命题大赛：内蒙古赤峰市高一年级数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版必修第二册）

**基本信息** 以“射覆”“灯笼”“赵爽弦图”等传统文化情境为载体，融合复数、立体几何、概率等必修二核心知识，注重数学眼光观察现实世界与数学思维解决问题的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数概念、棱柱定义、古典概型（射覆情景）、向量运算、统计量、解三角形、球冠面积（灯笼情景）|文化情境与基础概念结合，如第3题以射覆游戏考概率| |多选题|3/18|统计量性质、新定义向量运算、五脊六兽情景下的表面积体积|第11题结合古建筑结构考空间想象，体现数学思维严谨性| |填空题|3/15|球体积、向量共线（原创）、解三角形动态最值|第13题原创向量题，考查数学语言表达的准确性| |解答题|6/77|复数几何意义、正方体面面平行与异面直线角、春晚标识频率分布直方图、新定义积函数、赵爽弦图类比应用|第19题类比赵爽弦图考推理，体现数学语言的应用价值|

内蒙古赤峰市高一年级数学2025-2026学年度下学期阶段测试 （人教A2019版·必修二） 答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A B B D CD BCD 题号 11 答案 AC 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．C 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求得结果. 【详解】因为, 所以，，的实部为，即A、B、D错误，C正确. 故选：C 2．D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C；由棱柱的定义即可判断选项D. 【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D正确． 【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略 (1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力． (2)构建几何模型、变换模型中的线面关系． (3)通过反例对结构特征进行辨析． 3．C 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设甲、乙、丙猜中分别记为事件，结合题设写出相关事件的概率值，再由独立事件乘法公式、互斥事件的加法求概率. 【详解】设甲、乙、丙猜中分别记为事件， 由题意得， 所以这3人中恰有1人猜中的概率为 . 故选：C 4．C 【知识点】向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】设，可求出，根据平行关系和垂直关系可建立方程组，即可解出. 【详解】设 ，， 由 ，可得， 由 得， 所以， 联立得 解方程组可得， 所以. 故选： 5．A 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是82； 中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得： ，中间两个数据的平均数是（92+92）÷2=92．故中位数是92． 故选A． 【点睛】本题考查众数，中位数的概念，属基础题. 6．B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 7．B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积. 【详解】由题意得，得，， 所以两个球冠的表面积之和为， 灯笼中间球面的表面积为． 因为上下两个圆柱的侧面积之和为， 所以围成该灯笼所需布料的面积为． 故选：B. 8．D 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．CD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 【分析】利用样本数据平均数、中位数、标准差以及极差的定义和性质即可直接判断选项. 【详解】设样本数据，的样本平均数为， 样本中位数为，样本标准差为，极差为， 对于A，C选项：由，根据平均数和标准差的性质可知， 样本数据，，…，的样本平均数为，故A错误； 样本数据，，…，的样本方差为， 所以第二组数据的样本标准差，故C正确； 对于B选项：根据中位数的概念可知， 样本数据，，…，的中位数为，故B错误； 对于D选项：根据极差的概念可知， 样本数据，，…，的极差为，故D正确． 故选：CD 10．BCD 【知识点】向量新定义、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】利用的定义判断 A，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可. 【详解】对于A：由的定义知，当时，；当，. 若，由于是非零向量，所以当时，， 故，，所以，所以，故，A正确. 对于B：设有非零向量，则，所以，而， 故，故B错误. 对于C：由B知，，故，C错误. 对于D：若，，，则，D错误. 11．AC 【知识点】求线面角、求组合多面体的表面积、锥体体积的有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】对A，由题求出等腰梯形的高，分别计算各个表面的面积得解；对B，几何体被分割成两个全等的四棱锥，和直三棱柱，计算得解；对C，将侧面与沿展开铺平，易判断构成平行四边形，求出，得解；对D，由题得即是直线与平面所成角，求解判断. 【详解】如图1，过点分别作，，垂足分别为， 过点分别作，，垂足分别为，连接. 对于A，由，，四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形， 所以四边形和为全等的等腰梯形， 所以，则，同理， 所以几何体的表面积，故A正确； 对于B，如图1，过点作，垂足为， 因为，，平面，， 所以平面，又平面，所以， 平面，，所以平面， ， 由题几何体被分割成两个全等的四棱锥，和直三棱柱， 所以几何体的体积，故B错误；    对于C，如图2，由，，，得， 所以，又， 将侧面与沿展开铺平，则构成平行四边形， 此时线段长即从点到的最短距离，，故C正确；    对于D，如图1，由平面，连接，则即是直线与平面所成角， 所以，则，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12． 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据棱锥的体积公式可得，然后利用球的体积公式即得. 【详解】设球的半径为，则， 因为，平面， 所以三棱锥的体积为， 所以， 所以球的体积为. 故答案为：. 13． 【知识点】已知向量共线求参数、向量共线的坐标表示、平行关系的向量表示 【分析】由向量共线的坐标表示可解得的值. 【详解】根据题意由向量共线的坐标表示可得， 解得或， 又与方向相反，所以； 故答案为：. 14． 【知识点】诱导公式二、三、四、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、求投影向量 【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，设，，结合已知得出，根据基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，即， 所以， 因为， 所以， 所以，由得， 由得， 因为， 所以，即， 由及得， 设，， 因为， 所以，， 所以 将，代入得，，即， 所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）(1)；(2) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、已知复数的类型求参数 【详解】（1）由题意得,（2分） （4分） 是纯虚数，，解得（5分） .（6分） （2）,（7分） ,（9分） 在复平面内对应的点在第一象限， ,（12分） 的取值范围为.（13分） 16．（本小题15分）(1)证明见解析；(2) 【知识点】空间平行的转化 【分析】（1）在正方体中，分别证明平面，平面，由面面平行的判定定理可证. （2）异面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解. 【详解】（1）证：在正方体中，，且， 所以四边形为平行四边形，（2分） 则，同理.（4分） 平面，平面，所以平面，（6分） 同理平面，（8分） 且，所以平面平面.（10分） （2）∵， ∴是直线与所成角，（12分） ∵， ∴，（14分） ∴直线与所成角为．（15分） 17．（本小题15分）(1)平均值为，中位数约为73.3；(2)13.95 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、分层抽样的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数、中位数得求法依次计算即可求解； （2）由（1）知，根据打分在区间内的频率不低于0.8分类讨论确定，进而求解. 【详解】（1）网友打分的平均值为 ．（2分） 分数在的频率，（3分） 分数在的频率，（4分） 设中位数为，则， ，得，（6分） 即中位数约为73.3．（7分） （2）由（1）可知．（8分） 要使抽取的10人的打分在内的人数不低于8人， 则打分在区间内的频率不低于0.8．（9分） 若，则， 频率； （11分） 若，则， 频率． （13分） 当最小时，， 且， 解得，即的最小值约为13.95．（15分） 18．（本小题17分）(1)；(2)；(3)证明见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，由已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，从而可证得. 【详解】（1）依题意，，（2分） 则，由，得，则，（3分） 所以.（5分） （2）向量的“积函数”为， 令，则 ，（7分） 于是，，即，，（8分） 所以.（9分） （3）设，，（10分） 则 （11分） 于是 ，（13分） 而， 当且仅当存在使得时取等号，，，（15分） 两式相减得，则，，即， 因此， 所以.（17分） 19．（本小题17分）(1)；(2)（i）; （ii）. 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）求出大小正方形的边长,根据三角函数的定义,求出的值,代入求解即可; （2）（i）由正三角形的面积公式,求出大小正三角形的边长分别为7,2, 在中，由余弦定理求得,由向量数量积的定义求解即可; （ii）由面积之比，可得两正三角形的边长之比，设，由余弦定理可得，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由题意可得小正方形的边长为3，大正方形的边长为5， 设直角三角形的两直角边分别为， 则有，（2分） 且，， 所以；（4分） （2）（i）因为, 设正三角形的边长分别为， 则有， 解得，（6分） 由题意可得, 设， 在中，由余弦定理可得：, 即,（8分） 整理得, 解得或(舍去)，（9分） 所以在中，, 所以,（10分） 所以.（11分） （ii）因为,即(i)中，所以，（12分） 设，则， 在中，由余弦定理可得：, 即,（13分） 整理得， 即， 解得或（舍去），（15分） 所以在中，， 由余弦定理可得（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古赤峰市高一年级数学2025-2026学年度下学期阶段测试 （人教A2019版·必修二） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．已知复数，则下列正确的是（    ） A． B． C．为纯虚数 D．的实部为1 2．下列说法中正确的是 A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台 C．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 3．（新文化情景）射覆是汉代流行的占卜游戏，将物品藏于容器中让人猜测.《汉书·东方朔传》记载其玩法，通过概率猜对获得奖品，与现代彩票的随机性逻辑相近.假设甲、乙、丙是汉代的三位射覆游戏参与者，且甲、乙、丙每次进行猜测时，猜中与否是等可能的.若甲、乙、丙各猜测1次，则这3人中恰有1人猜中的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．从某中学抽取名同学，得到他们的数学成绩如下：（单位:分），则可得这名同学数学成绩的众数、中位数分别为（    ） A． B． C． D． 6．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（新文化情景）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．第一组样本数据，第二组样本数据，，…，，其中（），则（    ） A．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的倍 B．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的倍 C．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的倍 D．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的倍 10．定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 11．（新文化情景）成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（    ）    A．几何体的表面积为 B．几何体的体积为 C．一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D．直线与面所成角的正弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若球的直径，点在球面上，，平面，三棱锥的体积为9，则球的体积为__________． 13．（原创）已知向量，，若与方向相反，则______. 14．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）在复平面内，已知复数对应的点的坐标为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 16．（本小题15分）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证： (1)平面AB1D1//平面C1BD； (2)求直线D1A与BA1所成角． 17．（本小题15分）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想艺术技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘．为了解大家对这一标识的看法，某网站进行了一次网络调研，并将参与调查的网友对这一标识的打分情况（分数在50分到100分之间）绘制成频率分布直方图如下：    (1)求网友打分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）、中位数（保留一位小数）； (2)设网友打分的平均值为，若按打分是否在区间内进行分层抽样，抽取10人进行深度调研，打分在区间内的至少抽取8人，试估计的最小值（保留两位小数）． 18．（本小题17分）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. (1)设向量的“积函数”为，若且，求的值； (2)若向量的“积函数”满足，求的值； (3)已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 19．（新文化情景）（本小题17分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形． (1)图1中直角三角形的两锐角分别为，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值： (2)图2中的面积为的面积为， （i）若，求的值； （ii）若，设，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的除法运算；求复数的实部与虚部；求复数的模；复数代数形式的乘法运算 0.94 2 单选题 5 圆锥的结构特征辨析；由平面图形旋转得旋转体；棱柱的结构特征和分类；棱台的结构特征和分类 0.94 3 单选题 5 独立事件的乘法公式；利用互斥事件的概率公式求概率；利用对立事件的概率公式求概率 0.85 4 单选题 5 由向量共线（平行）求参数；向量垂直的坐标表示 0.65 5 单选题 5 计算几个数的众数；计算几个数的中位数 0.65 6 单选题 5 正弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角形面积公式及其应用 0.68 7 单选题 5 圆柱表面积的有关计算；球的表面积的有关计算 0.65 8 单选题 5 求三角形中的边长或周长的最值或范围；几何图形中的计算；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形 0.54 9 多选题 6 计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数 0.85 10 多选题 6 数量积的运算律；向量新定义；用定义求向量的数量积 0.62 11 多选题 6 锥体体积的有关计算；求线面角；棱柱的展开图及最短距离问题；求组合多面体的表面积 0.4 12 填空题 5 锥体体积的有关计算；球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题 0.85 13 填空题 5 已知向量垂直求参数；垂直关系的向量表示；向量垂直的坐标表示 0.85 14 填空题 5 诱导公式二、三、四；平面向量共线定理的推论；求投影向量；基本不等式“1”的妙用求最值 0.65 15 解答题 13 已知复数的类型求参数；根据复数对应坐标的特点求参数 0.82 16 解答题 15 证明面面平行；空间平行的转化；求异面直线所成的角 0.85 17 解答题 15 由频率分布直方图估计平均数；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；分层抽样的概率；由频率分布直方图估计中位数 0.65 18 解答题 17 辅助角公式；三角恒等变换的化简问题；求含sinx(型)函数的值域和最值；平面向量基本定理的应用 0.53 19 解答题 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；用定义求向量的数量积 0.41 Sheet2 Sheet3 $