9.1 用坐标描述平面内点的位置 讲义2025-2026学年人教版数学七年级下册

9．1 用坐标描述平面内点的位置 1．理解有序数对的概念，能运用有序数对准确表示平面内点的位置． 2．掌握平面直角坐标系的构成，理解 x 轴、y 轴、原点、象限的意义． 3．掌握由点找坐标、由坐标找点的方法，理解坐标平面内的点与有序实数对一一对应． 4．熟记各象限及坐标轴上点的坐标符号特征，能根据坐标判断点的位置． 5．会建立适当的平面直角坐标系，用坐标描述简单几何图形的顶点位置． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 01 02 新知探究 知识梳理1 有序数对 2 知识梳理2 平面直角坐标系 3 知识梳理3 点的坐标特征 6 知识梳理4 用坐标表示简单几何图形 8 知识梳理1 有序数对 （1）定义：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对．记作：（a，b）． （2）核心注意：两数中间有“，”两边有括号；有序数对（a，b）与（b，a）表示不同的位置，顺序不能颠倒． （3）作用：利用有序数对可以准确、唯一地表示平面内一个点的位置． 【例1】　（2024春•古县期中）与平面直角坐标系中的点一一对应的是（　　） A．有理数 B．实数 C．整数 D．有序实数对 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系与有序实数对一一对应，即可解答． 【解答】解：有序实数对与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系， 故选：D． 【例2】　（2024春•滑县期末）下列关于有序数对的说法正确的是（　　） A．（3，2）与（2，3）表示的位置相同 B．（a，b）和（b，a）表示的位置不同 C．（3，﹣2）与（﹣2，3）是表示不同位置的两个有序数对 D．（0，4）与（4，0）是表示相同位置的两个有序数对 【答案】C 【分析】根据点的坐标特点解答即可． 【解答】解：A、（3，2）与（2，3）表示的位置不相同，原说法错误，不符合题意； B、当a＝b时，（a，b）与（b，a）表示的位置相同，原说法错误，不符合题意； C、（3，﹣2）与（﹣2，3）是表示不同位置的两个有序数对，正确，符合题意； D、（0，4）与（4，0）表示两个不相同的位置，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【例3】　（2024春•乾安县期中）若西经20°，南纬30°用有序数对（20，30）来表示，东经45°，北纬60°用有序实数对（﹣45，﹣60）来表示，则有序实数对（﹣30，20）的含义是 　　 ． 【答案】东经30°，南纬20°． 【分析】根据题意可得第一个数是经度，西为正，东为负，第二个数为纬度，南为正，北为负，据此，即可求解． 【解答】解：依题意，有序实数对（﹣30，20）的含义是东经30°，南纬20°， 故答案为：东经30°，南纬20°． 知识梳理2 平面直角坐标系 （1）定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系． （2）组成要素： ①水平数轴称为x轴(横轴)，取向右为正方向； ②竖直数轴称为y轴(纵轴)，取向上为正方向； ③两轴交点O为坐标原点，两轴单位长度一般相同． （3）坐标平面划分： x轴和y轴将坐标平面分成四个象限，按逆时针顺序依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限． （4）由点找坐标： ①过点向x轴作垂线，垂足对应的数为横坐标； ②过点向y轴作垂线，垂足对应的数为纵坐标； ③横坐标在前，纵坐标在后，组成有序数对(x，y)，即为点的坐标． （5）由坐标找点： ①在x轴上找到表示横坐标的点，过该点作x轴的垂线； ②在y轴上找到表示纵坐标的点，过该点作y轴的垂线； ③两条垂线的交点就是所求坐标对应的点． （6）对应关系： 坐标平面内任意一点，都有唯一的有序实数对与之对应． 任意一个有序实数对，都有坐标平面内唯一的点与之对应． 【例4】　（2026•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【答案】A 【分析】根据点A、B两点坐标，建立坐标系，即可得出点C坐标． 【解答】解：由条件可建立坐标系如下： ∴点C的坐标是（3，﹣2）． 故选：A． 【例5】　（2025秋•高新区期末）在平面直角坐标系中，点P在x轴的下方，y轴右侧，且到x轴的距离为5，到y轴距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣5） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（5，﹣1） 【答案】A 【分析】先判断出点P在第四象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【解答】解：∵点P在x轴的下方，y轴的右侧， ∴点P在第四象限， ∵点P到y轴的距离是1，到x轴的距离是5， ∴点P的横坐标为1，纵坐标为﹣5， ∴点P的坐标为（1，﹣5）． 故选：A． 【例6】　（2025•贵州）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 【解答】解：A．点A在第一象限，故此选项不符合题意； B．点B在x轴上，故此选项不符合题意； C．点C在第三象限，故此选项不符合题意； D．点D在第四象限，故此选项符合题意． 故选：D． 知识梳理3 点的坐标特征 （1）象限内点的符号特征： ①第一象限：横坐标 +，纵坐标 +． ②第二象限：横坐标 -，纵坐标 +． ③第三象限：横坐标 -，纵坐标 -． ④第四象限：横坐标 +，纵坐标 -． （2）坐标轴上点的特征： ①x轴上的点：纵坐标为0，坐标形式(x，0)． ②y轴上的点：横坐标为0，坐标形式(0，y)． ③原点：坐标(0，0)． （3）图示： （4）平行于坐标轴的直线上的点： ①平行于x轴的直线：所有点纵坐标相等． ②平行于y轴的直线：所有点横坐标相等． （5）象限角平分线上的点： ①第一、三象限角平分线：横、纵坐标相等． ②第二、四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数． 【例7】　（2025秋•茂名期末）在平面直角坐标系中，如果点P（a+3，a+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2） 【答案】B 【分析】根据在y轴上的点的坐标特征，横坐标为零计算即可得到答案． 【解答】解：∵根据在y轴上的点的坐标特征，点P（a+3，a+1）在y轴上， ∴a+3＝0， ∴a＝﹣3， ∴a+1＝﹣2， ∴点P的坐标为（0，﹣2）， 故选：B． 【例8】　（2025秋•镇海区校级期末）已知点Q（5﹣m，4m﹣10）在第四象限，且点Q到两坐标轴的距离相等，那么m的值为（　　） A．3 B．﹣3或3 C． D．3或 【答案】C 【分析】根据点Q到坐标轴的距离相等列出绝对值方程，结合第四象限内点的坐标的符号特征，可求出m的值． 【解答】解：∵点Q（5﹣m，4m﹣10）到两坐标轴的距离相等， ∴|5﹣m|＝|4m﹣10|， ∴5﹣m＝4m﹣10或5﹣m＝﹣（4m﹣10）， 解得m＝3或m， ∵点Q（5﹣m，4m﹣10）在第四象限， ∴， 故m＝3不符合题意， 故m． 故选：C． 【例9】　（2025秋•东台市期末）在平面直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】根据第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，可得：m+2﹣2m＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+2﹣2m＝0， 解得：m＝2， 故选：A． 知识梳理4 用坐标表示简单几何图形 （1）描述方法：几何图形由点组成，用坐标表示图形关键点(顶点)的位置，即可描述整个图形． （2）坐标系与坐标的关系：建立的平面直角坐标系不同，同一个图形上点的坐标也不同． （3）建系原则：结合图形形状特征建系，使顶点坐标尽可能简洁，方便书写与计算． 【例10】　（2025秋•越城区校级期末）如图，在6×6的方格纸中，若点P，Q，M的坐标可分别记为（0，2），（3，0），（1，4），则当MN∥PQ时，点N的坐标可能是（　　） A．（2，3） B．（3，3） C．（5，1） D．（4，2） 【答案】D 【分析】根据题意，先画出平面直角坐标系，再根据网格的特征画出经过点M且与PQ平行的直线即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ， 所以点N的坐标可以是（4，2）． 故选：D． 【例11】　（2025秋•礼泉县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，顶点A的坐标是（﹣1，1），AB∥x轴，边BC在第一象限，则顶点C的坐标是（　　） A．（4，1） B．（3，1） C．（2，4） D．（4，2） 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝3，从而得到点B的横坐标为﹣1+3＝2，纵坐标为1，进而得出点C的横坐标为2，纵坐标为1+3＝4． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，AB∥x轴，点B、C在第一象限，顶点A的坐标是（﹣1，1）， ∴AB＝BC＝3，点B的横坐标为﹣1+3＝2，纵坐标为1， ∴点C的横坐标为2，纵坐标为1+3＝4， ∴C（2，4）， 故选：C． 【例12】　（2025秋•莱州市期末）如图，在平面直角坐标系中，P为第四象限内的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA＝3，PB＝5，则点P的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（5，3） C．（3，﹣5） D．（3，5） 【答案】A 【分析】根据点到坐标轴的距离，以及第四象限内点的坐标特点，即可求解． 【解答】解：∵P为第四象限内的一点， ∴P的横坐标为正，纵坐标为负， ∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA＝3，PB＝5， ∴点P的坐标为（5，﹣3）， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 9．1 用坐标描述平面内点的位置 1．理解有序数对的概念，能运用有序数对准确表示平面内点的位置． 2．掌握平面直角坐标系的构成，理解 x 轴、y 轴、原点、象限的意义． 3．掌握由点找坐标、由坐标找点的方法，理解坐标平面内的点与有序实数对一一对应． 4．熟记各象限及坐标轴上点的坐标符号特征，能根据坐标判断点的位置． 5．会建立适当的平面直角坐标系，用坐标描述简单几何图形的顶点位置． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 01 02 新知探究 知识梳理1 有序数对 2 知识梳理2 平面直角坐标系 3 知识梳理3 点的坐标特征 4 知识梳理4 用坐标表示简单几何图形 6 知识梳理1 有序数对 （1）定义：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对．记作：（a，b）． （2）核心注意：两数中间有“，”两边有括号；有序数对（a，b）与（b，a）表示不同的位置，顺序不能颠倒． （3）作用：利用有序数对可以准确、唯一地表示平面内一个点的位置． 【例1】　（2024春•古县期中）与平面直角坐标系中的点一一对应的是（　　） A．有理数 B．实数 C．整数 D．有序实数对 【例2】　（2024春•滑县期末）下列关于有序数对的说法正确的是（　　） A．（3，2）与（2，3）表示的位置相同 B．（a，b）和（b，a）表示的位置不同 C．（3，﹣2）与（﹣2，3）是表示不同位置的两个有序数对 D．（0，4）与（4，0）是表示相同位置的两个有序数对 【例3】　（2024春•乾安县期中）若西经20°，南纬30°用有序数对（20，30）来表示，东经45°，北纬60°用有序实数对（﹣45，﹣60）来表示，则有序实数对（﹣30，20）的含义是 　　 ． 知识梳理2 平面直角坐标系 （1）定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系． （2）组成要素： ①水平数轴称为x轴(横轴)，取向右为正方向； ②竖直数轴称为y轴(纵轴)，取向上为正方向； ③两轴交点O为坐标原点，两轴单位长度一般相同． （3）坐标平面划分： x轴和y轴将坐标平面分成四个象限，按逆时针顺序依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限． （4）由点找坐标： ①过点向x轴作垂线，垂足对应的数为横坐标； ②过点向y轴作垂线，垂足对应的数为纵坐标； ③横坐标在前，纵坐标在后，组成有序数对(x，y)，即为点的坐标． （5）由坐标找点： ①在x轴上找到表示横坐标的点，过该点作x轴的垂线； ②在y轴上找到表示纵坐标的点，过该点作y轴的垂线； ③两条垂线的交点就是所求坐标对应的点． （6）对应关系： 坐标平面内任意一点，都有唯一的有序实数对与之对应． 任意一个有序实数对，都有坐标平面内唯一的点与之对应． 【例4】　（2026•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【例5】　（2025秋•高新区期末）在平面直角坐标系中，点P在x轴的下方，y轴右侧，且到x轴的距离为5，到y轴距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣5） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（5，﹣1） 【例6】　（2025•贵州）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 知识梳理3 点的坐标特征 （1）象限内点的符号特征： ①第一象限：横坐标 +，纵坐标 +． ②第二象限：横坐标 -，纵坐标 +． ③第三象限：横坐标 -，纵坐标 -． ④第四象限：横坐标 +，纵坐标 -． （2）坐标轴上点的特征： ①x轴上的点：纵坐标为0，坐标形式(x，0)． ②y轴上的点：横坐标为0，坐标形式(0，y)． ③原点：坐标(0，0)． （3）图示： （4）平行于坐标轴的直线上的点： ①平行于x轴的直线：所有点纵坐标相等． ②平行于y轴的直线：所有点横坐标相等． （5）象限角平分线上的点： ①第一、三象限角平分线：横、纵坐标相等． ②第二、四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数． 【例7】　（2025秋•茂名期末）在平面直角坐标系中，如果点P（a+3，a+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2） 【例8】　（2025秋•镇海区校级期末）已知点Q（5﹣m，4m﹣10）在第四象限，且点Q到两坐标轴的距离相等，那么m的值为（　　） A．3 B．﹣3或3 C． D．3或 【例9】　（2025秋•东台市期末）在平面直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 知识梳理4 用坐标表示简单几何图形 （1）描述方法：几何图形由点组成，用坐标表示图形关键点(顶点)的位置，即可描述整个图形． （2）坐标系与坐标的关系：建立的平面直角坐标系不同，同一个图形上点的坐标也不同． （3）建系原则：结合图形形状特征建系，使顶点坐标尽可能简洁，方便书写与计算． 【例10】　（2025秋•越城区校级期末）如图，在6×6的方格纸中，若点P，Q，M的坐标可分别记为（0，2），（3，0），（1，4），则当MN∥PQ时，点N的坐标可能是（　　） A．（2，3） B．（3，3） C．（5，1） D．（4，2） 【例11】　（2025秋•礼泉县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，顶点A的坐标是（﹣1，1），AB∥x轴，边BC在第一象限，则顶点C的坐标是（　　） A．（4，1） B．（3，1） C．（2，4） D．（4，2） 【例12】　（2025秋•莱州市期末）如图，在平面直角坐标系中，P为第四象限内的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA＝3，PB＝5，则点P的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（5，3） C．（3，﹣5） D．（3，5） 学科网（北京）股份有限公司 $