7.3.3 余弦函数的性质和图象（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.3.3 余弦函数的性质和图象 题型一 函数的周期问题 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·月考）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，，则的值为 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义域为R，最小正周期为的函数．若则 ． 5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）函数的最小正周期是，则 ． 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．（23-24高一上·贵州黔南·期末）下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·河南开封·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高一上·江苏常州·月考）把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是 ． 5．（24-25高一下·上海杨浦·月考）满足为奇函数的所有组成的集合有 个子集. 6．（22-23高三上·山东·月考）已知函数是定义在上的奇函数，则 . 7．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 8．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数，，则 . 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．（25-26高一上·江苏常州·月考）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东茂名·月考）函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）在内，函数和都是增函数的区间是 . 4．（24-25高一下·上海·月考）函数的单调增区间为 ． 5．（25-26高一上·山东淄博·月考）函数的单调递增区间为 . 题型五 比较大小问题 1．（2025·广西南宁·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）定义在非零实数集上的函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）［多选］已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若为锐角，则的大小关系为 ． 题型六 解三角函数不等式 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·江西萍乡·期中）若，则满足不等式成立的的集合有（    ） A． B． C． D． 题型七 “五点法”作余弦型函数的图象 1．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 3．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 题型八 函数图像的识别 1．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）函数，的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·广东茂名·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数，则图象如图可能对应的函数为（    ） A． B． C． D． 题型九 函数图像的交点问题 1．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（21-22高一上·江苏常州·期末）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 3．（24-25高一下·河北承德·月考）当时，曲线与的交点个数为 . 4．（25-26高一上·北京·月考）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是 ．（写出一个满足条件的坐标即可） 6．（25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则当时，的图象与图象的交点个数为 ． 题型十 函数图象的对称问题 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·月考）若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·海南·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一下·陕西渭南·月考）若函数对任意x都有，则（   ） A．3或0 B．或3 C．0 D．或0 7．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 题型十一 求函数的解析式 1．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，且满足，，请设计一个满足条件的函数解析式， ． 2．（2023·吉林通化·模拟预测）某函数满足以下三个条件： ①是偶函数；②；③的最大值为4． 请写出一个满足上述条件的函数的解析式 ． 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 题型二 函数的定义域问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 3．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 . 题型三 函数的值域、最值问题 1．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2025高一上·江苏·专题练习）函数的值域为 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 5．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域. (1)； (2). 题型四 余弦函数的图象及应用 1．（多选）（24-25高一下·四川雅安·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 2．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则 . 3．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知，顺次连接函数与图象的任意三个相邻的交点都可以构成一个等边三角形，则的值为 ． 4．（25-26高一上·全国·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是 题型五   余弦函数图象和性质的综合问题 1．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象在区间上有且仅有3个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的值可能是3 B．在区间上单调递减 C．图象的对称轴可能是 D．若将函数的图象沿轴平移个单位长度，则不可能得到奇函数的图象 2．（多选）（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数，则（   ） A．为的一个零点 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是奇函数 3．（23-24高一下·北京·期中）在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是 . 4．（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值． 5．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且满足. (1)求的值； (2)求函数距离原点最近的一条对称轴； (3)求函数的单调递减区间. 6．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 7．（25-26高一上·天津·月考）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； 8．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 9．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 题型一 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 题型二 函数的零点相关问题 1．（24-25高三上·吉林通化·期中）已知是函数在上的两个零点，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州·月考）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南大理·月考）已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围是 ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.3 余弦函数的性质和图象 题型一 函数的周期问题 1．【答案】B 2．【答案】AB 3．【答案】/-0.5 4．【答案】 5．【答案】 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．【答案】D 2．【答案】AC 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】1 6．【答案】0 7．【答案】-5 8．【答案】7 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 题型五 比较大小问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】ABC 4．【答案】 题型六 解三角函数不等式 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】AD 题型七 “五点法”作余弦型函数的图象 1．【答案】D 2．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 3．【答案】(1)见解析； (2)对称轴为，对称中心为； (3) 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx(型)函数的值域、五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）由，得，由三角函数性质可得的值域. 【详解】（1）列表 0 函数图像如图所示 （2）令，得对称轴：， 令，得，所以对称中心为； （3）由，得， 当，即时，； 当，即时，. 所以的值域为. 题型八 函数图像的识别 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 题型九 函数图像的交点问题 1．【答案】B 2．【答案】4 3．【答案】7 4．【答案】 5．【答案】（答案不唯一） 6．【答案】4 题型十 函数图象的对称问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】（答案不唯一，或都可以） 题型十一 求函数的解析式 1．【答案】（答案不唯一） 2．【答案】（答案不唯一） 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．【答案】A 2．【答案】 3．【答案】 题型二 函数的定义域问题 1．【答案】C 2.【答案】 3．【答案】 题型三 函数的值域、最值问题 1．【答案】C 2．【答案】AC 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】(1) (2) 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）方法一  分离常数，得，再由三角函数及反比例函数的性质求解即可； 方法二  利用三角函数的有界性，由题意可得，且，再由求解即可； （2）化简得，令，结合基本不等式及反比例函数的性质求解即可. 【详解】（1）方法一  分离常数法 ， ， ， ， 的值域为. 方法二  利用三角函数的有界性 由，得， 所以， 由， 得， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解得. 故的值域为. （2）利用分离参数结合换元求解. . 令，则. 当时，. 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 所以或 此时函数的值域为. 故函数的值域为. 题型四 余弦函数的图象及应用 1．【答案】ACD 2．【答案】（答案不唯一） 3．【答案】/ 4．【答案】 题型五   余弦函数图象和性质的综合问题 1．【答案】AB 2．【答案】BCD 3．【答案】①②③. 4．【答案】(1)最大值和最小值分别为； (2). 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、cosx（型）函数对称性的其他应用、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得. （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. （2）由，得，即， 由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根， 而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减， 且在上的图象关于直线对称， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称， 因此，. 5．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求含cosx的函数的单调性、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）根据以及的范围即可求得； （2）令，再求的最小值即可； （3）令即可求得. 【详解】（1）由题意可得，， 因，则，则，得. （2）由（1）可知， 令，则， 则当时，有最小值，最小值为， 故函数距离原点最近的一条对称轴为. （3）令，则， 则函数的单调递减区间为. 6．【答案】(1)，； (2)当时，，当时，最小值为. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式及单调性求解. （2）求出函数的相位在指定区间上的范围，再利用余弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）函数的最小正周期 ， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）由，得， 则当，即时，， 当 ，即时，， 所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时. 7．【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算即可求解. （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）令，解得 因此，的单调递减区间为. （2）当时，， 所以，所以. 因此，函数在上的值域为. 8．【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 9．【答案】(1)． (2)． 【知识点】求含cosx的函数的单调性、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． （2）恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 题型一 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．【答案】C 2．【答案】 题型二 函数的零点相关问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.3 余弦函数的性质和图象 题型一 函数的周期问题 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 2．（25-26高一上·湖北·月考）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】含绝对值的余弦函数的图象、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】对于A，画函数的图象，根据图象判断结论，对于B，根据结合图象平移判断结论，对于C，结合周期的定义举反例判断即可，对于D，根据，结合余弦型函数周期公式求周期可判断. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，，则的值为 ． 【答案】/-0.5 【知识点】由余弦函数的奇偶性求函数值、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】使用的最小正周期是，计算，使用是奇函数，计算，使用当时，，计算，从而得解. 【详解】定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是， 且当时，， . 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义域为R，最小正周期为的函数．若则 ． 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、由余弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的周期性求值 【详解】． 5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可. 【详解】因为函数的最小正周期是， 所以可得，解得， 故答案为：. 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．（23-24高一上·贵州黔南·期末）下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求含cosx的函数的单调性、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用偶函数的定义，结合单调性判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，而，函数不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，不是偶函数，B不是； 对于C，函数在上不单调，C不是； 对于D，函数的定义域为，，是偶函数 当时，在上单调递增，D是. 故选：D 2．（多选）（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可判断选项. 【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确； B.函数的最小正周期为，故B错误； C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误. 故选：AC 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、求余弦（型）函数的最小正周期 【详解】因为的最小正周期为，所以，又函数为奇函数，所以，得．又因为，所以，故． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】计算，存在使得函数为奇函数，则或，根据为奇函数，即可得解. 【详解】由题意可得，函数， 且， 存在，函数为奇函数， 则或， 当时，所以为奇函数， 可得， 所以, 当时，D满足条件，ABC不满足； 当时，， 此时或， 当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意. 故选：D. 3．（2022·河南开封·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由余弦函数的奇偶性求函数值、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】由已知可得，再由，即可求值. 【详解】由题设，即， 而， 所以. 故选：B 4．（25-26高一上·江苏常州·月考）把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是 ． 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】先由平移变换求函数解析式，再根据函数是偶函数得出即可分析求解. 【详解】函数的图像向右平移个单位， 则所得的函数是， 又因为是偶函数，所以， 则，则当时，取得最小正值是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海杨浦·月考）满足为奇函数的所有组成的集合有 个子集. 【答案】1 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由奇函数的性质有求得，再验证是否满足题设得到对应空集，即可得. 【详解】由题设，则，故， 当，则，不符合； 当，则，不符合； 综上，不存在这样的值，即对应空集，故子集个数为1. 故答案为：1 6．（22-23高三上·山东·月考）已知函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】0 【知识点】由余弦函数的奇偶性求函数值、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据题意得到关于对称，根据余弦函数的性质可得到，代入函数即可得到答案 【详解】因为是定义在上的奇函数，故关于对称， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：0 7．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 【答案】-5 【知识点】由余弦函数的奇偶性求函数值、由正弦函数的奇偶性求函数值、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】从得到，从而利用函数奇偶性求出. 【详解】，故， 所以 故答案为：-5 8．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数，，则 . 【答案】7 【知识点】函数奇偶性的应用、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】令，证明为奇函数求解. 【详解】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以， 即， 所以. 故答案为：7 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．（25-26高一上·江苏常州·月考）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东茂名·月考）函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、求cosx型三角函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由诱导公式得，然后根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）在内，函数和都是增函数的区间是 . 【答案】 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含cosx的函数的单调性 【分析】分别求出两个函数在的单调增区间，然后求交集即可得解. 【详解】因为在内单调增区间为：， 在内单调增区间为：， 所以在内，函数和都是增函数的区间是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·月考）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、求含cosx的函数的单调性 【分析】根据余弦函数图像性质即可求解. 【详解】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·山东淄博·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性、定义域和余弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，则在上是单调递减的， 因为，所以， 即①. 要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间. 当时，单调递减， 此时，结合①式，可得. 所以原函数的单调递增区间为. 故答案为：. 题型五 比较大小问题 1．（2025·广西南宁·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小、余弦函数图象的应用 【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）定义在非零实数集上的函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较正弦值的大小、求cosx型三角函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】确定函数的奇偶性及在上的单调性，再结合对数函数、正弦函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，即函数是定义域上的偶函数， 而函数在上单调递减，则函数在上单调递减， 由，得，又， 因此， 因此. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）［多选］已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小 【分析】利用诱导公式得到，再由的图象与性质，得到，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， ， ， 即， 所以， 即，所以ABC正确，D错误， 故选：ABC. 4．（2025高三·全国·专题练习）若为锐角，则的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较余弦值的大小 【分析】由三角函数相关不等式、单调性即可判断大小. 【详解】令，其中， 因为，所以． 因为，所以． 所以． 故答案为：. 题型六 解三角函数不等式 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解余弦不等式 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是三角形的一个内角，可得， 又因为，可得，即不等式的解集为. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦函数图象的应用 【分析】利用余弦型函数的图象及性质即可求解. 【详解】对，，结合的图象可知． 故选：C. 3．（多选）（24-25高一下·江西萍乡·期中）若，则满足不等式成立的的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】先解给出的不等式，再根据集合之间的关系进行选择. 【详解】因为，所以. 由或或， 所以所给不等式的解集为. 所给的4个选项中，只有AD两个集合是的子集，所以只有AD能使不等式成立. 故选：AD 题型七 “五点法”作余弦型函数的图象 1．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 3．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 【答案】(1)见解析； (2)对称轴为，对称中心为； (3) 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx(型)函数的值域、五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）由，得，由三角函数性质可得的值域. 【详解】（1）列表 0 函数图像如图所示 （2）令，得对称轴：， 令，得，所以对称中心为； （3）由，得， 当，即时，； 当，即时，. 所以的值域为. 题型八 函数图像的识别 1．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）函数，的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、三角函数的化简、求值——诱导公式、余弦函数图象的应用 【分析】由诱导公式得，根据余弦函数的图象即可求解. 【详解】由诱导公式得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 2．（21-22高三上·广东茂名·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、余弦函数图象的应用 【分析】由利用函数的奇偶性排除AB；，再结合时函数的符号即可得答案. 【详解】由，定义域为， 而，所以函数为偶函数， 其图象关于轴对称，排除AB； 当时，，，则，排除C，而D满足题意. 故选：D 3．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象、含绝对值的余弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】画出图象，结合图象可得的最小值和最大值. 【详解】画出的图象如图 画出图象如图 将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图， 根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为， 故选：B. 4．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数，则图象如图可能对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型复合函数的单调性、求含cosx的函数的单调性 【分析】根据题图和排除法，利用奇偶性的定义判断、的奇偶性，利用指数函数、余弦函数及函数的定义域判断即可. 【详解】因为的定义域为R，又，所以是奇函数， 又因为的定义域为R，且， 所以是偶函数， 由图象知：函数定义域为R，且图象关于原点对称， 所以函数为奇函数， 而，故A错误； ，故B错误； 定义域为，故D错误； 的定义域为R，为奇函数，C正确， 故选：C 题型九 函数图像的交点问题 1．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、余弦函数图象的应用 【分析】求出的最小正周期，同一坐标系内画出单位圆和的图象，可以看出共有8个交点. 【详解】的最小正周期为， 其中，故在单位圆上方， 同一坐标系内画出单位圆和的图象， 在左右两边会有两个交点，为④和⑤，可以看出共有8个交点. 故选：B 2．（21-22高一上·江苏常州·期末）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 3．（24-25高一下·河北承德·月考）当时，曲线与的交点个数为 . 【答案】7 【知识点】求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示： 由图象可知，两个函数图象交点的个数为7个. 故答案为：7. 4．（25-26高一上·北京·月考）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、含绝对值的余弦函数的图象 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是 ．（写出一个满足条件的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】先解方程得，然后取，则，即可得满足条件的一个点坐标. 【详解】要求函数与的交点，即先解方程， 两边同时除以（），得，其解为， 取，则，此时， 因此，点的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则当时，的图象与图象的交点个数为 ． 【答案】4 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】先根据图象变换求出，结合两个函数的图象可得答案. 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 在同一坐标系中作出与的图象如图所示，结合图象可知，在区间上，共有4个交点． 故答案为：4 题型十 函数图象的对称问题 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据余弦函数最小正周期公式，求出参数，再根据余弦函数解析式，求出对称轴方程即可. 【详解】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得． 故选：B. 2．（25-26高三上·安徽·月考）若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先求平移后的函数的解析式，再根据其图象关于轴对称列方程求的最小值. 【详解】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数， 由关于轴对称，则，，即，，而， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解． 【详解】解析：平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·海南·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦型函数的对称中心即可求解. 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 5．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间恰有两条对称轴， 所以，解得. 故选：A 6．（20-21高一下·陕西渭南·月考）若函数对任意x都有，则（   ） A．3或0 B．或3 C．0 D．或0 【答案】B 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】利用题意可得关于对称，然后利用余弦函数的性质即可求解 【详解】因为函数对任意x都有， 所以函数关于对称， 则或3 故选：B 7．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 【答案】（答案不唯一，或都可以） 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】首先根据三角函数的对称性，列出关于的方程组，再根据的取值范围，即可求解. 【详解】题意可得，与的图象都关于直线对称， 则，，即， 因为，所以当，时，；当，时，； 当，时，，故，，. 故答案为： 题型十一 求函数的解析式 1．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，且满足，，请设计一个满足条件的函数解析式， ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】根据题意，由条件可得关于中心对称且关于直线轴对称，即可得到结果. 【详解】由题意：函数的定义域为， 关于中心对称； 关于直线轴对称，符合以上性质的函数均可， 结合余弦型函数的对称性，比如的解析式可以为：． 故答案为：（答案不唯一） 2．（2023·吉林通化·模拟预测）某函数满足以下三个条件： ①是偶函数；②；③的最大值为4． 请写出一个满足上述条件的函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数对称性的应用、cosx（型）函数对称性的其他应用、函数的周期性的定义与求解 【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得. 【详解】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称， 因为，所以，即 所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期， 又的最大值为4，所以满足条件. 故答案为：（答案不唯一） 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】利用余弦函数在上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不等式求解的范围，从而可判断选项. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 2．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】由题意确定当时，，再结合余弦函数的单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 故答案为： 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 题型二 函数的定义域问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 3．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、解余弦不等式、求含cosx型的函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 题型三 函数的值域、最值问题 1．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 2．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】对分和两种情况讨论，结合余弦函数的有界性，用表示出的最值，得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以当时，， 解得，所以； 当时，， 解得，所以. 综上，或. 故选：AC 3．（2025高一上·江苏·专题练习）函数的值域为 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【详解】因为，所以，则， 故的值域为． 故答案为： 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】将等量代换为，得到，利用还原法设，根据余弦函数的性质得到的范围，则转化为，利用二次函数的性质求值域即可得解. 【详解】，， ， 设，，， 则转化为， 对称轴为，又在范围内， 在处，取最大值，且最大值为， 时，， 时，， ，的值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）方法一  分离常数，得，再由三角函数及反比例函数的性质求解即可； 方法二  利用三角函数的有界性，由题意可得，且，再由求解即可； （2）化简得，令，结合基本不等式及反比例函数的性质求解即可. 【详解】（1）方法一  分离常数法 ， ， ， ， 的值域为. 方法二  利用三角函数的有界性 由，得， 所以， 由， 得， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解得. 故的值域为. （2）利用分离参数结合换元求解. . 令，则. 当时，. 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 所以或 此时函数的值域为. 故函数的值域为. 题型四 余弦函数的图象及应用 1．（多选）（24-25高一下·四川雅安·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ACD 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含cosx的函数的单调性 【分析】根据最低点可求解，利用周期可得，代入最低点坐标可得，即可判断ABC，利用整体法即可求解D. 【详解】由最低点可知：，故A正确， 由图可得，故，故B错误， 将代入中可得，故，结合，所以，故C正确， 此时，当时，，故在上单调递增，D正确， 故选：ACD 2．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知，顺次连接函数与图象的任意三个相邻的交点都可以构成一个等边三角形，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】取两函数相邻的三个交点、、，计算出等边三角形的边上的高以及，结合锐角三角函数的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由可得或， 如下图所示，取两函数相邻的三个交点、、，    由图可知，等边三角形的边上的高为， 为函数的最小正周期，即，所以，， 所以，，解得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用对称性列方程求得，即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即， 又因为曲线关于原点对称，所以，， 解得，，因为， 所以当时，取得最小值，的最小值是. 故答案为： 题型五   余弦函数图象和性质的综合问题 1．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象在区间上有且仅有3个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的值可能是3 B．在区间上单调递减 C．图象的对称轴可能是 D．若将函数的图象沿轴平移个单位长度，则不可能得到奇函数的图象 【答案】AB 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、利用cosx（型）函数的对称性求参数、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由题意，结合角的范围可得，求出的范围可判断A；利用三角函数的性质可判断B和C；利用函数的图形变换结合三角函数的奇偶性的图像性质可判断D. 【详解】对于A，当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有3个对称中心， 所以，解得．的值可能是3，故A正确； 对于B，当时，， 由A知，，所以， 所以函数在区间上单调递减．故B正确； 对于C，因为，所以， 所以图象的对称轴不可能是．故C不正确； 对于D，若将函数的图象沿轴向左平移个单位长度， 则得到的图象对应的函数为， 若此函数为奇函数，则，即， 又，则，解得，所以不存在对应的满足题意； 若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度， 则得到的图象对应的函数为， 若此函数为奇函数，则，即， 又，即，解得， 故存在，，使得将函数的图象沿轴平移个单位长度，则可能得到奇函数的图象．故D不正确. 故选：AB. 2．（多选）（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数，则（   ） A．为的一个零点 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是奇函数 【答案】BCD 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求含cosx型的函数的定义域、求正弦（型）函数的奇偶性、求函数的零点 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：以为整体，结合余弦函数单调性分析判断；对于C：代入运算，结合对称性与最值的关系分析判断；对于D：代入运算可得，即可判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以不为的一个零点，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且在内单调递减，所以在区间上单调递减，故B正确； 对于选项C：因为为最大值， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项D：因为为奇函数，故D正确； 故选：BCD. 3．（23-24高一下·北京·期中）在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③. 【知识点】cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、利用cosx（型）函数的对称性求参数、求cosx型三角函数的单调性 【分析】依题意，先求出的范围，结合余弦函数的图象求得范围，即得①；根据范围求得的范围，即可判断②；分别求得在给定区间上的范围，，结合余弦函数的图象即可判断③和④. 【详解】①中，因为，所以，， 又因为在区间上有且仅有3个对称中心， 则在上有且仅有3个对称中心，结合余弦函数图象知， 所以，解得，所以①正确； ②中，由①知，，故最小正周期，因为，所以②正确； ③中，因为，所以，， 又由①知，，所以， 而在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故③正确； ④中，当时，，由①知，需使， 而当时，在上有2条对称轴， 而当时,在上有3条对称轴，故④不正确. 故答案为：①②③. 4．（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值． 【答案】(1)最大值和最小值分别为； (2). 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、cosx（型）函数对称性的其他应用、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得. （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. （2）由，得，即， 由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根， 而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减， 且在上的图象关于直线对称， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称， 因此，. 5．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且满足. (1)求的值； (2)求函数距离原点最近的一条对称轴； (3)求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求含cosx的函数的单调性、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）根据以及的范围即可求得； （2）令，再求的最小值即可； （3）令即可求得. 【详解】（1）由题意可得，， 因，则，则，得. （2）由（1）可知， 令，则， 则当时，有最小值，最小值为， 故函数距离原点最近的一条对称轴为. （3）令，则， 则函数的单调递减区间为. 6．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)，； (2)当时，，当时，最小值为. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式及单调性求解. （2）求出函数的相位在指定区间上的范围，再利用余弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）函数的最小正周期 ， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）由，得， 则当，即时，， 当 ，即时，， 所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时. 7．（25-26高一上·天津·月考）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算即可求解. （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）令，解得 因此，的单调递减区间为. （2）当时，， 所以，所以. 因此，函数在上的值域为. 8．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 9．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】求含cosx的函数的单调性、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． （2）恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 题型一 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵，，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 题型二 函数的零点相关问题 1．（24-25高三上·吉林通化·期中）已知是函数在上的两个零点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】采用换元法结合图象先分析出的关系，然后利用诱导公式和已知条件求解出的值. 【详解】由题意可知，是方程的两根，且， 令，作出在上的图象如下图所示： 由图象可知，，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦函数图象的应用 【分析】由可得，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，解出的范围即可得出合适的选项. 【详解】由可得， 因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州·月考）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦函数图象的应用、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 4．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，把问题转化为两个函数图象交点个数，数形结合求解. 【详解】由，得，令函数与， 依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数， 在同一坐标系内作出函数与在上的图象，    观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2. 故选：A 5．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求零点的和、正弦函数对称性的其他应用、cosx（型）函数对称性的其他应用、函数与方程的综合应用 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 6．（24-25高一下·云南大理·月考）已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】求出的范围，结合余弦函数的图象可得. 【详解】因为，且，所以， 结合余弦函数的图象可知，欲使函数在上恰有5个零点， 则，解得． 故的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $