精品解析：内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试高一数学

2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：韩晓辉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 2. 若为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】， ， ． 3. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 4. 某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（ ） A. 88，92 B. 88，92.5 C. 89，92.5 D. 90，94.5 【答案】C 【解析】 【分析】由百分数的计算可得. 【详解】从小到大排列为85，87，89，90，91，91，92，93，94，96， 因为，， 所以这组数据的25%分位数为89，70%分位数为. 故选：C. 5. 甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件， ，则为事件， 所以 . 故选：C. 6. 正方形的边长是2，若是的中点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】，利用向量数量积公式计算出结果． 【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， ． 故选：B． 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 8. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解. 【详解】因为， 则，． 为纯虚数的是，，. 故选：BCD． 10. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行. 【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误． 对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误． 对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误． 对于D，因为，设平面平面，，所以， 因为l，m是异面直线，，所以l，a相交， 因为，，，所以， 因为，，l，a相交，所以，D正确． 故选：ABC 11. 为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 C. 现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人 D. 被抽取的1000名中学生的均分大约是80分 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，结合中位数的定义、平均数的定义逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A正确； 因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”， 所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，因此选项B不正确； 现准备在这名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则须抽取成绩为的学生人数为，因此选项C正确； 被抽取的1000名中学生的均分大约是分，因此选项D不正确， 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为： 13. 已知，与方向相反的单位向量的坐标为______ 【答案】 【解析】 【详解】由，得与方向相反的单位向量， 所以与方向相反的单位向量的坐标为. 14. 已知某圆锥的母线长为，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与底面所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆锥的相关公式表示出，再利用基本不等式求出取得最大值时底面半径的值，最后根据母线与底面所成角的余弦值公式求出角度. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线与底面所成角为， 因为圆锥的母线长为，，则， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，又，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【小问1详解】 由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； 【小问2详解】 因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16. 如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． （1）试用，表示向量，． （2）试用，表示向量． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， ． 【小问2详解】 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 18. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量共线的坐标表示运算求解即可； （2）设，可求，，根据求，进而可求数量积. 【小问1详解】 因为，，，则，， 由三点共线得，则，解得. 【小问2详解】 当时，点， 设，则，， 因为，则，解得，即， 则，且，所以. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若的面积且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理的推论及可得； （2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得，再根据余弦定理求得，即可得的周长． 【小问1详解】 由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得， 所以. 由（1）得，所以. 所以， 所以. 所以的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：韩晓辉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（ ） A. 88，92 B. 88，92.5 C. 89，92.5 D. 90，94.5 5. 甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形的边长是2，若是的中点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 10. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 11. 为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 C. 现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人 D. 被抽取的1000名中学生的均分大约是80分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______． 13. 已知，与方向相反的单位向量的坐标为______ 14. 已知某圆锥的母线长为，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与底面所成角的大小为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 16. 如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． （1）试用，表示向量，． （2）试用，表示向量． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 18. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若的面积且，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $