距离、半径、半弦长的勾股关系解题。命题侧重运算熟练度，陷阱集中在直线斜率不存在、参数正负取舍，是解析几何入门必拿分题型。 考点02双曲线方程求解 2024天津：双曲线焦点三角形直角、面积条件，求标准方程 2023天津：双曲线焦点向渐近线作垂线，求标准方程 2022天津：抛物线准线结合双曲线渐近线，求标准方程 2020天津：双曲线渐近线与已知直线平行/垂直，求标准方程 该考点为选择题中档题型，固定考查双曲线基本量求解。命题变化显著，早年仅依靠渐近线列式求解，近年频繁与抛物线准线、焦点三角形、直线斜率垂直条件综合设问。解题需结合双曲线定义与几何图形，计算量逐步加大，侧重数形结合思想，是区分基础薄弱学生的核心题型。 考点03双曲线离心率计算 2026天津：双曲线顶点、焦点、曲线上点结合，求离心率 2025天津：双曲线与抛物线交点联立，求离心率 2021天津：抛物线准线截双曲线，结合线段长度求离心率 该考点为选择压轴高频题型，难度中等偏上，是近年命题创新重点。核心变化在于双曲线与抛物线交叉命题，利用抛物线焦点、准线提供的数值条件，替代传统单纯关系式的考法。多借助坐标、线段长度构造齐次式求解离心率，常结合直角、相似几何条件，对学生代数变形与几何转化能力要求显著提升。 考点04抛物线综合小题 2026天津：抛物线上四点直线交点，多结论正误判断 2024天津：抛物线焦点与圆相交，求原点到直线距离 2023天津：抛物线切线与曲线相交，线段长度计算 该考点以填空形式考查，2026年新增多结论判断题为核心变化。命题常融合圆、切线、坐标轴交点等条件，可利用抛物线上点纵坐标定值结论简化计算。不再单纯考查焦半径基础公式，侧重直线交点定值推导，逻辑判断类设问增多，对学生严谨推导与数形结合能力要求更高。 考点05椭圆综合解答题 2026天津：椭圆离心率求解+动直线相切斜率乘积计算 2025天津：椭圆切线性质+角平分线证明综合题 2024天津：椭圆动直线存在性+参数范围求解 2023天津：椭圆面积比例条件+直线方程求解 2022天津：椭圆切线与向量结合+椭圆方程求解 2021天津：椭圆切线垂直直线条件+数值计算 2020天津：椭圆中点性质+圆切线综合+直线方程求解 该考点为解析几何核心大题，固定15分，分2小问梯度清晰，是全卷区分高分的核心题型。第一问稳定考查椭圆方程、离心率求解，为基础送分内容；第二问综合性逐年提升，早年侧重面积、弦长基础计算，近年新增角平分线、存在性、参数范围、向量条件等综合设问。核心解法为直线与椭圆联立+韦达定理，近年强化几何条件转化，计算量持续加大，对学生综合运算与逻辑推理能力要求极高。 考点01 直线与圆的弦长问题 1．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 2．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 3．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 4．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 考点02 求双曲线的方程 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点03 求双曲线的离心率 1．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 3．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 考点04 抛物线的综合 1．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 2．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 3．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 考点05 椭圆综合（解答题） 1．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 2．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 5．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 6．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 7．（2020·天津·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 1．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 4．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 5．（2026·天津·二模）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 6．（2026·天津·模拟预测）已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为__________． 7．（2026·天津武清·模拟预测）以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆中，面积最大的圆的标准方程为_________． 8．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 9．（2026·天津和平·三模）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______． 10．（2026·天津北辰·二模）在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 11．（2026·天津河西·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 12．（2026·天津河东·三模）是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 13．（2026·天津河北·二模）已知椭圆：的离心率为，，，且原点到直线AB的距离等于. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在直线，交椭圆于、两点，使得椭圆的右焦点为三角形BPQ的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 14．（2026·天津·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 15．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 17．（2026·天津红桥·二模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，上顶点为，左、右焦点分别为，且． (1)求椭圆的离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为，且的面积为，求椭圆的标准方程． 18．（2026·天津武清·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 19．（2026·天津·二模）设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 20．（2026·天津北辰·二模）已知椭圆：的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，离心率为，的面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)已知斜率存在且不为1的直线经过点，且与椭圆E交于不同的两点M，N（均不与点B重合），点P与点M关于原点O对称，直线与直线交于点Q.求证：点B在直线上. 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $