专题12 二次函数及其应用（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题12 二次函数及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型 01 二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性） 题型 02 二次函数图象的平移、对称与旋转 题型 03 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 题型 04 二次函数的最值问题 题型 05 二次函数的实际应用（利润、面积、抛物线型） 题型 06 二次函数与几何综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图象和性质 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 【典例02】（2026·辽宁抚顺·一模）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A． 当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 1.二次函数的定义 一般地，形如 （、、 为常数，且 ） 的函数，叫作二次函数。 2.二次函数表达式的三种形式 表达式形式 表达式 核心特征 适用场景 一般式 （） 包含三个待定系数 、、 已知图像上任意三个点的坐标 顶点式 （） 直接体现顶点坐标 已知顶点坐标或对称轴及一个点 交点式 （） 直接体现与x轴的交点 、 已知与x轴的两个交点及一个点 3.一般式配方为顶点式 通过配方法，，顶点坐标为 4.二次函数的图象与性质 表达式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 5.抛物线的顶点坐标 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 （一般式）或 （顶点式）。 变式演练 【变式01】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【变式02】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 题型02 二次函数图象的平移、对称与旋转 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是 ． 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 遵循“上加下减，左加右减”的原则。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 题型03 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根。 ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 题型04 二次函数的最值问题 典例引领 【典例01】（2025·辽宁鞍山·三模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【典例02】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 开口方向判断‌：a > 0开口向上，有‌最小值‌；a < 0开口向下，有‌最大值‌。 区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁营口·模拟预测）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 【变式02】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 题型05 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·二模）某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村．具体销售相关信息梳理如下表： 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元 2元 不低于22元，不高于 45元 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y（）与销售价格x（元）之间的函数关系： 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 题型06 二次函数与几何综合 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 方法透视 考向解读 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 熟练掌握并利用二次函数图象与性质，理解与新定义问题中的出现的新概念结合应用，掌握二次函数与几何图形的结合，体会代几综合问题，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题●型●训●练 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 5．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 8．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 10．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 11．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 12.（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 二次函数及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型 01 二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性） 题型 02 二次函数图象的平移、对称与旋转 题型 03 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 题型 04 二次函数的最值问题 题型 05 二次函数的实际应用（利润、面积、抛物线型） 题型 06 二次函数与几何综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图象和性质 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 【典例02】（2026·辽宁抚顺·一模）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A． 当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【详解】二次函数, 所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，不符合题意； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确，符合题意； 顶点坐标为（2，-3），选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，不符合题意， 故答案选B 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 1.二次函数的定义 一般地，形如 （、、 为常数，且 ） 的函数，叫作二次函数。 2.二次函数表达式的三种形式 表达式形式 表达式 核心特征 适用场景 一般式 （） 包含三个待定系数 、、 已知图像上任意三个点的坐标 顶点式 （） 直接体现顶点坐标 已知顶点坐标或对称轴及一个点 交点式 （） 直接体现与x轴的交点 、 已知与x轴的两个交点及一个点 3.一般式配方为顶点式 通过配方法，，顶点坐标为 4.二次函数的图象与性质 表达式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 5.抛物线的顶点坐标 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 （一般式）或 （顶点式）。 变式演练 【变式01】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式02】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 题型02 二次函数图象的平移、对称与旋转 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】（﹣7，0） 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案． 【详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2， 故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）． 故答案为（-7，0）． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 遵循“上加下减，左加右减”的原则。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象和系数的关系，根据抛物线开口向上，可得，据此判断A；抛物线与轴的交点在轴的下方，据此判断B；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 题型03 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为， 由图可知，当或时，抛物线位于x轴的下方，即， 故答案为：B． 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根。 ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 题型04 二次函数的最值问题 典例引领 【典例01】（2025·辽宁鞍山·三模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得值和函数关系式，再求得最小值即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值， 故选：B． 【典例02】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 【答案】A 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8， ∴在﹣1≤x≤4的取值范围内，当x＝3时，有最小值﹣8， 当x＝﹣1时，有最大值为y＝16﹣8＝8． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键． 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 开口方向判断‌：a > 0开口向上，有‌最小值‌；a < 0开口向下，有‌最大值‌。 区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁营口·模拟预测）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值的求法．将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，函数最小值为， 则当时，则二次函数的最小值小于0． 故选：B． 【变式02】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴ 化简得 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时t无解； 当时，∵，y随m增大而减小， ∴ ，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：D． 题型05 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·二模）某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村．具体销售相关信息梳理如下表： 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元 2元 不低于22元，不高于 45元 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y（）与销售价格x（元）之间的函数关系： 【答案】当销售价格为35元时，利润最大为450元 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．设销售利润为w元，然后分和两种情况根据销售利润（销售价格收购价格运费等相关销售成本）销售量列出函数解析式，由函数性质求出最大值． 【详解】解：设销售利润为w元， 当时， ， ∵，， ∴当时，w取得最大值，w的最大值为（元）， 当时， ， ∵，， ∴当时，w取得最大值，w的最大值为450， ∵， ∴当销售价格为35元时，利润最大为450元． 方法透视 考向解读 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 【答案】(1)，的取值范围为 (2) (3)20元或30元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得；再根据销售单价不低于进价，建立不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）根据每天销售利润（销售单价进价）日销售量列出函数关系式即可得； （3）令，建立一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则与之间的函数表达式为． ∵销售单价不低于进价，， ∴， 解得， 答：与之间的函数表达式为，的取值范围为． （2）解：由题意得： ， 答：与之间的函数关系式为． （3）解：令，则， 解得或，均在范围内， 答：当满天星的销售价格定为20元或30元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 题型06 二次函数与几何综合 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 方法透视 考向解读 二次函数与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 方法技能 熟练掌握并利用二次函数图象与性质，理解与新定义问题中的出现的新概念结合应用，掌握二次函数与几何图形的结合，体会代几综合问题，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）分别令的，即可求出直线与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，设，则，（其中），利用三角形面积公式，即可求出点的坐标； （3）作交抛物线于点，作于点， 设，，得，，根据即可得，解方程可得； 作关于轴对称点，连接，作交抛物线于点，作于点，设，则，同法可得，进而得解． 【详解】（1）解：在中， 当时，； 当时，， 解得：， ，， 将，代入中， 得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴，交于点，如图： 设，则，（其中）， ； 由（1）得：，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 此时，， ；    （3）解：①作交抛物线于点， ， 在中， ， 作于点，    设，， ，， ， ， ， ， ． 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，， ； ②作关于轴对称点， 连接，则， 作交抛物线于点，   ， ， ， 作于点 设，则， ，， ， ， 整理得， 解得：（舍去），， 当时，， ； 综上所述,点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，三角函数，会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程的问题．是正确解答此题的关键． 题●型●训●练 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 5．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 8．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 10．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 11．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 12.（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $