7.4正切函数的图像与性质（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

7.4 正切函数的图像与性质 题型1 求含正切函数的定义域 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·月考）函数的定义域为________． 3．（25-26高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为______． 5．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）函数的定义域是________． 题型2 求正切函数的单调区间 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间是______． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 4．（25-26高二下·云南怒江·月考）若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若将函数图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 题型3 求正切函数的奇偶性 1．（25-26高一下·北京·月考）下列函数中是奇函数且周期为的函数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 3．（25-26高三下·上海虹口·月考）以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东梅州·期末）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·青海西宁·月考）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型4 求正切函数的周期 1．（25-26高一下·上海·月考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（25-26高一下·江西抚州·月考）函数的最小正周期为（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高一下·江西景德镇·月考）函数的最小正周期是______． 4．（25-26高一下·河南·月考）函数的最小正周期为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 题型5 求正切函数的对称中心 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标向上平移个单位，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是___________． 2．（25-26高一下·安徽合肥·月考）函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北黄石·月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期末）下列是函数的对称中心是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北恩施·二模）已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 题型6 求正切函数的值域（最值） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）求函数的定义域和值域. 3．（25-26高一上·山东·月考）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 4．（2026高一下·全国·专题练习）若，则函数的值可以为（   ） A． B． C．3 D．4 题型1 比较三角函数值的大小 1．（25-26高一上·山东济宁·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）设，且，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 正切函数根据单调性求参 1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则______. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为_______． 题型3 正切函数根据奇偶性或对称性求参 1．（25-26高一下·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值：_____． 3．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型1 正切函数的交点或解 1．（25-26高一下·江西南昌·月考）不等式在内的解集________. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）当时，确定方程的根的个数为_________个. 3．（25-26高一上·山西吕梁·期末）已知，若不等式在内的正整数解有个，则的值可能是（    ） A．337 B．338 C．674 D．1012 4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 5．（25-26高一下·上海·月考）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 题型2 正切函数的性质综合 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 2．（25-26高一下·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 3．（25-26高一上·湖北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C． D．的图象关于点对称 4．（25-26高一上·云南迪庆·期末）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象关于点中心对称 C．函数的定义域为 D．函数的单调递增区间为 5．（25-26高一上·广西河池·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为π B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 正切函数的图像与性质 题型1 求含正切函数的定义域 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数及正切函数的性质即可求得函数的定义域. 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 2．（25-26高一下·北京·月考）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为 3．（25-26高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质求解即可. 【详解】要使函数有意义，则需满足，即 解得， 所以函数的定义域为， 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 5．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）函数的定义域是________． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以函数的定义域是． 题型2 求正切函数的单调区间 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间是______． 【答案】 【详解】令， 所以函数的单调递增区间是. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】解不等式，，可得出函数的递增区间. 【详解】因为正切函数的单调递增区间为，， 对于函数，由，， 解得，， 故函数的单调递增区间是，， 故选：B. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为， 【分析】由正切函数的奇偶性可得，结合正切函数的单调递增区间可解得的单调递增区间即的单调递减区间为. 【详解】， 由，， 得，． 所以的单调递增区间为， 即的单调递减区间为，． 4．（25-26高二下·云南怒江·月考）若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用正切函数的对称中心为，即每隔半个周期就有一个对称中心. 【详解】因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为， 设的最小正周期为T，则，得. 由，， 得，， 所以的单调递增区间为,（）. 5．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若将函数图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图像变换得，使用整体代入法结合正切函数图像性质即可求得的单调递增区间. 【详解】由已知得，， 令，，解得. 所以的单调递增区间为. 题型3 求正切函数的奇偶性 1．（25-26高一下·北京·月考）下列函数中是奇函数且周期为的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A ：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误； 对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确； 对于C ：的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，且最小正周期为，C错误； 对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，最小正周期为，D错误. 2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】由诱导公式进行化简，再利用函数解析式求解相应的性质. 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 3．（25-26高三下·上海虹口·月考）以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，，函数定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项B，，函数定义域为，所以函数为非奇非偶函数； 对于选项C，，定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项D，，函数定义域为， 且，所以函数为奇函数； 4．（25-26高一上·广东梅州·期末）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据偶函数的定义判断函数是否为偶函数,再根据函数的性质判断函数在区间上的单调性逐个分析选项即可. 【详解】对于选项A,函数其定义域为R,关于原点对称. ,所以是偶函数. 当,,根据正弦函数的图像性质在上单调递增. 故A正确. 对于选项B,函数其定义域为R,关于原点对称. ,所以是偶函数. 根据余弦函数的图像性质,在上单调递减.故B错误. 对于选项C,函数其定义域为,关于原点对称. ,所以是偶函数. 当,,根据正切函数的图像性质在上单调递增.故C正确. 对于选项D, 函数其定义域为R,关于原点对称. ,所以是偶函数. 令,当时, ,函数在上单调递增,根据复合函数的同增异减原则在上单调递增.故D正确. 故选:ACD. 5．（25-26高三上·青海西宁·月考）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递减，所以A不符合题意； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，所以B不符合题意； 对于C，函数是奇函数，在上不是单调函数，所以C不符合题意； 对于D，函数是奇函数，且在上单调递增，所以D符合题意. 故选：D. 题型4 求正切函数的周期 1．（25-26高一下·上海·月考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】先求出原函数的定义域，再运用三角恒等变换与同角三角函数将其化成正切函数，结合周期公式和原函数定义域即可求得其周期． 【详解】函数有意义，需使且， 即函数的定义域为：且， 因 ， 该函数的周期为π，但原函数的定义域且， 不满足以π为周期，而满足以2π为周期，故原函数的最小正周期为2π. 2．（25-26高一下·江西抚州·月考）函数的最小正周期为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为. 3．（25-26高一下·江西景德镇·月考）函数的最小正周期是______． 【答案】/ 【详解】函数的最小正周期是. 4．（25-26高一下·河南·月考）函数的最小正周期为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为. 5．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式求三角函数的周期. 【详解】函数的最小正周期为：. 题型5 求正切函数的对称中心 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标向上平移个单位，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是___________． 【答案】 【分析】首先得到平移变换后的函数解析式，再利用整体代换法求解即可. 【详解】横坐标伸长到原来的倍，得， 纵坐标向上平移个单位，得， 向左平移个单位，化简得最终函数. 令，解得，纵坐标为， 即函数图象的对称中心为. 2．（25-26高一下·安徽合肥·月考）函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数对称中心的性质，令函数的相位，求解横坐标并代入值得到对应对称中心. 【详解】根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 所以的图象的对称中心为，. 对照各选项，可知时，对称中心为. 3．（25-26高一下·湖北黄石·月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先分析函数图象变换过程： 1.横坐标伸长：将的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)， 根据横坐标伸缩变换规则)，得到函数. 2.向左平移：将上述函数向左平移个单位(左移个单位时)， 得：. 接下来求正切函数的对称中心： 正切函数的对称中心满足， 对于满足：； 解此方程得：. 因此，所得函数图象的对称中心为. 4．（25-26高一上·四川成都·期末）下列是函数的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 所以函数的对称中心是， 显然不存在使得，当时， 所以函数的一个对称中心为，选A. 5．（2026·湖北恩施·二模）已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解. 【详解】 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 图象如图，满足题意，它的对称中心为．故选A． 题型6 求正切函数的值域（最值） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，即可求得该函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】，．在上为增函数， ，． 即函数在上的最大值为，最小值为. 故答案为：；. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）求函数的定义域和值域. 【答案】定义域为，值域为． 【分析】由，并结合图象可求得原函数的定义域，进而可求值域． 【详解】作出函数在上的图象，如图所示． 因为，所以， 结合图象易得，显然有． 故函数的定义域为，值域为． 3．（25-26高一上·山东·月考）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题设知：，根据正切函数的性质求解最值，即可求得a的取值范围. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（2026高一下·全国·专题练习）若，则函数的值可以为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【分析】先应用两角和正弦公式计算化简，再结合正切函数单调性得出值域即可得出选项. 【详解】 ， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以在上单调递增， 故，即函数的值域为， 故选：CD． 题型1 比较三角函数值的大小 1．（25-26高一上·山东济宁·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性和对数函数的单调性求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：D. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）设，且，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】借助当时，，判断AB；设，利用单调性得的范围. 【详解】先证：当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于A，当时，，则，即，A正确； 对于B，当时，，则，即，结合， 则，故B错误； ，所以， 设， 因为在上单调递减， ，(实际略大于）， 所以，C错误，D正确. 故选：AD 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出单位圆，，由，有，得到，再根据，有即可得到答案． 【详解】作出单位圆，，用三角函数线进行求解，如图所示，因为， 所以有，所以，即． 由图可知，即， 所以，即． 综上，． 故选：B. 4．（25-26高三上·安徽·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过将与作比较，确定的范围，进而比较其大小. 【详解】因为，所以； 因为，所以，. 所以. 所以，即. 故选：B. 5．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数、正切函数结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，， 且正弦函数在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为正切函数在上单调递增，且，故， 因此. 故选：A. 题型2 正切函数根据单调性求参 1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换求出，进而求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，， 由，得，又函数在上单调递增， 而函数的单调递增区间为， 因此，则， 解得，而，所以. 故选：B 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 3．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则______. 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，根据两角差正切公式可得，结合根据在上单调递增即可求解. 【详解】由题意得，， 化简得，， 所以，可得， 根据在上单调递增，故，解得，所以. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 题型3 正切函数根据奇偶性或对称性求参 1．（25-26高一下·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 【答案】1 【详解】将向左平移个单位， 得：， 又因为为奇函数，所以， 整理得： ， 又因为，所以. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值：_____． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据图象变换可得，结合奇函数性质可得，即可得结果. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象， 又因为函数为奇函数，则，解得， 故可取的一个值为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 3．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 题型1 正切函数的交点或解 1．（25-26高一下·江西南昌·月考）不等式在内的解集________. 【答案】 【详解】，且，代入得：. 在内，恒成立，仅当时取等号，显然不在不等式解集内. 因此不等式等价于，即在内的解集， 由正切函数的图像与性质可得原不等式解集为. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）当时，确定方程的根的个数为_________个. 【答案】 【分析】将方程变形为，令，在同一个坐标系中画出两函数的图象，根据图象的交点个数可求得方程的根的个数. 【详解】将方程变形为，令， 在同一平面直角坐标系中， 作出与在内的图象， 当时，有， 如图所示，由图象可知它们有三个交点， 所以方程有三个根. 故答案为：. 3．（25-26高一上·山西吕梁·期末）已知，若不等式在内的正整数解有个，则的值可能是（    ） A．337 B．338 C．674 D．1012 【答案】B 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分时和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当时，不等式在中无整数解； 当时，因为， 所以， 则不等式在内只有1个整数解1或2， 而， 则在中可能有个整数解. 故选：B 4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 【答案】②③ 【分析】画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断①；对于②，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于③，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】令，即，易知当时，，显然不符题意，故，因此等价于. 对于①：画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①错误； 对于②：的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即，故②正确； 对于③：由，推出 ， 因为，且由②可知， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故③正确. 故答案为：②③ 5．（25-26高一下·上海·月考）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 【答案】 【分析】令，代入不等式并求得，令函数，求得函数的周期及定义域，作出函数的部分图象，讨论的取值结合函数图象得到不等式的整数解的值，然后得到结果. 【详解】令，则不等式化简为，则， 由的周期，且，则， ∴函数的定义域为，函数大致图象如下， 在中的可能值讨论如下： 若，； 若，则内整数解为1，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为3，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为1，所以； 若，. 综上：m的所有可能值的集合为. 题型2 正切函数的性质综合 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】B 【分析】根据正切函数的周期性，对称中心坐标，单调性，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 若的最小正周期是，则，解得，故A错误； 对于B，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故B正确； 对于C，当时，， 则，，所以，故C错误； 对于D，令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以或， 由，得，由，得， 所以的取值范围是，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】A 【分析】利用正切型函数的周期公式可判断A选项；解不等式可判断B选项；利用正切型函数的奇偶性可判断C选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对； 对于B选项，由可得， 故函数的定义域是，B错； 对于C选项，是非奇非偶函数，C错； 对于D选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，D错. 故选：A. 3．（25-26高一上·湖北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据正切函数的性质求解即可. 【详解】对于选项，令，解得，故错误； 对于选项，最小正周期，故错误； 对于选项，，因为， 所以；， 因此，故错误； 对于选项，令，解得，此时， 所以函数图象关于点对称，当时，对称中心为，故正确. 故选： 4．（25-26高一上·云南迪庆·期末）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象关于点中心对称 C．函数的定义域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】C 【分析】由正切函数最小正周期公式求解判断A；根据正切函数的对称中心求解判断B； 根据正切函数定义域列式求解判断C；根据正切函数的单调性求解判断D. 【详解】选项A，由，可知函数的最小正周期，故错误； 选项B，令，解得， 故对称中心为， 若点为中心对称，则，解得，故错误； 选项C，令，解得， 所以函数的定义域为，故正确； 选项D，令， 解得函数增区间为，故错误， 故选：C. 5．（25-26高一上·广西河池·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为π B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，故A错误； 对于B：因为，所以函数的值域为，故B错误； 对于C：令，解得， 所以的对称中心为， 当时其一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，故D错误. 故选：C 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $