第12讲 正方形（5个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第12讲 正方形（5个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 正方形性质理解 题型二 添一个条件使四边形是正方形 题型三 证明四边形是正方形 题型四 正方形折叠问题 题型五 根据正方形的性质与判定求角度 题型六 根据正方形的性质与判定求线段长 题型七 根据正方形的性质与判定求面积 题型八 根据正方形的性质与判定证明 题型九 中点四边形 题型十 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十一 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十二 四边形中的线段最值问题 题型十三 四边形其他综合问题 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．    【答案】48 【分析】本题主要考查了正方形的拼接，根据面积相等可得正方形的面积，进而得出正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：正方形的面积为， ∴正方形的边长为12， ∴周长为． 故答案为：48． 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解． 【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为， ∴另一条对角线长也为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据平分即可求解． 【详解】解：由题意得：平分 ∵点P到的距离， ∴点P到直线的距离为5 cm． 故答案为：5 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键． 根据正方形的判定定理得出答案． 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此可知选． 故选：． 2．（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是 ．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：由在中，，可知四边形是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即时训练】 1．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，且当运动了一秒后才以每秒的速度从点出发，在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止），在这段时间内，动点、能与点、点形成平行四边形的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出点运动的路程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， ∵点从点到达点的运动时间：（秒）， ∴点运动的路程：， 当点到达点之前时，设运动时间为时， ∴， 解得：（秒）， 当点到达点之后再向点运动时，设运动时间为时， ∴， 解得：（秒）， ∴与相等的次数为2， 当运动时间为秒时，，， ∴， ∴形成平行四边形的次数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，运用了分类讨论的思想，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 2．（2025·河南驻马店·模拟预测）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【答案】有一组邻边相等或对角线互相垂直 【分析】本题主要考查特殊平行四边形（矩形、正方形）的性质这一知识点．解题关键在于清晰掌握矩形和正方形的性质，通过对比两者性质上的差异，找出能使矩形满足正方形定义的条件．本题是在特殊平行四边形知识体系中，寻找能使矩形转化为正方形的条件．需要明确矩形和正方形的性质差异，从边、角、对角线等方面去思考补充条件． 【详解】解：矩形的性质是四个角都是直角，对角线相等且互相平分 ． 正方形具有四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直、平分且相等． 对比矩形和正方形的性质，发现当矩形满足 “有一组邻边相等” 时，就满足了正方形四条边都相等的性质；当矩形满足 “对角线互相垂直” 时，结合矩形本身对角线相等且平分的性质，就符合正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质． ∴ “有一组邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 这两个条件能使矩形成为正方形． 故答案为：有一组邻边相等或对角线互相垂直． 知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期末）已知任意四边形的四条边中点组成的图形是平行四边形，当这个平行四边形成为矩形时，原四边形的对角线（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相平分且相等 【答案】C 【分析】画出图形，结合矩形的判定和性质判断即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理：GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． ∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形， ∴∠EHG=90°， ∴四边形EFGH是矩形， 故选C． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）已知四边形ABCD的对角线互相垂直，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是 ． 【答案】矩形 【分析】根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形． 【详解】解：如图： ∵E、F、G、H分别为各边中点 ，，，， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题考查中点四边形，解题的关键是利用了三角形中位线定理的性质，比较简单，也可以利用三角形的相似，得出正确结论． 【核心考点一 正方形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，正方形的性质，根据正方形的性质求出，根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和为，即可求解． 【详解】解∶如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故选∶C． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接， ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为 ． 【答案】 【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案． 【详解】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：＝50 ． 故答案为：50cm． 【点睛】题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍，可以给解决此题带来方便． 【例4】 （24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质可知点关于轴对称，所在直线为的垂直平分线，根据正方形对角线计算求出点的坐标． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴点关于轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵点关于轴对称， ∴点纵坐标为1，点纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点的纵坐标是解题的关键． 【核心考点二 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理才可正确解答． 根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、，根据菱形的对角线互相平分，，对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C、，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 【例3】 （25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③④，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 【例4】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定的应用，根据题意得四边形是菱形，再添加即可判断四边形为正方形． 【详解】解：在中，对角线相交于点O，， 所以，四边形是菱形， 添加，则四边形为正方形． 故答案为：（答案不唯一） 【核心考点三 证明四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（　　） A．，， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：对于A、∵，， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； 对于B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； 对于C，∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故符合题意； 对于D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选C． 【例2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在由六个大小相同的小正方形组成的的矩形网格中，去掉两条线段后，还有四个正方形．以下去掉两条线段的方法正确的是（    ）    A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．去掉、还有正方形，故不符合同意；     B．去掉、还有正方形，故不符合同意；         C．去掉、还有正方形，故符合同意； D．去掉、还有正方形，故不符合同意；     故选C． 【例3】（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 【例4】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当 s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】由已知条件可得四边形是菱形，当BD=EF时，即为正方形． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动， ∴OD=OB,OE=OF,DB⊥EF， ∴四边形是菱形； ∵是边长为4cm的等边三角形， ∴OD=OB=2； 运动后，OE=OF=， 当OB=OE时，四边形为正方形，即，即． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质与判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 【核心考点四 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了剪纸问题，正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质展开空间想象． 利用正方形的性质和轴对称的性质可得结论． 【详解】 解：展开正方形纸片得到： 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【例3】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：由翻折可知， 根据题意设，则， 又点为边的中点， ， 在中，，即， 解得：， 即． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·江苏南通·月考）将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠，根据将一张正方形的纸片按如图所示的方式三次折叠，折叠后再按图所示沿折痕裁剪，可以动手折叠，再进行裁剪，进而结合原正方形边长，即可得出答案． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右上对折，向左上角对折，过直角顶点向对边引垂线，沿垂线剪开，展开后可得到四个相同的正方形， 原正方形边长为4， 面积为：， 得到的每一个纸片的面积是：． 故答案为：4． 【核心考点五 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，再根据正方形对角线平分一组对角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 当时，则菱形是正方形， ∴，即． 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在正方形中，连接，，平分交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，角的平分线定义，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，连接，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，可得，，则，再根据等边对等角，可得，结合，即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例4】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知：如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 °． 【答案】105 【分析】本题主要考查正多边形及正方形的性质，熟练掌握正多边形及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据四边形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴； 故答案为105． 【核心考点六 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·月考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°， ∴∠CON＝∠DOM， 在△OCN和△ODM中， ， ∴△OCN≌△ODM（ASA）， ∴S△OCN＝S△ODM， ∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON， 即S△ODC＝S四边形MOND＝2， ∵OD•OC＝2， 而OD＝OC， ∴OD＝2， ∴BD＝2OD＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键． 【例3】（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【例4】（2025·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【核心考点七 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 【例2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得，进而根据面积差以及三角形面积公式求得，最后根据完全平方公式即可求得． 【详解】菱形的对角线互相垂直平分， 个直角三角形全等； ，， ， 四边形是正方形，又正方形的面积为13， 正方形的边长为， 根据勾股定理，则， 中间空白处的四边形的面积为1， 个直角三角形的面积为， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得是解题的关键． 【例3】（2025·陕西汉中·二模）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 【例4】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：． 【核心考点八 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】 （24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（    ） A．45° B．60° C．67.5° D．72° 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 【例3】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，重合），于点，于点，连接．写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 【分析】延长FG交AD于点P，延长EG交AB于点Q，根据矩形和正方形的性质即可得到，，然后根据直角三角形APG中勾股定理即可证明． 【详解】解：． 理由如下：已知四边形ABCD是正方形，点G在对角线BD上（不与点B､D重合），，， 如解图，延长FG交AD于点P，延长EG交AB于点Q，则四边形AQGP是矩形，四边形PGED和四边形BQGF是正方形， ∴，， 在中，，即． 【点睛】此题考查了矩形和正方形的性质，勾股定理的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出矩形和正方形． 【核心考点九 中点四边形】 【例1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（    ） A．菱形 B．矩形 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，矩形的性质，推出原四边形的对角线互相垂直即可． 【详解】解：如图，分别为四边形的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴原四边形的对角线互相垂直；故C选项符合题意. 其它选项条件不足无法确定四边形的具体形状. 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 【例4】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 【核心考点十 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 【核心考点十一 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【答案】D 【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时，，，，， ， 解得：； 当时，，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键． 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解． 【例3】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 【例4】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 【核心考点十二 四边形中的线段最值问题】 【例1】（2025·广西·二模）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求． 【详解】解：如图：四边形周长等于, 作使 则， 作F关于BC的对称点,连接，交于点 四边形周长=，其中为定值， 当共线时最小，即四边形周长最小 四边形是矩形，， 则 ，    故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值． 【详解】解：因为，为的中点， 取的中点，连接MN，CN， 易得， 所以. 在点的运动过程中，的值不变， 因为， 当，，三点在同一条直线上时，最小， 此时． 故选：D 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线． 【例3】（2025九年级·河北唐山·学业考试）如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查线段的和差，线段最短，最长的计算方法，掌握两点之间线段最短，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，当时，线段的值最小；当点与点（或点）重合时，线段的值最大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【答案】2 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH=HQ，OH=HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB=30°，OB=4， ∴OH=2， ∴PH=1, ∴PQ=2PH=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 【核心考点十三 四边形其他综合问题】 【例1】（2025·山西临汾·一模）我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 【答案】B 【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成． 【详解】设两对角线的交点为E ∵ =54 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半． 【例3】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故②错误； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∵N为的中点， ∴， ∵G为上一动点（不与端点B，C重合）， ∴点D，F，G不可能共线， ∴不平行， 即四边形不可能是正方形，故③正确； 如图，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵G为中点，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 【变式训练1 正方形性质理解】 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在正方形内，确定一个点，使、、、均为等腰三角形，则点的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的判定，中垂线的性质． 作、、、的中垂线，则中垂线上的点到线段两端点的距离相等，分别以、为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据半径都相等，8个交点的位置都满足、、、均是等腰三角形，再加上两条中垂线的交点，也满足、、、均是等腰三角形，共有9个点，其中在正方形内部的点有5个据此作答即可． 【详解】解：如图，作、、、的中垂线， ①分别以、为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点， 根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足、、、均是等腰三角形； ②两条中垂线的交点，也满足、、、均是等腰三角形； ∴满足构成等腰三角形的所有点的个数为：； 其中在正方形内部的点有5个， 故选：D． 2．（2025八年级下·河北邯郸·专题练习）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，连接EF，则EF的长为 ． 【答案】5cm/5厘米 【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠AOE=∠DOF，∠EOD=∠COF，利用全等三角形的判定和性质得出∆AEO≅∆DFO，∆DEO≅∆CFO，DE=FC=3cm，DF=AE=4cm，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，对角线AC和BD相交于点O， ∴∠AOD=∠COD=90°，∠DAO=∠ADO=∠ODC=∠OCD=45°，AO=DO=CO， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF=90°， ∴∠AOE+∠EOD=∠EOD+∠DOF=90°，∠DOF+∠EOD=∠DOF+∠COF=90°， ∴∠AOE=∠DOF，∠EOD=∠COF， 在∆AEO与∆DFO中， ， ∴∆AEO≅∆DFO， 同理∆DEO≅∆CFO， ∴DE=FC=3cm，DF=AE=4cm， 连接EF， cm， 故答案为：5cm． 【点睛】题目主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 【答案】(1)是 (2)图2是一个长方形纸片，理由见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，然后通过两组对边相等，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）图2是一个长方形纸片，与（1）同理，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形； 即剪开后拼成的图2是一个长方形纸片； （2）解：图2是一个长方形纸片，理由如下： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形． 即图2是一个长方形纸片． 4．（24-25八年级下·北京西城·期中）图1是艺术节期间初二年级学生在数学活动课上折叠正方体的一个面，学生们称之为“折纸中的弦图”．其中最中心的四边形可以作为勾股定理的“无字证明”，也就是不需要代数运算，而是通过对于正方形的分割与拼接，就能得到直观的证明，英国佩里加尔就曾经这样命名了“水车翼轮法”（图2）．该证法是用线段，将正方形分割成四个全等的四边形，再将这4个四边形和正方形拼成大正方形（图3）． (1)若正方形的边长是6，，则正方形的面积为______，的长为______； (2)若的直角边分别用a、b来表示，则的长可以表示为______；（用含a、b的代数式表示）； (3)某学生发现这种无字证明不需要分割成四个全等的四边形，只需要在右图中画出这种互相垂直的分割线段，然后再将分割后的四边形进行平移拼接，例如四边形1平移到大正方形中1的位置，请你画出剩下的三个平移后的四边形，并用2、3、4分别表示． 【答案】(1)16， (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． （1）作于点，由题意，推出，在中，由勾股定理即可求解； （2）设，同（1）理，在中，，在中，，推出，解方程即可求解； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵将正方形分割成四个全等的四边形， ∴， ∴，即， ∵正方形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴正方形的面积为， 故答案为：16，； （2）解：同（1），作于点，设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得，不妨设，则， 故答案为：； （3）解：如图所示： 【变式训练2 添一个条件使四边形是正方形】 1．（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知四边形是平行四边形，若再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使四边形为正方形，根据正方形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，菱形是正方形； 故当选择①④时，四边形是正方形； ∵四边形是平行四边形， ∴，， 故当两个条件中有②或者③时，均不能得到四边形是正方形， 故选C． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，四边形中，，，，E是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，熟记矩形，正方形的判定方法是解本题的关键； （1）利用有三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可； （2）先证明，再结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）当满足时，四边形是正方形． 理由：∵，E是的中点，， ∴， 由（1）可知四边形是矩形 ∴四边形是正方形． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)为直角三角形且，理由见解析． 【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据正方形与菱形的关系即可得知为直角三角形且，有一个角为直角的菱形为正方形． 【详解】（1）解：图形如图所示： 理由：∵ 是 的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理， ∴四边形 是平行四边形， 又， ∴四边形 是菱形． （2）为直角三角形且，理由如下： ∵四边形 是菱形，， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练3 证明四边形是正方形】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图所示，的对角线,相交于点，以下说法正确的是（    ）    A．若，则是矩形 B．若，则是菱形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定定理，熟悉了解三者之间的关系及判定定理是解题关键．根据矩形、菱形、正方形的判定定理依次进行判断即可． 【详解】解：A、的对角线，相交于点，且， 是矩形，原说法正确，符合题意； B、若，得不到是菱形，原说法错误，不符合题意； C、若，得不到是正方形，原说法错误，不符合题意； D、若，则是矩形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是 时，四边形AOBE的面积取得最大值是 ． 【答案】 正方形 2 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；根据正方形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB． ∵OE＝CD， ∴OE＝AB． ∴平行四边形AEBO是矩形， ∴∠BOA＝90°． ∴AC⊥BD． ∴平行四边形ABCD是菱形； 当AD＝2时，四边形ABCD的形状是正方形， AB＝AD＝2，OE＝AB＝2， 即四边形AOBE的面积取得最大值是2． 故答案为：正方形，2． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定和性质，解本题的关键是掌握平行四边形的性质和菱形的判定． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、正方形的判定方法即可求证； （）在延长线上截取，连接，，由四边形是正方形，则，，证明，，设，则，，则，即，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)如图2，在△中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键，利用翻折的性质构造正方形是解决问题的难点． （1）过点A作于点K，证明四边形是矩形得，根据角平分线性质得，，由此可依据“”判定和全等，则，继而得，同理证明和全等得，继而得，根据得，由此即可得出的度数； （2）由（1）可知，据此即可得出结论； （3）将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，设，则，根据翻折的性质证明四边形是正方形，则，，进而得，在中，由勾股定理可求出，继而可得出的长． 【详解】（1）解：过点A作于点K，如图1所示： ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：由（1）可知：， ∴； （3）解：将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，如图2所示： 设，则， 在中，，高， ∴， 由翻折的性质得：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练4 正方形折叠问题】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定．过点N作，垂足为H，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，再证明，故此可知，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键；根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，   四边形是边长为的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中，，即， 解得， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南漯河·期中）正方形中，点H为射线上的一个动点，连接，把沿翻折，得到，直线交射线于点M，连接，过G作，分别交于E，N，F． (1)如图1，当点H在线段上时，填空： 的度数为_______；与的数量关系为________； (2)如图2，当点H在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请结合图2情形写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)45°，； (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等： （1）由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，，证明，得到， 再证明，即可得到；由平行线的性质得到，则，即可证明， （2）类似（1）证明，得到， 再由角的和差关系可证明，即；同理可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中结论仍然成立． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接，，延长交于点Q，连接（如图1）． （2）探究 ① 特例研究 按（1）中操作，当点M在上时（如图2），_____， _____； ② 一般推演 改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）进行（1）中操作．随着点P的位置改变，的度数是否发生变化，若不变，请按图3所示求出的度数，若变化，说明理由； （3）应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为6，当时，直接写出的长； （4）拓展 在（2）的探究中，连接分别交于点G、H（如图4），请直接写出线段、、之间一个等量关系式． 【答案】（2）①60，45；②随着点P的位置改变，的度数不发生变化，；（3）3或；（4） 【分析】（2）①如图，过作于，则四边形是矩形，证明，则，为的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，则，进而可得，证明，则，根据，，计算求解即可；②由①可得，即，由折叠可得，根据计算求解即可； （3）由题意知，分在的上方，在的下方，两种情况求解：①当在的上方时，设，则，，，在中，由勾股定理得，即，计算求解的值；②当在的下方时，设，则，，，在中，由勾股定理得，即，计算求解的值； （4）如图4，连接，，证明，则，，同理，则，，，在中，由勾股定理得，进而可得结论． 【详解】（2）①解：如图，过作于，则四边形是矩形， 由题意知，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：60，45； ②解：随着点P的位置改变，的度数不发生变化，； 由①可得，即， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴随着点P的位置改变，的度数不发生变化，； （3）解：由题意知，分在的上方，在的下方，两种情况求解： ①当在的上方时，，， 由可知， 设，则，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长为； ②当在的下方时，，， 由可知， 设，则，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长为； 综上所述，的长为3或； （4）解：； 由折叠可得，，，， 如图4，连接，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练5 根据正方形的性质与判定求角度】 1．（24-25八年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明即可求解； （2）连接DG，证明，结合（1）的结论即可求解； （3）连接DG，勾股定理求得的长，继而求得的长，由（1）知，由（2）知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： 证明：∵四边形是正方形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴ （2）证明：如图，连接GF，∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴在中，， ∴ （3）连接DG， ∵， ∴在中， ， ∵，∴， 由（1）知， 由（2）知，在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由见解析 【分析】(1)连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； (2)作正方形的对角线，即可画出． 【详解】（1）解：如图，四边形ABCD为所求； 连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； （2）解：如图，∠BAC即为所求． 理由如下： ∵四个全等的矩形被对角线分成的直角三角形全等， ∴． ∴四边形ABCD是菱形． 又∵(SAS)， ∴． ∵， ∴． ∴四边形ABCD是正方形，连接AC． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各特殊平行四边形的性质与判定是解决本题的关键． 【变式训练6 根据正方形的性质与判定求线段长】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得：，，从而得出四边形是正方形，即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形， ， ， 故选：C． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，与关于对称，连接．当点G恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定等知识，由轴对称的性质可得，，，则在以为圆心，为半径的圆上运动，通过证明四边形是正方形，可得． 【详解】解：如图，画出矩形的两条对称轴， 点是边的中点， ， 与关于对称， ，， 在以为圆心，为半径的圆上运动， 点恰好落在矩形的对称轴上，且点到的距离为， 点只能在上， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明，从而得出； （2）延长至F，使．连接，根据（1）知，即可证明，根据，得，利用全等三角形的判定方法得出，即，即可得出答案； （3）过作，交延长线于D，则四边形 为正方形，设，根据（1）（2）可知，，在中，利用勾股定理即可求解，即可作答． 本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图2， 延长至F，使．连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 又∵，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过作，交延长线于D， ∵在直角梯形中，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 根据（1）（2）可知，， 在中，∵， 即， 得：， ∴． 【变式训练7 根据正方形的性质与判定求面积】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ） A．100 B．144 C．169 D．225 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，然后根据旋转的性质可得，从而可得，最后根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可得． 【详解】解：四边形为矩形，， ， 分别为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 又绕点顺时针旋转， ， ， 平行四边形为正方形， 四边形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】100平方厘米 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，解此题的关键是求出四边形的面积等于正方形的面积． 过作于，求出四边形是矩形，求出，根据证，得出的面积等于的面积，，求出四边形的面积等于正方形的面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ∴的面积等于的面积，， ∴矩形是正方形， ∴四边形的面积． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 【变式训练8 根据正方形的性质与判定证明】 1．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）正方形ABCD、正方形CEFD如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，，且；连结AF交CD于H，有下列结论： ①；②；③；④. 以上结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用等角的余角相等得到∠BAP＝∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≌△PEF，则BP＝EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE＝EF，则可对①进行判断；由于∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≌△ADH，于是可对②进行判断；利用GF∥CE得到∠EPF＝∠GFP，加上∠BAP＝∠EPF，所以∠BAP＝∠GFP，则可对③进行判断；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对④进行判断． 【详解】解：∵∠APF＝90°， ∴∠APB+∠FPE＝90°， 而∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠FPE， 在△ABP和△PEF中， ， ∴△ABP≌△PEF， ∴BP＝EF， ∵四边形CEFG都是正方形， ∴CE＝EF， ∴BP＝CE，所以①正确； ∵∠BAP不一定等于∠DAH， ∴不能判断△ABP≌△ADH， ∴不能确定AP＝AH，所以②错误； ∵四边形CEFG都是正方形， ∴GF∥CE， ∴∠EPF＝∠GFP， 而∠BAP＝∠EPF， ∴∠BAP＝∠GFP，所以③正确； ∵S正方形ABCD+S正方形CEFG＝AB2+CE2＝AP2， S△APF＝AP2， ∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，对角线，M是AB上任意一点，由M点作，，垂足分别为E、F点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】由四边形ABCD是正方形，则，由，， 得到，是等腰三角形，进而得到即可． 【详解】由四边形ABCD是正方形，则，由，， ， 是等腰三角形, ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查正方形的性质与等腰三角形的判定，属于基础题． 3．（25-26九年级上·江西吉安·月考）在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及正方形的面积计算，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得和，即可得出结论； （2）根据正方形的性质可得，再利用正方形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）解：证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，，D是的中点， ∴在中，，， ∴平行四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知，， 在中，， ． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是、、、的中点． (1)求证：四边形为矩形； (2)菱形满足 时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据三角形中位线定理得出，，可证得四边形为平行四边形，根据菱形的性质得出，然后根据平行线的性质可得出，即可证明平行四边形是矩形； （2）当时，可证菱形是正方形，得出，根据三角形中位线定理得出，，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接，， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：∵， ∴菱形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形． 【变式训练9 中点四边形】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形…，记菱形的面积为，四边形的面积为…．若，则第个图形的面积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的规律，找到连接矩形、菱形中点则形成新四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键． 连接，菱形的面积为，得到矩形的面积为，菱形的面积为，故新四边形是原四边形的面积的一半，据此即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为， 顺次连接菱形四边的中点得到矩形，则矩形的面积为 ， 顺次连接矩形四边的中点得菱形，则菱形的面积为 …… 故新四边形是原四边形的面积的一半 则四边形的面积为菱形面积的 四边形的面积为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）已知四边形中，，且，，、、、分别为、、、的中点，那么四边形的面积等于 ． 【答案】20 【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形，再证明EF⊥EH，证得四边形EFGH是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案． 【详解】∵点E、F分别是边AB、BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC=4， 同理，HG∥AC，HG=AC=4，EH∥BD，EH=BD=5， ∴EF=HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，EF∥AC， ∴EF⊥BD， ∵EH∥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴四边形的面积=, 故答案为：20． 【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键 ． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹） 【答案】见解析（任选两种） 【分析】1、利用两底的中点，将图形分割成两个梯形，它们的上下底分别相等，高也相等，所以面积也相等； 2、连接对角线，利用的中点E，连接，则，，所以四边形和四边形的面积相等； 【详解】解：设梯形上、下底分别为a、b，高为h． 方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E、F， 则； 方案二：如图2，连接，取的中点E，连接， 则图中的四边形的面积=梯形的面积的一半， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积=梯形的面积的一半． 方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底上截取，连接， ∴， ， 则． 【点睛】本题需仔细分析题意，结合图形，利用中点即可解决问题． 4．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH． (1)这个中点四边形EFGH的形状是 ； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)平行四边形 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形； （2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状； 【详解】（1）根据题意可得：四边形EFGH的形状是平行四边形． 故答案为：平行四边形； （2）证明：连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， 综上可得：EF∥HG，EF=HG， 故四边形EFGH是平行四边形． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，本题还可证明EF=HG，EH=FG，然后得出四边形EFGH是平行四边形，难度一般．形． 【变式训练10 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE＝∠ADO；②EG＝EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，进而得到；首先证明，再根据三角形中位线的性质可得，进而得到；证明，根据平行线的性质可得，再根据等边对等角可得，进而得到. 【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵E是CO中点 ∴ ∴ 故①正确； ②∵ ∴是等腰三角形， ∵E是CO中点， ∴， ∴， ∵G为AB中点， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别OC、OD是的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵E、F分别OC、OD是的中点， ∴， ∵， ∴， ∠EFG=∠AGF， ∵， ∴， ∴， ∴GF平分， 故③正确； ④在中 ∵G为AB的中点， 而BE与AE不一定相等， ∴EG与AB不一定垂直， ∵ ∴EF与GE不一定垂直， 故④错误； 综上：①②③正确， 故答案是：①②③ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质以及等边对等角等性质，本题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用. 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】5 【分析】如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等，因此阴影部分就转化成了小正方形的一半，且阴影部分的面积已知，据此即可求出小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等． ∴ 【点睛】本题考查等底等高的三角形面积相等，解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于小正方形的面积的一半． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线； （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由． 【答案】（1）无数；无数（2）见解析（3）图见解析，理由见解析 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等推知S△ABC=S△AEC；由“割补法”可以求得． 【详解】解：（1）无数；无数． （2）这个图形的一条面积等分线如图： 连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线． （3）四边形ABCD的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE． ∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC=S△AEC． ∴． ∵S△ACD＞S△ABC， ∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线． 【变式训练11 （特殊）平行四边形的动点问题】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　） A．一直增大 B．保持不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】B 【分析】延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可． 【详解】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4， 延长BE，与GF的延长线交于点P． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BP，∠ADG＝∠P． ∵四边形AEFG是平行四边形， ∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF， ∴∠G＝∠EFP． ∵AD∥BP，AE∥DP， ∴四边形ADPE是平行四边形． 在△AGD与△EFP中， ∴△AGD≌△EFP（AAS）， ∴S4＝S△EFP， ∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD， 即S▱AEFG＝S▱ADPE， 又∵▱ADPE与▱ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等， ∴S▱ABCD＝S▱ADPE， ∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积． 故▱AEFG面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1)； (2) (3)t的值为；此时的面积为 (4)点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到 （3）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可； （4）根据轴对称的性质和三角形的面积公式，分别求出点P在上运动时和点P在上运动时的t值即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：当时P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． （4）解：分二种情况：①点P在上运动时，如图， 则，，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴， 即， ∵， ∴； ②点P在上运动时，如图， 则，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：； ∴点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【详解】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 【变式训练12 四边形中的线段最值问题】 1．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，正方形ABCD的面积为2，E、F为AB、BC中点，P为AC上的动点，的最小值等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】作点F关于AC的对称点，根据轴对称的性质得到，即线段的长度就是的最小值，再根据正方形的性质求出的长． 【详解】解：如图，作点F关于AC的对称点， 根据正方形的轴对称性，点在线段AD的中点处， 连接，此时最小， ∵E、分别是BC和AD的中点， ∴，， ∵四边形ABCD的正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最小问题，解题的关键是掌握正方形的性质以及利用轴对称的性质求线段和最小的方法． 2．（2025·河南·二模）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ． 【答案】 【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可． 【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小， ∵E，F为AB，AC的中点，BC=2， ∴，， ∵B为EQ中点，， ∴BP为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形； （2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决． 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形 与相等且互相平分 关于的对称图形为 ， 四边形是菱形 （2）解：作于，交于，则如图所示： 沿所在直线折叠，得到 ， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键． 4．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．    【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°或AB＝BC，理由见解析；（3） 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得AE＝AB，CF＝CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC＝AC，E为AB中点，得CE⊥AB，故四边形AECF是矩形； （2）当∠B＝45°时，可证∠BAC＝90°，由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形；当AB＝BC时，由BC＝AC，AB＝BC，可证得AC2+BC2＝AB2，△ACB为直角三角形，再由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形； （3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称得此时PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股定理求出FM即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝AB，CF＝CD， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵BC＝AC，E为AB中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形； （2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形， 理由：∵BC＝AC，∠B＝45°， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∵E为AB的中点， ∴EC＝AB＝AE， ∴矩形AECF为正方形， 或②当AB＝BC时，矩形AECF为正方形， 理由：∵BC＝AC，AB＝BC， ∴AC2+BC2＝2BC2， AB2＝（BC）2＝2BC2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形， ∵E为AB的中点， ∴EC＝AB＝AE， ∴矩形AECF为正方形； （3）解：连接EF，连接FM交AC于P， ∵四边形AECF为正方形， ∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM， 在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4， ∴FM＝ ∴PE+PM最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式训练12 四边形其他综合问题】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角板和多边形内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．明确邻补对等四边形的定义，再根据定义判断即可得解． 【详解】①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，将边长为4的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为3时，则的长为 ． 【答案】1或3 【分析】设AC、交于点E，DC、交于点F，且设，则，，列出方程即可解决问题． 【详解】设AC、交于点E，DC、交于点F，且设，则，， 重叠部分的面积为， 由， 解得或3． 即或3． 故答案是1或3． 【点睛】本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． (1)证明平行四边形是菱形； (2)若，连接、、，求证：是等边三角形； (3)若，，，是中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的知识，则，根据平行四边形的性质，则，，则，，等量代换，等角对等边，则，根据菱形的判定和性质，即可； （2）根据四边形是平行四边形，，求出，，根据菱形的性质，则是等边三角形，得到，根据平行线的性质，，则，根据角平分线的性质，得，根据全等三角形的判定和性质，得到，，，最后根据等边三角形的判定和性质，即可． （3）连接，，，根据，矩形的判定，正方形的判定，则四边形是正方形，根据角平分线的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵平分， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）得，四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：连接，，， ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∵平分， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形，菱形，全等三角形，等边三角形的知识，解题的关键平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，即可． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点在对角线上，连接、，延长交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质可证得和全等，即可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在菱形中，，点E是上一点，过点E作于点H，点O是上一点，过点O作，分别交于点F、G，，．则图中正方形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握各种判定及性质定理是解题的关键． 由题意可知从有一个角是直角三角形菱形为正方形证明四边形是正方形，再从有三个角是直角的四边形为矩形证明四边形为矩形，再证明其邻边相等，即可证明为正方形． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 而，即 又∵ ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故有3个正方形， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，点G在边上，连接交于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，得到，然后等量代换得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（2025·浙江宁波·一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以，，根据 ，化简后得，F为BC上一动点，x是变量，是x的系数，根据平不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断． 【详解】解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形， ∴，， 设，，，， ∴ ∵F为BC上一动点， ∴x是变量，是x的系数， ∵不会随点F的位置改变而改变，为固定值， ∴x的系数为0，bc为固定值， ∴， ∴， ∴E是AB的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4， ∴正方形的面积分别为25和16， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图．五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接，两个顶点，过顶点作，垂足为，“十字”形被分割成了①，②，③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ．    【答案】 【分析】连接、、、，可得四边形是正方形，然后求出和，再根据拼成的矩形的长为，宽为求出对角线长即可． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点D为对角线、的交点， ∴， ∵， ∴， 由图可得：拼成的矩形的长为，宽为， ∴这个矩形的对角线长为， 故答案为：．    【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确利用正方形的性质，得到是解题关键． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在正方形中，连接，延长至点E，使，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键．根据正方形的性质得，由，得，即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ， ∴． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 (3)见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由正方形的判定可得出结论； （2）过点作的垂线，垂足为．由直角三角形的性质及三角形面积可得出答案； （3）由全等三角形的性质得出，四边形的面积正方形的面积．设，则，即，求出，由图形的面积关系可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 即， ． ， ， ， 四边形为正方形． （2）解：过点作的垂线，垂足为． 由题意得为等腰直角三角形，即点为斜边的中点．   ， ， 又，，， 四边形的面积； （3）证明：四边形为正方形， ． ， ，四边形的面积正方形的面积． 设，则， 即， ， 正方形的面积． ， 整理得， ． 【点睛】题是四边形综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 13．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______，______，（分别用含有的式子表示）； (2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (3)当为何值时，四边形为平行四边形？ (4)当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，， (2) (3)运动时，四边形是平行四边形 (4)运动时，四边形是平行四边形 【分析】（1）根据条件求解即可； （2）设点A到的距离为，根据题意表示出四边形的面积和面积，求解即可； （3）当时，四边形是平行四边形，求解即可； （4）当时，四边形是平行四边形，求解即可． 【详解】（1）解∵点以的速度由A向运动， ∴， ∵ ∴， ∵点以的速度由向运动，， ∴， ∴； （2）解：设点A到的距离为， 四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴，即， ， ； （3）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ； 运动时，四边形是平行四边形 （4）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ∴运动时，四边形是平行四边形； 【点睛】本题考查动点问题，涉及到平行四边的性质等，灵活运用所学知识是关键． 14．（24-25八年级下·海南海口·月考）【问题情境】 如图，在矩形中，是边上的一点，过点作，过点作，过点作，且． 【基础探究】 （1）如图，求证：； 【深入探究】 （2）如图，当在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明； 【拓展迁移】 （3）如图，在（2）的条件下，连接，，当在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2），证明见解析  （3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明即可得证； （2）证明四边形是矩形，结合，可得四边形是正方形，所以，进一步即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 又，，， ， ， ， ， 又，， ， ； （2），证明如下： ，，， 四边形是矩形， 同（1）理可得， ，， 四边形是正方形， ， ； （3），理由如下： 过点作于点，在上截取，连接， ，， 由（2）得， ， 矩形是正方形， 又四边形是正方形形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ． 15．（2025八年级下·江苏无锡·模拟预测）已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 正方形（5个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 正方形性质理解 题型二 添一个条件使四边形是正方形 题型三 证明四边形是正方形 题型四 正方形折叠问题 题型五 根据正方形的性质与判定求角度 题型六 根据正方形的性质与判定求线段长 题型七 根据正方形的性质与判定求面积 题型八 根据正方形的性质与判定证明 题型九 中点四边形 题型十 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十一 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十二 四边形中的线段最值问题 题型十三 四边形其他综合问题 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．    知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 2．（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是 ．（只填一个条件即可） 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即时训练】 1．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，且当运动了一秒后才以每秒的速度从点出发，在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止），在这段时间内，动点、能与点、点形成平行四边形的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河南驻马店·模拟预测）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期末）已知任意四边形的四条边中点组成的图形是平行四边形，当这个平行四边形成为矩形时，原四边形的对角线（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相平分且相等 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）已知四边形ABCD的对角线互相垂直，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是 ． 【核心考点一 正方形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【例3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为 ． 【例4】 （24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    【核心考点二 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【例3】 （25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”） 【例4】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是 ．（写出一个即可） 【核心考点三 证明四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（　　） A．，， B． C．， D．， 【例2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在由六个大小相同的小正方形组成的的矩形网格中，去掉两条线段后，还有四个正方形．以下去掉两条线段的方法正确的是（    ）    A．、 B．、 C．、 D．、     【例3】（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 【例4】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当 s时，四边形为正方形． 【核心考点四 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【例3】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【例4】（24-25九年级上·江苏南通·月考）将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【核心考点五 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在正方形中，连接，，平分交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数 ． 【例4】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知：如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 °． 【核心考点六 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·月考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【例3】（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【例4】（2025·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 【核心考点七 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【例2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【例3】（2025·陕西汉中·二模）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【例4】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    【核心考点八 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】 （24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（    ） A．45° B．60° C．67.5° D．72° 【例3】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【例4】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，重合），于点，于点，连接．写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【核心考点九 中点四边形】 【例1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（    ） A．菱形 B．矩形 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【例2】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【例3】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【例4】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【核心考点十 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．  D．   【例2】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【例3】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 【核心考点十一 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【例3】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【例4】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【核心考点十二 四边形中的线段最值问题】 【例1】（2025·广西·二模）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025九年级·河北唐山·学业考试）如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【核心考点十三 四边形其他综合问题】 【例1】（2025·山西临汾·一模）我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 【例3】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【例4】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【变式训练1 正方形性质理解】 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在正方形内，确定一个点，使、、、均为等腰三角形，则点的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2025八年级下·河北邯郸·专题练习）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，连接EF，则EF的长为 ． 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 4．（24-25八年级下·北京西城·期中）图1是艺术节期间初二年级学生在数学活动课上折叠正方体的一个面，学生们称之为“折纸中的弦图”．其中最中心的四边形可以作为勾股定理的“无字证明”，也就是不需要代数运算，而是通过对于正方形的分割与拼接，就能得到直观的证明，英国佩里加尔就曾经这样命名了“水车翼轮法”（图2）．该证法是用线段，将正方形分割成四个全等的四边形，再将这4个四边形和正方形拼成大正方形（图3）． (1)若正方形的边长是6，，则正方形的面积为______，的长为______； (2)若的直角边分别用a、b来表示，则的长可以表示为______；（用含a、b的代数式表示）； (3)某学生发现这种无字证明不需要分割成四个全等的四边形，只需要在右图中画出这种互相垂直的分割线段，然后再将分割后的四边形进行平移拼接，例如四边形1平移到大正方形中1的位置，请你画出剩下的三个平移后的四边形，并用2、3、4分别表示． 【变式训练2 添一个条件使四边形是正方形】 1．（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知四边形是平行四边形，若再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 2．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，四边形中，，，，E是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【变式训练3 证明四边形是正方形】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图所示，的对角线,相交于点，以下说法正确的是（    ）    A．若，则是矩形 B．若，则是菱形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是 时，四边形AOBE的面积取得最大值是 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)如图2，在△中，，高，，求的长度． 【变式训练4 正方形折叠问题】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．    3．（24-25八年级下·河南漯河·期中）正方形中，点H为射线上的一个动点，连接，把沿翻折，得到，直线交射线于点M，连接，过G作，分别交于E，N，F． (1)如图1，当点H在线段上时，填空： 的度数为_______；与的数量关系为________； (2)如图2，当点H在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请结合图2情形写出证明过程；若不成立，请说明理由． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接，，延长交于点Q，连接（如图1）． （2）探究 ① 特例研究 按（1）中操作，当点M在上时（如图2），_____， _____； ② 一般推演 改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）进行（1）中操作．随着点P的位置改变，的度数是否发生变化，若不变，请按图3所示求出的度数，若变化，说明理由； （3）应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为6，当时，直接写出的长； （4）拓展 在（2）的探究中，连接分别交于点G、H（如图4），请直接写出线段、、之间一个等量关系式． 【变式训练5 根据正方形的性质与判定求角度】 1．（24-25八年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【变式训练6 根据正方形的性质与判定求线段长】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，与关于对称，连接．当点G恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 4．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【变式训练7 根据正方形的性质与判定求面积】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ） A．100 B．144 C．169 D．225 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【变式训练8 根据正方形的性质与判定证明】 1．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）正方形ABCD、正方形CEFD如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，，且；连结AF交CD于H，有下列结论： ①；②；③；④. 以上结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，对角线，M是AB上任意一点，由M点作，，垂足分别为E、F点，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·江西吉安·月考）在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是、、、的中点． (1)求证：四边形为矩形； (2)菱形满足 时，四边形为正方形． 【变式训练9 中点四边形】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形…，记菱形的面积为，四边形的面积为…．若，则第个图形的面积的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）已知四边形中，，且，，、、、分别为、、、的中点，那么四边形的面积等于 ． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹） 4．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH． (1)这个中点四边形EFGH的形状是 ； (2)请证明你的结论． 【变式训练10 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE＝∠ADO；②EG＝EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线； （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由． 【变式训练11 （特殊）平行四边形的动点问题】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　） A．一直增大 B．保持不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 4．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【变式训练12 四边形中的线段最值问题】 1．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，正方形ABCD的面积为2，E、F为AB、BC中点，P为AC上的动点，的最小值等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·河南·二模）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 4．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．    【变式训练12 四边形其他综合问题】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，将边长为4的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为3时，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． (1)证明平行四边形是菱形； (2)若，连接、、，求证：是等边三角形； (3)若，，，是中点，求的长． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点在对角线上，连接、，延长交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在菱形中，，点E是上一点，过点E作于点H，点O是上一点，过点O作，分别交于点F、G，，．则图中正方形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，点G在边上，连接交于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江宁波·一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 7．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是 ． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 10．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图．五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接，两个顶点，过顶点作，垂足为，“十字”形被分割成了①，②，③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ．    11．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在正方形中，连接，延长至点E，使，连接，求的度数． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 13．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______，______，（分别用含有的式子表示）； (2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (3)当为何值时，四边形为平行四边形？ (4)当为何值时，四边形为平行四边形？ 14．（24-25八年级下·海南海口·月考）【问题情境】 如图，在矩形中，是边上的一点，过点作，过点作，过点作，且． 【基础探究】 （1）如图，求证：； 【深入探究】 （2）如图，当在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明； 【拓展迁移】 （3）如图，在（2）的条件下，连接，，当在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 15．（2025八年级下·江苏无锡·模拟预测）已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $