7.1 两个基本计数原理-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第七章 计数原理 7.1两个基本计数原理 【必备知识】 知识点1:分类加法计数原理 1.概念 完成一件事有两类不同方案, 在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 概念推广:完成一件事有 类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法, , 在第 类方案中有 种不同的方法, 那么完成这件事共有 种不同的方法. 2.特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理, 其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情, 我们可以用第1类有 种方法,第2类有 种方法,第 类有 种方法来表示分类加法计数原理,其中用 “,”隔开各框表示各类是独立的,即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事, 因此一共有 种不同方法可以完成这件事. 3.分类原则 分类计数时,首先要根据问题的特点,确定一个适当的分类标准,然后利用这个分类标准进行分类,分类时要注意两个基本原则:一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类;二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法,只要满足这两个基本原则,就可以确保计数时不重不漏. 【典例1】从甲地到乙地,可以乘飞机,也可以乘火车,还可以乘长途汽车.每天飞机有 班,火车有 班,长途汽车有 班.一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法? 【答案】 【解析】 由题意可知,从甲地到乙地,若乘飞机,有 种方法;若乘火车,有 种方法;若乘长途汽车,有 种方法;则从甲地到乙地共有 种不同的方法. 【典例2】如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有多少条不同的线路(每条线路仅含1条通路)? 【答案】10 【解析】 从A处到B处接通,按上,中,下三类不同的方案: 上线路有3条;中线路有1条;下线路有 条; 由分类加法计数原理知,从A处到B处接通共有 (条)不同的线路. 【答案】 【解析】由题意可知,从甲地到乙地,若乘飞机,有 种方法;若乘火车,有 种方法;若乘长途汽车,有 种方法;则从甲地到乙地共有 种不同的方法. 知识点2:分步乘法计数原理 1.概念 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 概念推广:完成一件事需要 个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法, ,做第 步有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 2.特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中,每一步都要使用一种方法才能完成要做的事情,可以利用图形第一步有 种方法 第二步有 种方法 第 步有 种方法来表示分步乘法计数原理, 图中的“→”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情,从而共有 种不同的方法可以完成这件事. 3.分类原则 (1) 明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事, 怎样才能完成这件事, 也就是说,弄清要经过哪几步才能完成这件事; (2) 完成这件事需要分成若干个步骤, 只有每个步骤都完成了, 才算完成这件事, 缺少任何一步,这件事就不可能完成; (3) 根据题意正确分步, 要求各步之间必须连续,只有按照这 个步骤逐步去做,才能完成这件事,各个步骤既不能重复也不能遗漏. 【典例3】为促进中学生综合素质全面发展,某校开设5个社团,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,则不同的报名方式共有( ) A.60种 B.120种 C.125种 D.243种 【答案】C 【详解】 由题意知,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,所以每个人有5种选择.则不同的报名方式共有 (种), 故选:C. 【典例4】在校本课程目录中,1名学生在科技类课程中发现了4门有趣的课程,在文艺类课程中发现了6门有趣的课程.如果这个学生决定在科技类课程和文艺类课程中各选1门有趣的课程作为新学期的选修课,那么这名学生有多少种不同的选择? 【答案】24 【详解】 根据题意,这名学生选修课程分两步完成: 第1步,从4门科技类课程中选1门,有4种方法; 第2步,从6门文艺类课程中选1门,有6种方法; 根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为 . 所以共有24种不同的选择. 知识点3:染色问题 【典例5】如图,在四棱锥 中,现给5个顶点安装彩色灯泡,要求相邻顶点的位置不得使用同一颜色,有4种不同颜色可供选择,则不同的安装方法共有( ) A.48种 B.72种 C.80种 D.96种 【答案】B 【详解】 若A,C使用同一颜色,则由分步计数原理可知有 (种); 若A,C不使用同一颜色,则由分步计数原理可知有 (种), 由分类计数原理可得共有 (种), 故选:B. 【典例6】如图,一个地区分为 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?