专题01相交线与平行线专项训练(24大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线专项训练 题型01.对顶角的识别与应用 题型02.邻补角识别与计算 题型03.垂线的判定与作图 题型04.垂线段性质与距离求解 题型05同位角.内错角.同旁内角 题型06.平行线认知与应用 题型07.平行线的判定 题型08.同垂一线的两直线平行 题型09.平行线的性质 题型10.由平行线性质探究角的关系 题型11.由平行线性质求角的度数 题型12.平行线性质的应用 题型13.由平行线性质与判定求角度 题型14.由平行线性质与判定证明 题型15.命题的识别 题型16.命题的结构分析 题型17.定理与证明的规范 题型18.命题的真假判断与举例 题型19.几何/代数推理与论证 题型20.证明过程的依据填写 题型21.平移现象与概念 题型22.利用平移性质求解 题型23.利用平移解决问题 题型24.平移作图 解答题10题 知识点01.相交线 1. 对顶角（两直线相交的基本角关系） 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等（期中必考性质） 考法：直接利用性质求角度、判断角的关系 2.邻补角 定义：有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线的两个角 .性质：邻补角互补（和为 180∘） 考法：找邻补角、利用互补关系求角度（基础计算必考题.） 关键：两直线相交，对顶角成对出现，邻补角也成对出现，且一个角的对顶角只有 1 个，邻补角有 2 个。 3. 垂线（特殊的相交：夹角为 90°） 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点02.同位角、内错角、同旁内角 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 知识点03.平行线 1. 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 2. 平行线的判定（由角的关系推线的平行，核心：证角相等 / 互补→证线平行） 3. 平行线的性质（由线的平行推角的关系，核心：证线平行→证角相等 / 互补） 知识点04:定义.命题与证明 1. 命题 定义：判断一件事情的陈述句（疑问句、感叹句、祈使句都不是命题） 结构：由题设（已知条件）和结论两部分组成，可改写为 “如果……，那么……” 的形式 例：“对顶角相等”→ 改写为 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 真假命题： 真命题：经过推理验证成立的命题. 假命题：不成立的命题，可通过举反例（满足题设但不满足结论的例子）来证明 例：“相等的角是对顶角” 是假命题，反例：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角 2. 定理与证明 定理：经过证明的真命题，可作为后续推理的依据 证明规范：推理过程必须标注理论依据（定义、公理或已学定理） 格式：∵……（条件），∴……（结论）（依据：×××） 知识点05:平移 1. 平移的定义 图形沿某一直线方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移 核心特点：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向 2. 平移的核心性质 1.平移前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等） 2.对应点所连的线段平行（或共线）且相等（是求长度、作平移图的关键） 3.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等 ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ △ABC ≌ △A'B'C'（平移前后图形全等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AA' ∥ BB' ∥ CC' 且 AA' = BB' = CC'（平移性质：对应点连线平行且相等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AB ∥ A'B' 且 AB = A'B'（平移性质：对应线段平行且相等） 3. 平移的应用 (1)利用平移性质求线段长度、图形面积 (2)解决实际问题（如最短路径、图案设计） (3)会按要求画出平移后的图形（确定平移方向、距离，找对应点） 1.必背：命题结构、反例、证明依据；平移性质 2.高频考法：命题结构分析、举反例、填证明依据；平移作图、性质计算 3.易错点：平移不改变图形方向，点到直线距离≠垂线段（是长度） 题型01.对顶角的识别与应用 1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 3．如图所示的是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是______________，理由是_____________． 4．下列选项中，和是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线与相交于点，若，则的度数为_______． 题型02.邻补角识别与计算 6．如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 7．如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量的度数，嘉嘉延长至点后，测得的度数为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知直线和相交于点O，平分，，则下列结论中：①；②；③；④．正确的为（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 题型03.垂线的判定与作图 10．如图，，，所以与重合，推理的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 11．已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为__________． 题型04.垂线段性质与距离求解 13．如图，已知于点，若，，点是线段上一动点，则线段的长度可能是（   ） A．4 B．4.9 C．9.1 D．7 14．如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 15．如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 16．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 题型05同位角.内错角.同旁内角 17．下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 19．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06.平行线认知与应用 20．在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 21．一个长方体的长，宽，高．在这个长方体中，与平行的棱有（   ）条，它们的长度都是（   ）． A．1，6 B．2，6 C．3，6 D．4，6 22．经过直线外一点，有且只有______条直线与已知直线平行． 23．工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是________． 24．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 25．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是______________________. 26．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 题型07.平行线的判定 27．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 28．如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 29．判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 30．如图，等腰中，，，于．过作于，交于，于，交于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__． 题型08.同垂一线的两直线平行 31．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a________c． 32．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 33．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 题型09.平行线的性质 34．如图，直线，被直线所截，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 35．如图所示，直线被直线所截，若，，则的度数为（    ） A．81° B．89° C．90° D．91° 36．如图，一个弯形管道的拐角，管道和平行，则拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 37．在图中，若，，则_____，______． 38．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 39．如图，直线，直线与直线a、b分别相交．若，则___________． 40．如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 41．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 题型10.由平行线性质探究角的关系 42．如图，，平分，平分交的延长线于点，且，下列结论中不正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 43．如图，已知，和分别平分和，若，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 44．如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是___________．    题型11.由平行线性质求角的度数 45．书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 46．如图，若，，，那么_________．    47．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 题型12.平行线性质的应用 48．如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线平行，内错角相等． B．内错角相等，两直线平行． C．两直线平行，同位角相等． D．同位角相等，两直线平行． 49．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 50．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 题型13.由平行线性质与判定求角度 51．如图，直线，含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 53．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型14.由平行线性质与判定证明 54．如图，直线被直线所截，．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 55．已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 56．如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型15.命题的识别 57．下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 58．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．同旁内角互补 D．作线段 59．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 题型16.命题的结构分析 60．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 61．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 62．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 题型17.定理与证明的规范 63．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 64．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 65．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型18.命题的真假判断与举例 66．下列命题中，属于真命题的是（    ） A．一次函数的图象经过第二象限 B．三角形的一个外角大于任一个内角 C．两直线平行，同旁内角相等 D．相等的角是对顶角 67．要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 68．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 69．下列命题中，是真命题的是______．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 70．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为______， ______． 71．能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 72．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 题型19.几何/代数推理与论证 73．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 74．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 75．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 76．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 77．已知甲、乙、丙三人，一位是湖南人，一位是河南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（    ） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 题型20.证明过程的依据填写 78．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 79．如图所示，，那么________，依据是__________． 80．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 题型21.平移现象与概念 81．在下列现象中，属于平移现象的是（  ） A．方向盘的转动 B．钟摆的运动 C．升降式电梯的上下移动 D．开门时门的转动 82．下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是（    ） A． B． C． D． 83．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____．    84．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为__． 题型22.利用平移性质求解 85．如图，将沿着射线平移到．若，，则平移的距离为__________． 86．如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为______． 87．小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置．若下方树干的长为，则树的高度的长为____________． 题型23.利用平移解决问题 88．如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是(   )平方米． A．50 B．55 C．40 D．44 89．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 90．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 题型24.平移作图 91．在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形,则至少需要移动____格. 92．如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________． 93．如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 解答题 94．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 95．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段__________的长度是点到的距离． 96．如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 97．如图，点，，在一条直线上，，，平分，求的度数，请将以下解答过程补充完整． 解：∵，． ∴_________ ， ∴____________________=__________ ， ∵点，，在一条直线上， ∴___________． ∵平分， ∴____________________． ∴___________． 98．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 99．已知：如图，，和相交于点，平分，和相交于点，．求证：． 100．如图，四边形中，，点E在线段上，点F在的延长线上．若平分，，求的度数． 101．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 102．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 103．如图，点A、B在直线上，点C、D在直线上，射线、交于点E（点E在直线的同侧），．（不可使用三角形内角和定理） (1)求证：； (2)如图2，在与的内部有一点F，连接、，与相交于点K，若，，求和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，此时绕点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕点B以每秒的速度顺时针旋转（旋转中，的形状和大小不发生改变），当的边落在射线上时立刻绕点A顺时针以原速旋转，当边落在射线上时，两个三角形同时停止旋转．设运动时间为t（单位：秒），请直接写出边与的其中一条边平行时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线专项训练 题型01.对顶角的识别与应用 题型02.邻补角识别与计算 题型03.垂线的判定与作图 题型04.垂线段性质与距离求解 题型05同位角.内错角.同旁内角 题型06.平行线认知与应用 题型07.平行线的判定 题型08.同垂一线的两直线平行 题型09.平行线的性质 题型10.由平行线性质探究角的关系 题型11.由平行线性质求角的度数 题型12.平行线性质的应用 题型13.由平行线性质与判定求角度 题型14.由平行线性质与判定证明 题型15.命题的识别 题型16.命题的结构分析 题型17.定理与证明的规范 题型18.命题的真假判断与举例 题型19.几何/代数推理与论证 题型20.证明过程的依据填写 题型21.平移现象与概念 题型22.利用平移性质求解 题型23.利用平移解决问题 题型24.平移作图 解答题10题 知识点01.相交线 1. 对顶角（两直线相交的基本角关系） 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等（期中必考性质） 考法：直接利用性质求角度、判断角的关系 2.邻补角 定义：有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线的两个角 .性质：邻补角互补（和为 180∘） 考法：找邻补角、利用互补关系求角度（基础计算必考题.） 关键：两直线相交，对顶角成对出现，邻补角也成对出现，且一个角的对顶角只有 1 个，邻补角有 2 个。 3. 垂线（特殊的相交：夹角为 90°） 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点02.同位角、内错角、同旁内角 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 知识点03.平行线 1. 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 2. 平行线的判定（由角的关系推线的平行，核心：证角相等 / 互补→证线平行） 3. 平行线的性质（由线的平行推角的关系，核心：证线平行→证角相等 / 互补） 知识点04:定义.命题与证明 1. 命题 定义：判断一件事情的陈述句（疑问句、感叹句、祈使句都不是命题） 结构：由题设（已知条件）和结论两部分组成，可改写为 “如果……，那么……” 的形式 例：“对顶角相等”→ 改写为 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 真假命题： 真命题：经过推理验证成立的命题. 假命题：不成立的命题，可通过举反例（满足题设但不满足结论的例子）来证明 例：“相等的角是对顶角” 是假命题，反例：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角 2. 定理与证明 定理：经过证明的真命题，可作为后续推理的依据 证明规范：推理过程必须标注理论依据（定义、公理或已学定理） 格式：∵……（条件），∴……（结论）（依据：×××） 知识点05:平移 1. 平移的定义 图形沿某一直线方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移 核心特点：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向 2. 平移的核心性质 1.平移前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等） 2.对应点所连的线段平行（或共线）且相等（是求长度、作平移图的关键） 3.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等 ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ △ABC ≌ △A'B'C'（平移前后图形全等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AA' ∥ BB' ∥ CC' 且 AA' = BB' = CC'（平移性质：对应点连线平行且相等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AB ∥ A'B' 且 AB = A'B'（平移性质：对应线段平行且相等） 3. 平移的应用 (1)利用平移性质求线段长度、图形面积 (2)解决实际问题（如最短路径、图案设计） (3)会按要求画出平移后的图形（确定平移方向、距离，找对应点） 1.必背：命题结构、反例、证明依据；平移性质 2.高频考法：命题结构分析、举反例、填证明依据；平移作图、性质计算 3.易错点：平移不改变图形方向，点到直线距离≠垂线段（是长度） 题型01.对顶角的识别与应用 1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 2．如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是掌握“对顶角相等”这一核心知识点；根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 当增加时，也会增加． 故选：B． 3．如图所示的是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是______________，理由是_____________． 【答案】 对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等这一基本几何性质是解题的关键． 观察与的位置，判断它们是对顶角，再根据对顶角的性质得出大小关系． 【详解】解：∵与是对顶角 ∴ 理由是：对顶角相等． 故答案为：，对顶角相等． 4．下列选项中，和是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线）是解题的关键．判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合， 故选：D． 5．如图，直线与相交于点，若，则的度数为_______． 【答案】/145度 【分析】本题考查了对顶角、邻补角等知识点，先利用对顶角性质可得，然后利用得出，再利用邻补角的性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】∵和为对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02.邻补角识别与计算 6．如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握邻补角的含义“有一条公共边，另一条边互为反向延长线的角是邻补角”； 根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：直线和相交于点O 与互为邻补角的有：，， 故选：A 7．如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量的度数，嘉嘉延长至点后，测得的度数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了邻补角，熟练掌握平角为是解题的关键．根据邻补角求解即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 8．已知直线和相交于点O，平分，，则下列结论中：①；②；③；④．正确的为（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角、角的概念、角平分线的定义，灵活运用以上知识点是解题的关键． 先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差求出，进而求出的度数，最后利用角的和差求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①②③正确． 故选：A． 9．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 题型03.垂线的判定与作图 10．如图，，，所以与重合，推理的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了直线外一点到直线的垂线，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可求解． 【详解】解：，，则与重合，推理的理由在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C ． 11．已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直 ，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 12．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质等知识点，熟练掌握对顶角相等的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，最后根据垂直的定义可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 题型04.垂线段性质与距离求解 13．如图，已知于点，若，，点是线段上一动点，则线段的长度可能是（   ） A．4 B．4.9 C．9.1 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解概念，知道垂线段最短．根据垂线段最短得出的范围，再选择合适的值即可． 【详解】解：∵点是线段上一动点，， ∴， 即， ∴的长度可能是7， 故选D． 14．如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 15．如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离成为解题的关键． 根据点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、线段的长度是点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； B、线段的长度是点B到直线的距离，故原说法正确，符合题意； C、点A与点B之间的距离大于点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； D、点C与点D之间的距离等于点C到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 16．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型05同位角.内错角.同旁内角 17．下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 18．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是内错角，故此选项不符合题意； C、和是内错角，故此选项符合题意； D、和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 19．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 题型06.平行线认知与应用 20．在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 【分析】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交． 【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交． 故选：D 21．一个长方体的长，宽，高．在这个长方体中，与平行的棱有（   ）条，它们的长度都是（   ）． A．1，6 B．2，6 C．3，6 D．4，6 【答案】C 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据长方体的长互相平行并且长度相等，即可求解． 【详解】解：∵ 长方体的长，宽，高， ∴ 该长方体有条棱长度为，且互相平行， ∴与平行的棱有（条），它们的长度都是． 故选：C． 22．经过直线外一点，有且只有______条直线与已知直线平行． 【答案】一/1 【分析】利用平行公理进行分析即可． 【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 故答案为：一． 【点睛】本题考查了平行公理，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 23．工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是________． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 24．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两条平行直线无交点，第三条直线与这两条平行直线均相交，故有两个交点 【详解】解：设三条直线为a、b、c，其中，c不平行于a或b ∵ ， ∴ a与b无交点 ∵ c与a相交， ∴有一个交点 ∵ c与b相交， ∴有一个交点 ∴ 三条直线共有两个交点． 故选：C． 25．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是______________________. 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 26．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 题型07.平行线的判定 27．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“内错角相等两直线平行”判断A，B，再根据“同位角相等两直线平行”判断C，然后根据“同旁内角互补两直线平行”判断D即可. 【详解】解：∵， ∴， 所以A符合题意； ∵， ∴， 所以B不符合题意； ∵， ∴， 所以C不符合题意； ∵， ∴， 所以D不符合题意. 故选：A． 28．如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定．由折叠的性质求得，，即，，根据平行线的判定定理即可判断． 【详解】解：由折叠的性质知，， ∵，， ∴，，即，， ∵， ∴(同位角相等，两直线平行)，故选项A不符合题意； ∵， ∴(同旁内角互补，两直线平行)，故选项B不符合题意； ∵，， ∴(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，故选项C不符合题意； ∴不能作为判断与平行的依据是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选：D． 29．判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据题意，利用平行线的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、根据，可以判定；满足题意； B、根据，可以判定，满足题意； C、根据，可以判定，满足题意； D、根据，可以判定，不满足题意； 故选：D 30．如图，等腰中，，，于．过作于，交于，于，交于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__． 【答案】①②⑤ 【分析】①作于M，由角平分线的性质得出，由三角形面积公式即可得出①正确； ②证明得出是等腰直角三角形，得出，，证出，②正确； ③由AH=CB，得出AH=2BD≠2CH，③不正确； ④由，得出，从而，④不正确； ⑤证出，得出，进而可得出，⑤正确． 【详解】解：①作于， ，， 平分， 于， ， ，， ，①正确； ②于，于，， 和是等腰直角三角形，， ，，， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，②正确； ③， ，③不正确； ④， ， ， ，④不正确； ⑤平分， ， ，， ， ， ，⑤正确； 正确的是①②⑤； 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型08.同垂一线的两直线平行 31．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a________c． 【答案】/平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 32．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴（同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故选：D． 33．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 【答案】B 【详解】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答． 【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意， B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意， C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意， D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理并是解答本题的关键． 题型09.平行线的性质 34．如图，直线，被直线所截，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”即可解得的大小． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 35．如图所示，直线被直线所截，若，，则的度数为（    ） A．81° B．89° C．90° D．91° 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键． 两直线平行，内错角相等，根据该性质求解即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故选：D． 36．如图，一个弯形管道的拐角，管道和平行，则拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，得出，再根据求出结果即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 37．在图中，若，，则_____，______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据同旁内角互补，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵． 故答案为：，． 38．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 39．如图，直线，直线与直线a、b分别相交．若，则___________． 【答案】 【分析】先利用两直线平行，同位角相等，再根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图， ，， ， ． 40．如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 由可得，，根据平角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 41．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 题型10.由平行线性质探究角的关系 42．如图，，平分，平分交的延长线于点，且，下列结论中不正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，由平行线的性质得到，再由角平分线的定义可得，则可证明，据此可判断A；由角平分线的定义可得，则由平角的定义可得，据此可判断B；求出，由平行线的性质可得，据此可判断D；由角平分线的定义可得，根据现有条件无法证明，则无法证明，据此可判断C． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故C结论错误，符合题意； 故选；C． 43．如图，已知，和分别平分和，若，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义可得，，作，，则，再结合平行线的性质计算并比较即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴，， 如图，过点作，过点作， ， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 故选：B． 44．如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是___________．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到，，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明． 【详解】解：①过点作，如图：   ，， ，， ，即， ，故①正确； ②∵，平分，平分，   ，， ， ， 即， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ； ，故③正确； ④， ，即， ， ，故④不正确． 综上，①②③正确，， 故答案为：①②③． 题型11.由平行线性质求角的度数 45．书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 46．如图，若，，，那么_________．    【答案】/150度 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质求得，再根据整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 47．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， . 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 题型12.平行线性质的应用 48．如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线平行，内错角相等． B．内错角相等，两直线平行． C．两直线平行，同位角相等． D．同位角相等，两直线平行． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行， 所以根据两直线平行，内错角相等可得， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 49．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据题意得出，故可得出，再由得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∵，， ， ． 故选：A． 50．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 题型13.由平行线性质与判定求角度 51．如图，直线，含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的判定与性质求角度，涉及平行线的判定与性质等知识，过点作，如图所示，由平行线的判定得到，再由两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等求解即可得到答案．熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 52．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 53．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 题型14.由平行线性质与判定证明 54．如图，直线被直线所截，．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的判定，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故A正确； ∴，故B正确； ∵， ∴，故C正确， ∴D错误， 故选：D ． 55．已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点，学会分类讨论是解决本题的关键． 由平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标即可． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点纵坐标相等，即B点纵坐标为4． 又∵A点坐标为， ∴B点横坐标可能为或． ∴B点坐标为或． 故选D． 56．如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 先根据平行线的性质得到，再根据等角的余角相等得到，则利用得到，于是可对①进行判断；所以，由于，则，然后利用1不能确定等于可对②进行判断；根据平行线的性质得到即所以从而得到，于是可对③进行判断；根据角平分线的定义得到，，而，所以由，然后根据四边形的内角和可计算出，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，①正确； ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵不能确定等于， ∴不成立，②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ，④正确． 故选：A． 题型15.命题的识别 57．下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 【答案】B 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 58．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．同旁内角互补 D．作线段 【答案】D 【分析】此题考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句，分析各选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题； B、面积相等的两个三角形全等，是命题； C、同旁内角互补，是命题； D、作线段，不是命题． 故选：D． 59．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型16.命题的结构分析 60．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 61．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 62．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型17.定理与证明的规范 63．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 64．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 65．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型18.命题的真假判断与举例 66．下列命题中，属于真命题的是（    ） A．一次函数的图象经过第二象限 B．三角形的一个外角大于任一个内角 C．两直线平行，同旁内角相等 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】本题结合一次函数的图象性质、三角形外角的性质、平行线的性质以及对顶角的定义等知识，考查命题真假的判断，依次分析每个选项的命题是否正确即可． 【详解】解：选项A：对于一次函数，∵，， ∴图象经过第二、四象限和原点，故该命题为真命题； 选项B：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角， ∵当外角与内角相邻时，外角与内角互补，此时外角不一定大于该内角， ∴该命题为假命题； 选项C：两直线平行，同旁内角互补，∵同旁内角互补而非相等，∴该命题为假命题． 选项D：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定具备对顶角的位置关系， ∴该命题为假命题． 故选：A． 67．要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查判定命题是假命题的一个常用方法——举反例．反例是个实例，它要符合命题的题设，不符合命题的结论．要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足 但 的一组即可，逐一验证． 【详解】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意； B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意； C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意； D、，且，不能作为反例，不符合题意． 故选：C． 68．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握反例的定义是解题的关键． 分别计算各选项中钝角与锐角的差，若差不是锐角，则为反例． 【详解】解：反例需满足命题条件但结论不成立，即钝角减锐角差非锐角， 选项A、，是锐角，不符合题意； 选项B、非钝角，不符合命题条件； 选项C、，是锐角，不符合题意； 选项D、，是钝角，非锐角，符合题意， 故选：D． 69．下列命题中，是真命题的是______．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 70．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为______， ______． 【答案】 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当时，， 但， 故答案为：，1． 71．能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 72．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 题型19.几何/代数推理与论证 73．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 74．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 75．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 【答案】258 【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果． 【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列： 密码由2、5、8组成，共有6种排列： 258，285，528，582，825，852 根据婷婷的条件：2不在末位； 排除末位为2的排列： ∴剩余候选：258，285，528，825， 应用乐乐的条件：5和8相邻， ∴剩余候选：258，285 应用香香的条件：中间位不是8， 最终剩余：258； 故答案为：258． 76．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 21 17 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出甲当裁判9局，乙当裁判3局，丙当裁判5局，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴甲当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 77．已知甲、乙、丙三人，一位是湖南人，一位是河南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（    ） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 【答案】D 【分析】本题考查了逻辑推理，掌握基本的逻辑推理方法是关键． 根据题意得到丙是湖南人，乙是河南人，甲是海南人，海南人的年龄小于湖南人的年龄，湖南人的年龄小于河南人的年龄，由此即可求解． 【详解】解：丙比海南人年龄大，则丙不是海南人，可能是湖南人或河南人， ∴年龄关系：海南人年龄丙的年龄， ∵甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小， ∴丙是湖南人，即海南人年龄湖南人年龄，湖南人年龄乙的年龄， ∴年龄关系：海南人年龄湖南人（丙）年龄乙的年龄，即丙是湖南人，乙是河南人，甲是海南人， ∴海南人的年龄最小， 故选：D ． 题型20.证明过程的依据填写 78．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 79．如图所示，，那么________，依据是__________． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 80．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 题型21.平移现象与概念 81．在下列现象中，属于平移现象的是（  ） A．方向盘的转动 B．钟摆的运动 C．升降式电梯的上下移动 D．开门时门的转动 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转，把一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离叫作平移，解答本题的关键是根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、方向盘的转动不是沿着一个方向平行移动，方向盘的转动不是平移，故A选项不符合题意； B、钟摆的运动是绕着一个点旋转，不是沿着一个方向平行移动，钟摆的运动不是平移，故B选项不符合题意； C、升降式电梯的上下移动是沿着一个方向平行移动，升降式电梯的上下移动是平行移动，故C选项符合题意； D、开门时门的转动不是沿着一个方向平行移动，开门时门的转动不是平移动，故D选项不符合题意． 故选：C． 82．下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、一个图形不能通过平移得到另一个图形，故此选项不符合题意； B、一个图形能通过平移可得到另一个图形，故此选项符合题意； C、一个图形不能通过平移得到另一个图形，故此选项不符合题意； D、一个图形不能通过平移得到另一个图形，故此选项不符合题意； 83．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____．    【答案】7 【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键． 84．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为__． 【答案】63 【分析】根据图形平移，通过平移，使小路左右两边重合，从而得到绿地是一个长为，宽为的矩形，利用矩形面积公式求解即可得到答案． 【详解】解：通过平移，使小路左右两边重合，从而得到绿地是一个长为，宽为的矩形， ∴这块草地的绿地面积为， 故答案为：63． 【点睛】本题考查图形平移解决不规则图形面积问题，读懂题意，熟练掌握平移性质是解决问题关键． 题型22.利用平移性质求解 85．如图，将沿着射线平移到．若，，则平移的距离为__________． 【答案】 【详解】解：根据平移性质得， ， 即平移的距离为． 86．如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为______． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：2． 87．小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置．若下方树干的长为，则树的高度的长为____________． 【答案】14 【分析】本题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， 由题意得：, ， 故答案为：． 题型23.利用平移解决问题 88．如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是(   )平方米． A．50 B．55 C．40 D．44 【答案】A 【分析】根据平移可知，绿地部分拼成的图形长为米，宽为5米，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得： （平方米）， 所以这块草地的绿地面积为50平方米， 故选A． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移求出绿地部分拼成的图形长和宽是解题的关键． 89．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 90．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为.， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 题型24.平移作图 91．在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形,则至少需要移动____格. 【答案】9 【分析】要使平移的格数最少,可将它们朝同一目标共同移动,此时需要平移的格数最少. 【详解】将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形,如图,先将左边的线段向右平移3格,再将中间的线段向下平移2格,最后将右边的线段向左平移2格,再向上平移2格,即可得到一个三角形,这种平移方法平移的格数最少,∴至少需要移动3+2+2+2=9格.如下图. 【点睛】本题考查由图形平移产生的计算， 92．如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：如图所示： 由平移的性质可知：∠2=∠3． 又∵∠1=∠2， ∴∠3=∠1． ∴EF∥l（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键． 93．如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据点确定平移方式，再画出平移后的点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如答图，四边形即为所求． （2）解：与相等的线段有，，． 解答题 94．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 95．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段__________的长度是点到的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查画垂线和平行线，点到直线的距离，熟练掌握垂线和平行线的定义，点到直线的距离，是解题的关键： （1）借助网格特点，垂线的定义，画图即可； （2）利用平移思想画出即可； （3）根据点到直线的垂线段的长为点到直线的距离，作答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：∵， ∴线段的长度是点到的距离． 96．如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求： （2）解：如图所示． 97．如图，点，，在一条直线上，，，平分，求的度数，请将以下解答过程补充完整． 解：∵，． ∴_________ ， ∴____________________=__________ ， ∵点，，在一条直线上， ∴___________． ∵平分， ∴____________________． ∴___________． 【答案】15；；；60；120；；60；75． 【分析】本题考查了角的和差，有关角平分线的计算． 由角的和差得，由角平分线得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵点，，在一条直线上， ∴． ∵平分， ∴， ． 故答案为：15；；；60；120；；60；75． 98．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】(1)32（平方厘米） (2)22 (3)16 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． （2）解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； （3）解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 99．已知：如图，，和相交于点，平分，和相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 100．如图，四边形中，，点E在线段上，点F在的延长线上．若平分，，求的度数． 【答案】 【分析】先证明，结合平分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 101．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线、平角、对顶角，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等及平角的定义是正确解答的关键． （1）根据邻补角、角平分线以及余角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中各个角之间的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， 答：的度数为； （2）解：∵平分， ∴， 设，由于，则， 由平角的定义可得，， 解得，， 即 ∴． 102．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 103．如图，点A、B在直线上，点C、D在直线上，射线、交于点E（点E在直线的同侧），．（不可使用三角形内角和定理） (1)求证：； (2)如图2，在与的内部有一点F，连接、，与相交于点K，若，，求和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，此时绕点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕点B以每秒的速度顺时针旋转（旋转中，的形状和大小不发生改变），当的边落在射线上时立刻绕点A顺时针以原速旋转，当边落在射线上时，两个三角形同时停止旋转．设运动时间为t（单位：秒），请直接写出边与的其中一条边平行时t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论及列一元一次方程求解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作，所以，又，则，从而得，进而即可得解； （）作，则，，得出，由（）得，，所以，则，从而求解； （）先根据已知条件过点E作，求得的度数，再将代入得出相关角度的度数，由绕点A逆时针旋转至与重合后再顺时针旋转，绕点B顺时针旋转，得出逆时针旋转角的范围是，顺时针旋转角的范围是，此时分情况讨论：①当时，此时为逆时针旋转，②当时，此时为逆时针旋转，③当时，此时为顺时针旋转，④当时，此时为顺时针旋转，根据不同的情况作出对应的辅助线，结合平行线的性质得出相关角度的表达式，列方程求解t的值即可． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：如图，作， ∴，， ∴ ， 由（）得，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 即为的角平分线，为的角平分线， ∴由（2）， ∵绕点A逆时针旋转至与重合后再顺时针旋转，绕点B顺时针旋转， ∴逆时针旋转角的范围是，顺时针旋转角的范围是， 此时分以下情况讨论： ①如图，当时，此时为逆时针旋转， 则有， ∴设，则， ∴，解得； ②如图，当时，此时为逆时针旋转， 延长交于点D，过点作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ③如图，当时，此时为顺时针旋转， 同理，延长交于点D，过点作， ∴， ∵逆时针旋转角超过， ∴到旋转的时间为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ④如图，当时，此时为顺时针旋转， ∴， ∵逆时针旋转角超过， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 综上所述，t的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $