专题01 空间向量与立体几何精选压轴60题12类考点专练（期中复习专项训练）高二数学下学期苏教版

专题01 空间向量与立体几何精选压轴60题12类考点专练 （期中复习专项训练） 选填小压轴 解答压轴 题型1 由空间向量共线求参数或值 题型10 空间位置关系向量证明 题型2 空间共线向量定理的推论及应用 题型11 空间角与距离的计算 题型3 空间向量数乘运算的几何问题 题型12 空间立体几何存在性问题 题型4 空间向量数量积的应用 题型5 空间向量共面求参数 题型6 空间共面向量推论及应用 题型7 空间向量基本定理 题型8 空间向量轨迹问题 题型9 空间向量最值问题 题型一 由空间向量共线求参数或值（共5小题） 1．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 2．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（   ） A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 题型二 空间共线向量定理的推论及应用（共5小题） 6．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，． 8．如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 9．如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 10．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 题型三 空间向量数乘运算的几何问题（共5小题） 11．在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 12．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 15．在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当线段MN取最小值时， D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为 题型四 空间向量数量积的应用（共5小题） 16．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 17．已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 18．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 20．如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（   ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 题型五 空间向量共面求参数（共5小题） 21．已知三个向量共面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 23．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 24．如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 25．已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 题型六 空间共面向量推论及应用（共5小题） 26．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 27．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 30．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 题型七 空间向量基本定理（共5小题） 31．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 32．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 33．在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 34．在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 35．已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 题型八 空间向量轨迹问题（共5小题） 36．在正方体中，，点为正方体表面上一动点，若，则点的轨迹长度为___________． 37．为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______. 38．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 39．左图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（   ）    A．为线段上的动点，则的最小值为 B．异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C．当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D．当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 40．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 题型九 空间向量最值问题（共5小题） 41．在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 42．在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 43．在如图所示的试验装置中，有两个边长为1的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 45．在空间直角坐标系中，过点 ，且以 为方向向量的直线可以用方程 来表示.已知 ，点 ，点 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十 空间位置关系向量证明（共5小题） 46．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 47．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 48．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 49．在正四棱柱中，已知，点满足，. (1)证明：四点共面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 50．如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 题型十一 空间角与距离的计算（共5小题） 51．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. (1)证明：//平面； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 52．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，，，，E，F分别是线段，的中点． (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，①求的长；②求与平面所成角的正弦值． 53．如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱，交于点E，F（点E，F均与所在棱的端点不重合）. (1)若，求直线EF与所成角的余弦值； (2)求的余弦值的最大值； (3)设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，，，证明：. 54．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 55．如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 题型十二 空间立体几何存在性问题（共5小题） 56．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，，，且平面平面. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 57．如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点． (1)证明：上存在点P，使得平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 58．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：； (2)是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 59．如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 60．如图，在长方体中，，E为CD的中点． (1)求证：． (2)若，求平面与夹角的余弦值． (3)在棱上是否存在一点P，使得平面．若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． 1．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 3．下列关于空间向量的命题中正确的是（ ） A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B．已知过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 4．在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 6．如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 7．在直三棱柱中，分别为线段的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 8．如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 9．如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 10．如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 专题01空间向量与立体几何精选压轴60题12类考点专练 (期中复习专项训练) 真题实战·百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型1由空间向量共线求参数或值 题型10空间位置关系向量证明 题型2空间共线向量定理的推论及应用 题型11 空间角与距离的计算 题型3空间向量数乘运算的几何问题 题型12空间立体几何存在性问题 题型4空间向量数量积的应用 题型5“空间向量共面求参数 题型6空间共面向量推论及应用 题型？空间向量基本定理 题型8空间向量轨迹问题 题型9空间向量最值问题 题型一由空间向量共线求参数或值（共5小题） 1.已知A,B,C三点共线，0为空间任一点，则①0A=20B+μ0C;②存在三个不为0的实数2，m,n,使 OA+m0B+nOC=0,那么使①②成立的u与元+m+n的值分别为() A.1,-1 B.1,0 C.0,1 D.-1,0 【答案】D 【详解】因为A,B,C三点共线，所以存在实数k,满足AB=kBC, 因为0为空间任一点，所以OB-0A=(OC-0B,即OA=(1+)OB-kOC, 1+k=2 ,k=1 因为0A=20B+u0C,所以 t=u,解得 4=-1' 因为存在三个不为0的实数入，m,n,使10A+m0B+n0C=0, m -2 所以OA=-OB-0C,所以 ，即m=-22,n=1, n 所以1+m+n=1-22+1=0 综上，H=-1,1+m+n=0 1/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，若 DP=DB,则三棱锥P-BB,C外接球的表面积为() 2 D D C …P B A.8π B.6n C.4W2π D.4元 【答案】A 【详解】若DP=DB,则P为DB中点，△PBC为等腰直角三角形， 如图，BC中点E是△PBC的外心，B,C的中点O是△BCB,的外心， 正方体中易知OE⊥平面PBC,因此O是棱锥P-BB,C外接球的球心， 所以三棱锥P-BB,C外接球的半径为√2， 所以三棱锥P-BB,C外接球的表面积为4π(、√2)'=8π 故选：A A ⊙ D C E 3平行六面休48CD-48CD中，=AMC.W-号亚+号而+}瓜，测实数的值为（) 3 A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【详解】4=-M=号丽+号而+-从-号+子0-号风 3 3 3 3 3 -号0+而--号c-网号4C-号4M+MC, 2/77 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 所以A,M=2MC, 故选：C D C A M D B 4.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD中，点E,F分别为棱AB,AD的中点，点G在底面A,B,C,D,内运 动（含边界），且A,C⊥平面EFG,则() A.若D,G=GC(2∈R),则EG11平面ADD,A, B.点G到直线EF的距离为V6 C.若AG=GC(2∈R),则1=3 D.直线CE与平面EFG所成角的正弦值为√ 5 【答案】ACD 【详解】分别取棱BB,,BC,CD,DD的中点M,N,P,Q, :点E,F分别为棱AB,AD的中点，，EFIBD, :AC⊥BD,AC⊥EF, :AA⊥平面ABCD,EFc平面ABCD,AA,⊥EF, :440AC=A,AA,ACc平面ACA,.EF⊥平面ACA, :A,Cc平面ACA,∴EF⊥AC,同理EM⊥AC, :EF∩EM=E,EF,EMc平面EMNPOF,.A,C⊥平面EMNPOF, 根据条件A,C⊥平面EFG,可得平面EFG即为平面EMNPOF, 于是点G的轨迹即为线段NP. 3/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C G N A E B 对于A,若DG=GC(2∈R),则点G在DC上， 又点G的轨迹即为线段NP,则点G为棱CD的中点P, D P(G) C /1 B or iD M A E B 连AD,,:AE∥D,G,AE=D,G,.AEGD,为平行四边形， .EG∥AD,又EG平面ADDA,AD,C平面ADDA, 所以EG∥平面ADDA,故A正确； 对于B:点E,Q分别为枝4D,DD的中点：PQ110,FQ号40=V万， :.正六边形EMNPOF的边长为√2， 4/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M E 设O正六边形EMNPOF的中心， 则△PQO,△QFO均是边长为√2的正三角形， PF⊥PN,PF⊥EF,PF⊥QO ·PF=3 2x√2x2=√6，即NP与EF间的距离√6， 2 因为NP∥EF,所以点G到EF的距离即为NP与EF间的距离， 所以点G到EF的距离为√6，所以B错误： 对于C,连AC,BD,交点为T, D T A D A E B :AG=2GC(2∈R),则点G在AC上， 又点G的轨迹即为线段NP,则点G为AC与NP的交点， :BN分别为CDBC的中点，则GC=C=4G4G=4G, 此时A,G=3GC,于是元=3满足，所以C正确： 对于D,设AC∩平面EFG=S,根据对称性可知，S为A,C的中点， sc=4C=x25=5. 2 5/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D P C N B B :A,C⊥平面EFG,.∠CES为直线CE与平面EFG所成的角， 又CE=VEB2+BC2=V2+22=√5， :sin∠CS=SC-5V5 CE5=5 所以直线CE与平面EFG所成角的正弦值为5，故D正确， 故选：ACD 5.设e,e是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e+ke,BC=e+3e,DC=2e-e,且A、B、 D三点共线，则实数k的值为() A.-2 B.-4 C.-8 D.8 【答案】C 【详解】：AB=2e+ke,,BC=e+3e2,DC=2e-e2, :AD=AB+BC-DC=(2ej+ke;)+(ej+3e:)-(2e-e:)=e+(k+4)e:, :A、B、D三点共线， ∴.31∈R,使得AB=入AD, 即2e+ke2=元e+(k+4)e=元e+元(k+4)e2, 1=2,2(k+4)=k,解得k=-8. 故选：C. 题型二空间共线向量定理的推论及应用（共5小题） 6.在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，CF=3FD,CG=3GA,则cos∠GEF=() 6/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A月 5 B:4 c.7 3 D.3V7 14 【答案】B 【详解】连接GF,设正四面体ABCD的棱长为4，则CE=2,CF=CG=3, ∠BCA=∠4CD=∠BCD=骨，则△CFG为正三角形，所以FG=-CP=3, 1 由余弦定理得EF=VCF2+CE2-2 CF CE cos∠ECF=,9+4-2x3×2× =V7, 2 1 EG=CG2+CE2-2CGCECOsZECG=9+4-2x3x2x=7, 故cos∠GEF=EG+EF2-FG2_7+7-9_5 2EGEF 2×714 7.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P满足AP=AA+1AB,点Q满足AQ=HAA+AB+AD, 其中元∈[0,2]，4e[0,2]当4=时，DP⊥BQ 【答案】1 【详解】AP=AA+2AB台AP-AA=入AB台AP=1AB,又入∈[0,2， 所以点P在射线AB,上： Ag=μAA,+AB+AD台A0=4AA+AC台A,9-AC=4AA台C0=uAA,又μ∈[0,2]， 所以点Q在射线CC,上： D C() 因为当1变化时，DPc平面A,B,CD,故只需考虑过B且与平面A,B,CD垂直的线， 7/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为正方体有A,B,⊥平面BB,CC,而BC,C平面BB,CC,所以AB,⊥BC, 又BC1⊥B,C,,AB,∩B,C=B,A,B,B,CC平面AB,CD,所以BC1⊥平面A,B,CD, DPC平面A,B,CD,所以BC⊥DP, 所以当点Q在G上时DP⊥BQ,即H=1时DP⊥BQ, 故答案为：1 8.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，P为空间一动点，若BP=1BC+uBB,(2,4∈[0,1)，则() B B A.若入=4，则点P的轨迹为线段BC B.若入+u=1,则点P的轨迹为线段BC C.存在，μ∈(0,1，使得AP⊥BC D.存在1，∈(0，I,使得AP∥平面ABC 【答案】ABC 【详解】对于A:由BP=2BC+uBB,2,u∈[0,1，得点P在侧面BCCB,内（含边界）， 若入=u,则BP=1BC+BB,=元BC(2∈[0，)，故点P的轨迹为线段BC,，故A正确： 对于B:若入+H=1,则BP=元BC+(1-元)BB,所以BP-BB=入BC-BB,即BP=1BC, 又入∈[O,I,故点P的轨迹为线段B,C,故B正确； 对于C:分别取棱BC,B,C的中点D,E,连接DE,由题意易证BC⊥平面ADEA, 当点P在线段DE上时，AP⊥BC,故存在1,4∈(0,1，使得AP⊥BC,故C正确： 对于D:若使AP∥平面AB,C,则点P必在棱BC上，此时u=0,故不存在入，4∈(0，I, 8/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 使得AP∥平面AB,C,故D错误 故选：ABC C D B 9.如图，正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AA,=2AB=2,动点P满足AP=aAC+bAA,且a,b∈0,1，则 下列说法正确的是() D A B D: C B A.当a=2时，三棱锥4-PB8,的体积为 3 B.当a+b=I时，PB+PB,的最小值为√6 C.若直线BP与BD所成角为子，则动点P的轨迹长为2， √26 D.当a+2b=1时，三棱锥P-ABC外接球半径的取值范围是 22 【答案】BCD 【详解】对于A,取AC,BD相交于点O,AC,的中点为Q,如下图所示： D C 9/77 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 当a-时，即币=C+baA=40+b00,be0, 由平面向量线性运算法则可知，点P在线段OO,上，又S.BA=1, 111 腿VS)BCX即A不佛D 326 对于B,当a+b=1时，由AP=aAC+bAA,利用共线定理可得，P,C,A,三点共线，即点P在线段CA上： 由对称性可知，线段CA上的点到D,B,两点之间的距离相等，所以PB+PB,=PB+PD: 取平面4BCD进行平面距离分析，如下图所示： D B 所以PB+PD≥BD=V22+12+12=√6，当且仅当P,B,D三点共线时，等号成立， 此时点P为线段CA的中点，即PB+PB,的最小值为√6，故B正确： 对于C,由图可知，BMBC与BD所成角都为子由P=a1C+b可知，点P在平面4AGC,肉， 若直线BP与BD所成角为子，在线段O0,上取点R,使OR=OB,则直线BR与BD所成角为牙： 则点P的轨迹是以0为圆心，半径为，=2，且在平面44CC,内的半圆弧APC,如下图所示： 2 D C A B P 所以动点P的轨迹长为=巨元 元，故C正确： 10/77