综合与实践：怎样通知最快（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册 综合与实践：怎样通知最快 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：打电话问题 1.核心问题：老师要尽快通知到每一名同学，每分钟通知1人，每个人接到通知后可以帮老师一起通知别人，怎样安排用时最少？ 2.核心原理：核心原理是“每个人都不空闲”，即接到通知的人需继续参与通知其他人，避免信息传递的“等待”或“闲置”。区别于“逐个通知”（线性增长，效率低），这种方式通过“已通知的人共同参与通知”，使通知人数呈指数级增长，从而大幅缩短总时间。 3.核心规律 （1）第1分钟：通知者通知1人，已通知总人数=1人(21−1=1）； （2）第2分钟：已通知的1人+通知者共2人同时通知，新通知2人，已通知总人数=1+2=3人（22−1=3）； （3）第3分钟：已通知的3人+通知者共4人同时通知，新通知4人，已通知总人数=3+4=7人（23−1=7）； （4）第n分钟：已通知总人数=前（n−1）分钟总人数+2n−1=（新通知人数），即2n −1人。 【一句话口诀】每分钟接到通知的总人数，都是前一分钟的2倍再减1。 4.解题步骤 （1）看要通知多少人。 （2）按规律依次算： 1分钟最多通知1人； 2分钟最多通知3人； 3分钟最多通知7人； 4分钟最多通知15人…… 找到刚好能覆盖总人数的最少分钟数。 5.关键点 （1）每个人不闲着，接到通知马上帮着通知下一个。 （2）时间只按分钟数算，不重复、不遗漏。 （3）这是最优方案，用时最短。 【易错点】 （1）只算老师通知，忘记学生也能帮忙通知。 （2）把“第n分钟”和“n分钟一共”搞混。 （3）规律记成2n，忘记减1。 （4）算到刚好够就行，不要多算时间。 考点01：打电话问题 【典型例题1】陈老师带领的合唱队共有31人。暑假期间有一个紧急慰问演出，陈老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，至少需要多少分钟才能通知到所有的人？ 第n分钟 1 2 3 4 5 … 第n分钟新接到通知的队员数 1 2 … 到第n分钟所有接到通知的师生的总数 2 4 … 规律 1个2相乘 2个2相乘 … 最优方案流程图 我发现：到第n分钟，所有接到通知的师生总人数是n个（     ）相乘的积。要通知31名队员，至少需要（     ）分钟。 【答案】填表见详解；2；5 【分析】从流程图可以看出：第1分钟通知1个队员，所有接到通知的师生总数是（1＋1＝2）人；第2分钟新通知了2个队员，所有接到通知的师生总数是（2＋2＝4）人；第3分钟新通知了4个队员，所有接到通知的师生总数是（4＋4＝8）人；第4分钟新通知了8个队员，所有接到通知的师生总数是（8＋8＝16）人；第5分钟新通知16个队员，所有接到通知的师生总数是（16＋16＝32）人；据此解答。 【详解】第1分钟：新通知1人，1＋1＝2（人），所有接到通知的师生总人数是2人，1×2＝2（人）； 第2分钟：新通知2人，2＋2＝4（人），所有接到通知的师生总人数是4人，2×2＝4（人）； 第3分钟：新通知4人，4＋4＝8（人），所有接到通知的师生总人数是8人，2×2×2＝8（人）； 第4分钟：新通知8人，8＋8＝16（人），所有接到通知的师生总人数是16人，2×2×2×2＝16（人）； 第5分钟：新通知16人，16＋16＝32（人），所有接到通知的师生总人数是32人，2×2×2×2×2＝32（人）。 因此填表如下： 第n分钟 1 2 3 4 5 … 第n分钟新接到通知的队员数 1 2 4 8 16 … 到第n分钟所有接到通知的师生的总数 2 4 8 16 32 … 规律 1个2相乘 2个2相乘 3个2相乘 4个2相乘 5个2相乘 … 通过表格我发现：所有接到通知的师生总人数是n个2相乘的积。要通知31名队员，至少需要5分钟。 【典型例题2】“夕阳红”老年舞蹈队为方便联络，设计了一种联络方式。一旦有演出，先由教练同时通知3位队长，这3位队长再分别同时通知3位队员，依此类推，假定每同时通知3位队员需要1分，4分可以通知（     ）位队员。 A．39 B．110 C．118 D．120 【答案】D 【分析】根据题目中的通知方式可知： 第一分钟，教练通知3位队长； 第二分钟，3位队长再分别通知3位队员，在这一分钟有位队员接到通知； 第三分钟，上一分钟通知的9位队员再分别通知3位队员，在这一分钟有位队员接到通知； 第四分钟，上一分钟通知的27位队员再分别通知3位队员，在这一分钟有位队员接到通知；据此解答。 【详解】第一分钟，教练通知3名队长，共通知到3位队长； 第二分钟，3名队长再分别通知3位队员，共通知到：位队员； 第三分钟，上一分钟通知的9位队员再分别通知3位队员，共通知到：位队员； 第四分钟，上一分钟通知的27位队员再分别通知3位队员，共通知到：位队员； 所以4分可以通知120位队员 故答案为：D 【变式训练1】蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（     ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】D 【分析】根据题意中的通知方案可知： 第1个2秒，一只蚂蚁通知了另一只蚂蚁，共通知到2只蚂蚁，2＝1×2； 第2个2秒，2只蚂蚁通知了另2只蚂蚁，共通知到4只蚂蚁，4＝2×2； 第3个2秒，4只蚂蚁通知了另4只蚂蚁，共通知到8只蚂蚁，8＝2×2×2； 第4个2秒，8只蚂蚁通知了另8只蚂蚁，共通知到16只蚂蚁，16＝2×2×2×2； …… 规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 据此规律解答。 【详解】规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 12÷2＝6（个） 当n＝6时，2×2×2×2×2×2＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 故答案为：D 【变式训练2】孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 【答案】8秒 【分析】为了使时间最短，每次变化时所有的孙悟空都要拔毫毛变出新的孙悟空，这样孙悟空的总数量每次都会扩大到原来的2倍。题干要求“变化出15个孙悟空”，指的是新增的孙悟空数量，因此孙悟空的总数量应为原来的1个加上新增的15个，共16个，求出变化次数，用变化次数×每次变化需要时间＝总时间。 【详解】我们需要变出15个新孙悟空，因此总孙悟空数量需要达到1＋15＝16个： 1次变化：总共有1×2＝2个，变出1个新的 2次变化：总共有2×2＝4个，变出3个新的 3次变化：总共有4×2＝8个，变出7个新的 4次变化：总共有8×2＝16个，刚好变出16－1＝15个新的 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 一、选择题 1．老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（     ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 【答案】C 【分析】接到电话的同学可以同时通知其他同学，第1分钟通知1人，第2分钟通知（1＋2）人，第3分钟通知（3＋4）人……以此类推，保证接到通知的人数等于或大于15人即可。 【详解】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 至少需要4分钟才能通知到15名同学。 故答案为：C 2．学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（     ）人。 A．7 B．158 C．127 【答案】C 【分析】第1分钟：王老师通知1人，累计通知1人；第2分钟：王老师通知1人和已通知的1人通知1人，累计通知1＋1×2＝3人；第3分钟：王老师通知1人和之前已通知的3人通知3人，累计通知1＋3×2＝7人；第4分钟：王老师通知1人和之前已通知的7人通知7人，累计通知1＋7×2＝15人；……以此类推7分钟最多可以通知的人数。 【详解】第1分钟通知到1人， 第2分钟最多可通知到1＋1×2＝3（人）， 第3分钟最多可通知到1＋3×2＝7（人）， 第4分钟最多可通知到1＋7×2＝15（人）， 第5分钟最多可通知到1＋15×2＝31（人）， 第6分钟最多可通知到1＋31×2＝63（人）， 第7分钟最多可通知到1＋63×2＝127（人）， 所以7分钟最多可以通知127人。 故答案为：C 3．五（4）班参加综合实践社团的同学共有7人，周末有一项深入社区服务的重要活动，老师需要尽快通知到每一个人。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少（     ）分钟就能通知到每个人。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【分析】第1分钟：老师可以通知1个同学，这时已经得到通知的共有1个同学；第2分钟：老师和已经得到通知的1个同学可以通知2个同学，这时已经得到通知的共有3个同学；第3分钟：老师和已经得到通知的3个同学可以通知4个同学，这时已经得到通知的共有7个同学据此解答即可。 【详解】由分析可知： 五（4）班参加综合实践社团的同学共有7人，周末有一项深入社区服务的重要活动，老师需要尽快通知到每一个人。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少3分钟就能通知到每个人。 故答案为：A 4．一个救援队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到10名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，至少需要（     ）分钟才能通知到全部队员。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 【分析】第1分钟队长通知1名队员； 第2分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（名）； 第3分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（名）； 第4分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）； …… 【详解】由分析可知： 所以，任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，至少需要4分钟才能通知到全部10名队员。 故答案为：B 5．学校足球队有20人，如果采用“一传一”的方法，打电话通知每一位队员进行急训，如果打一次电话用1分钟，至少需要（     ）分钟。 A．5 B．6 C．7 【答案】A 【分析】得到通知的队员可以同时通知其他队员，第1分钟，通知1名队员，第2分钟，得到通知的人数：1＋2＝3（名），第3分钟，得到通知的人数：3＋4＝7（名），以此类推，直到得到通知的人数超过20人即可。 【详解】第1分钟：1名 第2分钟：1＋2＝3（名） 第3分钟：3＋4＝7（名） 第4分钟：7＋8＝15（名） 第5分钟：15＋16＝31（名） 31＞20 至少需要5分钟。 故答案为：A 二、填空题 6．合唱队共有30名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每名队员。如果用打电话的方式一对一进行传达，每1分钟通知1人，那么最少需要（ ）分钟才能通知到每名队员。 【答案】5 【分析】第1分钟老师通知1名队员；第2分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3名；第3分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4名，接到通知的队员总人数为4＋3＝7名；第4分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8名，接到通知的队员总人数为8＋7＝15名；第5分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16名，接到通知的队员总人数为16＋15＝31名，据此解答。 【详解】第1分钟接到通知的队员总人数：1名 第2分钟接到通知的队员总人数：1＋2＝3（名） 第3分钟接到通知的队员总人数：3＋4＝7（名） 第4分钟接到通知的队员总人数：7＋8＝15（名） 第5分钟接到通知的队员总人数：15＋16＝31（名） 因为31名＞30名，所以最少需要5分钟才能通知到每名队员。 7．原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要（ ）分钟全部接到通知。 【答案】6 【分析】根据题意，老师首先用1分钟通知1名学生；第2分钟，老师和已通知的1名学生分别通知1名学生；第3分钟，老师和已通知的3名学生分别通知1名学生；第4分钟，老师和已通知的7名学生分别通知1名学生；第5分钟，老师和已通知的15名学生分别通知1名学生；第6分钟，老师和已通知的31名学生分别通知1名学生。通过这样的方式逐步分析每分钟通知的人数情况，进而判断通知完45名同学所需的时间，据此解答。 【详解】第1分钟：通知1人，共1人接到通知。 第2分钟：1＋2＝3（人），共3人接到通知。 第3分钟：3＋4＝7（人），共7人接到通知。 第4分钟：7＋8＝15（人），共15人接到通知。 第5分钟：15＋16＝31（人），共31人接到通知。 第6分钟：31＋32＝63（人），共63人接到通知。 因为31＜45＜63，所以至少要6分钟全部接到通知。 8．无人机团队接到表演任务，队长需尽快通知到32名队员，用电话通知的方式，每分钟通知1人，全部通知完至少需要（ ）分钟。 【答案】6 【分析】第1分钟，队长通知1名队员； 第2分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（名）； 第3分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（名）； 第4分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）； 第5分钟， 队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16（名），接到通知的队员总人数为15＋16＝31（名）； 第6分钟， 队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为31＋1＝32（名），接到通知的队员总人数为31＋32＝63（名）；总人数是32人，所以全部通知完至少需要6分钟。 【详解】根据分析可知，无人机团队接到表演任务，队长需尽快通知到32名队员，用电话通知的方式，每分钟通知1人，全部通知完至少需要6分钟。 9．学校器乐队共有31人，有一个临时演出任务，老师想用打电话的方式尽快通知到每一位队员，如果每分钟通知1人，最少用（ ）分钟就能通知到每一位队员。 【答案】5 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知31人最少需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人） 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人） 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人） 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人） 所以，最少用5分钟就能通知到每一位队员。 10．运动会比赛顺序临时变动，张老师需要将新的赛程以打电话的方式告知每一位运动员，必须一对一进行传达，若每分钟通知1人，4分钟最多能通知（ ）人。 【答案】15 【分析】第1分钟：只有张老师1人能通知，通知1人后，总通知人数为1人，此时老师＋已通知的1人，共2人可参与下一分钟通知。 第2分钟：老师和已通知的1人一起通知，共能通知2人，累计通知人数为1＋2＝3人，此时共3＋1＝4人可参与下一分钟通知。 第3分钟：4人一起通知，共能通知4人，累计通知人数为3＋4＝7人，此时共7＋1＝8人可参与下一分钟通知。 第4分钟：8人一起通知，共能通知8人，累计通知人数为7＋8＝15人。 【详解】第1分钟：1＋1＝2（人） 第2分钟：1＋2＝3（人） 可参与通知人数：3＋1＝4（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 可参与通知人数：7＋1＝8（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 所以4分钟最多能通知15人。 11．新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了（ ）名家长。 【答案】15 【分析】老师首先用1分钟通知第一个人，第二分钟老师和已经通知的1个人分别各通知1个人，现在得到通知的一共为1＋1×2＝3个人； 第三分钟老师和已经通知的3个人分别各通知1个人，现在得到通知的一共为1＋3×2＝7个人，依次类推即可得到答案。 【详解】第一分钟通知到1个人 第二分钟最多可通知到1＋1×2＝1＋2＝3（人） 第三分钟最多可通知到1＋3×2＝1＋6＝7（人） 第四分钟最多可通知到1＋7×2＝1＋14＝15（人） 新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了15名家长。 12．一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别通知一只蚂蚁……如果每通知一只蚂蚁需要10秒，那么1分钟后一共有（ ）只蚂蚁知道了食物的消息。 【答案】64 【分析】第1个10秒，1只蚂蚁通知另外1只蚂蚁，一共有2只蚂蚁知道了消息；第2个10秒，2只蚂蚁通知另外2只蚂蚁，一共有2×2＝4（只）蚂蚁知道了消息；第3个10秒，4只蚂蚁通知另外4只蚂蚁，一共有2×2×2＝8（只）蚂蚁知道了消息……以此类推，1分钟有6个10秒，所以1分钟后一共有2×2×2×2×2×2＝64（只）蚂蚁知道了消息，据此解答。 【详解】1分钟＝60秒 60÷10＝6（个） 2×2×2×2×2×2 ＝4×2×2×2×2 ＝8×2×2×2 ＝16×2×2 ＝32×2 ＝64（只） 所以，1分钟后一共有64只蚂蚁知道了食物的消息。 13．某班举行“十岁成长礼”活动，由于活动比原计划提前半小时，班主任需尽快电话通知家长。如果每分钟通知1人，某班42名同学，至少需要（ ）分钟才能通知完。 【答案】6 【分析】第1分钟：班主任通知1人，总人数为1 第2分钟：班主任和第1位家长各通知1人，新增2人，总人数为1＋2＝3 第3分钟：班主任和3位家长各通知1人，新增4人，总人数为3＋4＝7 第4分钟：班主任和7位家长各通知1人，新增8人，总人数为7＋8＝15 第5分钟：班主任和15位家长各通知1人，新增16人，总人数为15＋16＝31 第6分钟：班主任和31位家长各通知1人，新增32人，总人数为31＋32＝63 【详解】（人） 某班举行“十岁成长礼”活动，由于活动比原计划提前半小时，班主任需尽快电话通知家长。如果每分钟通知1人，某班42名同学，至少需要6分钟才能通知完。 14．学校组织的郊游活动时间提前了。班主任李老师需要尽快通知到每一位学生，如果每分钟通知1人，每人接到通知后，继续通知其他同学（一对一进行传达，无重复通知）。李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了（ ）名学生。 【答案】31 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知5分钟最多已经通知的学生人数。 【详解】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 当n＝5时 2n－1 ＝25－1 ＝2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（名） 李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了（31）名学生。 15．学校乐队有25人，暑假期间有一个活动，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（ ）分钟就能通知到每个人。 【答案】5 【分析】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共1＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，第四分钟可以通知7＋8＝15个队员，第五分钟可以通知15＋16＝31个队员，所以要通知到25个人，需要5分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1个队员； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3个队员； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7个队员； 第四分钟最多可以通知7＋8＝15个队员； 第五分钟最多可以通知15＋16＝31个队员。 所以要通知到25个人，至少需要5分钟。 16．孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空。如果变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，每次变出一个孙悟空需要的时间是4秒，那么要变出32个孙悟空最短需要（ ）秒。 【答案】20 【分析】由题意可知：4秒钟，共有2个孙悟空，2＝21；（秒），共有4个孙悟空，4＝22；（秒）共有8个孙悟空，8＝23；（秒），共有16个孙悟空，16＝24；（秒），共有32个孙悟空，32＝25据此规律来解答此题即可。 【详解】25＝32（个） （秒） 孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空。如果变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，每次变出一个孙悟空需要的时间是4秒，那么要变出32个孙悟空最短需要20秒。 17．学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知（ ）个学生。 【答案】31 【分析】先将李老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的2倍，据此列式，最后减去李老师即可。 【详解】2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（个） 5分钟最多可以通知31个学生。 18．气象台发布暴雨红色预警，陈老师需告知全班42名学生不要返校。如果为确保尽快通知到位，用一对一打电话的方式，每分钟通知1人，用6分钟的时间（ ）（填“能”或“不能”）通知到每名学生。 【答案】能 【分析】老师首先用1分钟通知第一名学生，第二分钟由老师和1名学生两人分别通知1名学生，现在通知了共l＋2＝3名学生，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7名学生，第四分钟可以通知7＋8＝15名学生，第五分钟可以通知15＋16＝31名学生，第六分钟可以通知31＋32＝63名学生，所以要通知到42人，至少需要6分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1名； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（名）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（名）； 第四分钟最多可以通知7＋8＝15（名）； 第五分钟最多可以通知15＋16＝31（名）； 第六分钟最多可以通知31＋32＝63（名）； 42＜63所以通知42名学生，需要6分钟时间，用5分钟时间不能通知到每名学生。 气象台发布暴雨红色预警，陈老师需告知全班42名学生不要返校。如果为确保尽快通知到位，用一对一打电话的方式，每分钟通知1人，用6分钟的时间能通知到每名学生。 19．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要（ ）分钟。 【答案】12 【分析】接到通知的老师可以同时去通知其他老师，第2分钟通知1位老师，第4分钟通知1＋2＝3（位）老师，第6分钟通知3＋4＝7（位）老师，以此类推，通知到的人数大于或等于48即可。 【详解】第2分钟：1位 第4分钟：1＋2＝3（位） 第6分钟：3＋4＝7（位） 第8分钟：7＋8＝15（位） 第10分钟：15＋16＝31（位） 第12分钟：31＋32＝63（位） 63＞48 至少需要12分钟。 三、解答题 20．五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 【答案】4分钟 【分析】通知方案：采用“接力通知”的方式，每一分钟让已知道信息的所有人（包括最初的通知者和之前已通知的组员）同时去通知新的组员，确保每分钟通知的人数最大化。已知初始有1人，每分钟每个已通知的人可通知1人，每过1分钟，已通知人数翻倍，计算各分钟累计被通知人数，找到覆盖13人的最短时间。 【详解】第1分钟：初始1人通知1人，累计被通知1人； 第2分钟：2人（初始1人＋第1分钟1人）各通知1人，新增2人，累计被通知1＋2＝3人； 第3分钟：4人（前两轮共4人）各通知1人，新增4人，累计被通知3＋4＝7人； 第4分钟：8人（前三轮共8人）各通知1人，新增8人，累计被通知7＋8＝15人。 因第4分钟结束时累计被通知人数可达15人，超过所需13人，故最快需4分钟。 答：最快的方案需要4分钟。 21．学校音乐小组有64人，现需通知外出演出，如果用打电话方式，每人通话1分钟，通知到每人需要多少分钟？如果只有6分钟时间，则至少有多少人没有通知到？ 【答案】7分钟；1人 【分析】首先用1分钟通知第一位小组成员，第2分钟由第一次通知的人和1位小组成员两人分别通知1位小组成员，现在一共通知到1＋2＝3（位）小组成员，可以推出第3分钟最多通知到3＋4＝7（位）小组成员，以此类推，由此问题解决。 【详解】根据分析可得， 第一分钟通知到1位小组成员； 第2分钟最多可通知到3位小组成员； 第3分钟最多可通知到7位小组成员； 第4分钟最多可通知到15位小组成员； 第5分钟最多可通知到31位小组成员； 第6分钟最多可通知到63位小组成员； 第7分钟最多可通知到127位小组成员； 63＜64＜127 用打电话的方式最少7分钟可以通知到所有小组成员。 64－63＝1（位） 答：通知到每人需要7分钟；如果只有6分钟时间，则至少有1人没有通知到。 22．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请问6分钟以后通知了几人？ 【答案】63人 【分析】先将王老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的2倍，据此列式，最后减去王老师即可。 【详解】2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 答：6分钟以后通知了63人。 23．孙悟空在炫耀拔毫毛变分身的本领，每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，并且每次变化的时间都是1秒钟。 （1）如果要变出7个新的孙悟空，最短需要（     ）秒。 （2）如果用“□”表示孙悟空，用“○”表示变出的孙悟空，请在下面空白处画出变化的示意图。 【答案】（1）3 （2）见详解 【分析】第1秒可以变出1个孙悟空，这时有2个孙悟空；2个孙悟空用1秒可以再变出2个，这时一共有4个孙悟空；4个孙悟空用1秒可以再变出4个，这时一共有8个孙悟空。故若要变出7个孙悟空需要：1＋1＋1＝3秒。据此解答及作图即可。 【详解】（1）1＋1＋1＝3（秒） 则如果要变出7个新的孙悟空，最短需要3秒。 （2）如图所示： 24．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 【答案】3分钟 【分析】按时间阶段分析每分钟通知到的总人数。依次推算每一分钟最多有多少人知道消息，当知道消息的总人数大于或等于需要通知的总人数时，所需时间即为最少时间。 【详解】第1分钟：老师通知1名队员，累计通知到1人，还剩6人未通知； 第2分钟：老师和1名已通知的队员，一共通知2名新队员，累计通知1＋2＝3（人），还剩4人未通知； 第3分钟：共4个知道消息的人（老师＋3名队员），可以同时通知4名新队员，累计通知3＋4＝7（人），刚好通知完所有队员。 答：3分钟可以通知完。 25．消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数（     ），通知的方式及用时（     ），对于通知的要求（     ）。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用（     ）分钟。 【答案】见详解 【分析】队长首先用1分钟通知第一名队员；1＋1＝2，第二分钟由队长和1名队员两人分别通知1名队员，现在通知的一共2＋2－1＝3名队员；第三分钟可以推出通知的一共4＋4－1＝7名队员；以此类推，第四分钟通知的一共8＋8－1＝15人，减去队长，刚好通知了15人，由此问题解决。 【详解】要通知的人数：15 通知的方式及用时：用打电话的方式，每分钟通知1人 对于通知的要求：尽快通知到每一队员； 电话方案图： 第一分钟通知到1个学生； 第二分钟最多可通知到3个学生； 第三分钟最多可通知到7个学生； 第四分钟最多可通知到15个学生； 答：至少用4分钟。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册 综合与实践：怎样通知最快 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：打电话问题 1.核心问题：老师要尽快通知到每一名同学，每分钟通知1人，每个人接到通知后可以帮老师一起通知别人，怎样安排用时最少？ 2.核心原理：核心原理是“每个人都不空闲”，即接到通知的人需继续参与通知其他人，避免信息传递的“等待”或“闲置”。区别于“逐个通知”（线性增长，效率低），这种方式通过“已通知的人共同参与通知”，使通知人数呈指数级增长，从而大幅缩短总时间。 3.核心规律 （1）第1分钟：通知者通知1人，已通知总人数=1人(21−1=1）； （2）第2分钟：已通知的1人+通知者共2人同时通知，新通知2人，已通知总人数=1+2=3人（22−1=3）； （3）第3分钟：已通知的3人+通知者共4人同时通知，新通知4人，已通知总人数=3+4=7人（23−1=7）； （4）第n分钟：已通知总人数=前（n−1）分钟总人数+2n−1=（新通知人数），即2n −1人。 【一句话口诀】每分钟接到通知的总人数，都是前一分钟的2倍再减1。 4.解题步骤 （1）看要通知多少人。 （2）按规律依次算： 1分钟最多通知1人； 2分钟最多通知3人； 3分钟最多通知7人； 4分钟最多通知15人…… 找到刚好能覆盖总人数的最少分钟数。 5.关键点 （1）每个人不闲着，接到通知马上帮着通知下一个。 （2）时间只按分钟数算，不重复、不遗漏。 （3）这是最优方案，用时最短。 【易错点】 （1）只算老师通知，忘记学生也能帮忙通知。 （2）把“第n分钟”和“n分钟一共”搞混。 （3）规律记成2n，忘记减1。 （4）算到刚好够就行，不要多算时间。 考点01：打电话问题 【典型例题1】陈老师带领的合唱队共有31人。暑假期间有一个紧急慰问演出，陈老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，至少需要多少分钟才能通知到所有的人？ 第n分钟 1 2 3 4 5 … 第n分钟新接到通知的队员数 1 2 … 到第n分钟所有接到通知的师生的总数 2 4 … 规律 1个2相乘 2个2相乘 … 最优方案流程图 我发现：到第n分钟，所有接到通知的师生总人数是n个（     ）相乘的积。要通知31名队员，至少需要（     ）分钟。 【典型例题2】“夕阳红”老年舞蹈队为方便联络，设计了一种联络方式。一旦有演出，先由教练同时通知3位队长，这3位队长再分别同时通知3位队员，依此类推，假定每同时通知3位队员需要1分，4分可以通知（     ）位队员。 A．39 B．110 C．118 D．120 【变式训练1】蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（     ） A．24 B．36 C．48 D．64 【变式训练2】孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 一、选择题 1．老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（     ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 2．学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（     ）人。 A．7 B．158 C．127 3．五（4）班参加综合实践社团的同学共有7人，周末有一项深入社区服务的重要活动，老师需要尽快通知到每一个人。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少（     ）分钟就能通知到每个人。 A．3 B．4 C．5 4．一个救援队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到10名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，至少需要（     ）分钟才能通知到全部队员。 A．3 B．4 C．5 5．学校足球队有20人，如果采用“一传一”的方法，打电话通知每一位队员进行急训，如果打一次电话用1分钟，至少需要（     ）分钟。 A．5 B．6 C．7 二、填空题 6．合唱队共有30名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每名队员。如果用打电话的方式一对一进行传达，每1分钟通知1人，那么最少需要（ ）分钟才能通知到每名队员。 7．原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要（ ）分钟全部接到通知。 8．无人机团队接到表演任务，队长需尽快通知到32名队员，用电话通知的方式，每分钟通知1人，全部通知完至少需要（ ）分钟。 9．学校器乐队共有31人，有一个临时演出任务，老师想用打电话的方式尽快通知到每一位队员，如果每分钟通知1人，最少用（ ）分钟就能通知到每一位队员。 10．运动会比赛顺序临时变动，张老师需要将新的赛程以打电话的方式告知每一位运动员，必须一对一进行传达，若每分钟通知1人，4分钟最多能通知（ ）人。 11．新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了（ ）名家长。 12．一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别通知一只蚂蚁……如果每通知一只蚂蚁需要10秒，那么1分钟后一共有（ ）只蚂蚁知道了食物的消息。 13．某班举行“十岁成长礼”活动，由于活动比原计划提前半小时，班主任需尽快电话通知家长。如果每分钟通知1人，某班42名同学，至少需要（ ）分钟才能通知完。 14．学校组织的郊游活动时间提前了。班主任李老师需要尽快通知到每一位学生，如果每分钟通知1人，每人接到通知后，继续通知其他同学（一对一进行传达，无重复通知）。李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了（ ）名学生。 15．学校乐队有25人，暑假期间有一个活动，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（ ）分钟就能通知到每个人。 16．孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空。如果变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，每次变出一个孙悟空需要的时间是4秒，那么要变出32个孙悟空最短需要（ ）秒。 17．学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知（ ）个学生。 18．气象台发布暴雨红色预警，陈老师需告知全班42名学生不要返校。如果为确保尽快通知到位，用一对一打电话的方式，每分钟通知1人，用6分钟的时间（ ）（填“能”或“不能”）通知到每名学生。 19．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要（ ）分钟。 三、解答题 20．五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 21．学校音乐小组有64人，现需通知外出演出，如果用打电话方式，每人通话1分钟，通知到每人需要多少分钟？如果只有6分钟时间，则至少有多少人没有通知到？ 22．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请问6分钟以后通知了几人？ 23．孙悟空在炫耀拔毫毛变分身的本领，每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，并且每次变化的时间都是1秒钟。 （1）如果要变出7个新的孙悟空，最短需要（     ）秒。 （2）如果用“□”表示孙悟空，用“○”表示变出的孙悟空，请在下面空白处画出变化的示意图。 24．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 25．消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数（     ），通知的方式及用时（     ），对于通知的要求（     ）。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用（     ）分钟。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $