高二数学下学期期中模拟卷01（苏教版，测试范围：选择性必修第二册第6～8章）

2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章（空间向量与立体几何+计数原理+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 2．用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 4．若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 5．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 7．关于下列命题，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知随机变量，则， D．已知随机变量，若，则 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，而G是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．当点G与点重合时，平面 C．当点G与点重合时，直线与平面所成角最大 D．当G是的中点时，点C到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机事件满足，，则__________. 13．某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 14．如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为__________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 16．（15分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB: (2)求二面角的大小； (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 18．（17分）某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题： (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 19．（17分）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 2．用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 3．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 4．若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【详解】，解得； ， 故选：B. 5．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点关于平面对称，得，所以. 故选：A. 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 7．关于下列命题，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知随机变量，则， D．已知随机变量，若，则 【答案】D 【详解】选项A: 根据数学期望的性质：若，则. 所以，选项A正确. 选项B： 根据方差的性质：若，则. 所以，选项B正确. 选项C： 根据二项分布的性质：若随机变量，其期望，方差. 所以在随机变量中，其期望，方差. 所以选项C正确. 选项D： 因为随机变量，则正态分布曲线关于对称. 所以，那么. 所以.所以D错误. 故选：D. 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 【答案】ABC 【详解】对于A：甲同学仅随机选一个选项，能得3分的情况为在中选择或， 所以其概率为，故A正确； 对于B：乙同学仅随机选两个选项，能得5分的情况为在中选择， 所以其概率为，故B正确； 对于C：丙同学随机选择选项，能得分的情况为在中选择中的一种， 所以其概率为，故C正确； 对于D：丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的情况为在中选择， 所以其概率为，故D错误； 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】BC 【详解】对于选项A，每名同学独立选择4项工作中的任意一项，总方法数为，A选项正确. 对于选项B，每项工作至少1人参与，需将5人分为4组（1组2人，其余3组各1人）， 再将4组分配至4项工作，所以总方法数为， B选项错误. 对于选项C，司机岗位不安排，需将5人分配至3项工作且每项至少1人，人员分组为与两种形式. 分组的有效分组数为，分组的有效分组数为， 总方法数为， C选项错误. 对于选项D，甲、乙不能从事司机工作，分两类讨论： 司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人，剩余4人分配至其余3项工作且每项至少1人，方法数为； 司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人，剩余3人全排列至其余3项工作，方法数为. 总方案数为，D选项正确. 11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，而G是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．当点G与点重合时，平面 C．当点G与点重合时，直线与平面所成角最大 D．当G是的中点时，点C到平面的距离为 【答案】AC 【详解】对于A项,连接，因为E，F分别为，的中点，可得 ， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B项，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，可得： ， 当点G与点重合时， ， 则，，， 设平面的法向量为 ， 则 ， 令 则， 因为与不共线， 所以与平面不垂直，故B错误； 对于C项，设，，则 设平面的法向量为 则 则，即， 令 ，则， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则， 设，， 则， 故单调递增，所以当时，最大， 即点G与点重合时，最大，此时直线与平面所成角最大，故C正确； 对于D项，当G是的中点时， ， 此时， 设平面的法向量为， 则，即， 令 ，得到 因为， 所以点C到平面的距离为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机事件满足，，则__________. 【答案】 【详解】由条件概率公式得． 13．某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 【答案】 【详解】由题意知分两种情况： ①三个专业各选出1名男教授和1名女教授， 选法有：种； ②一个专业选出2名男教授，一个专业选出1名男教授和1名女教授，一个专业选出2名女教授， 选法有：先从3个专业中选出1个专业出2名男教授，有种选法； 再从剩下的2个专业中选出1个专业出2名女教授，有种选法； 最后剩下的1个专业中选出1名男教授和1名女教授，有种选法， 对于选出2名男教授的专业，有种选法； 对于选出2名女教授的专业，有种选法； 对于选出1男教授1女教授的专业，有种选法， 此时选法有：种， 所以组成这个委员会的所有可能的不同方法共有种. 14．如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为__________.    【答案】1 【详解】    设，，则. 如图，作，，垂足分别为，，连接， 则， 两边平方得. 由图可知，，，， ， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)(2).(3)第4项和第5项 【详解】（1）由题，可得，即，即，又，所以，   令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （3）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 16．（15分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)，(3) 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB: (2)求二面角的大小； (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【详解】（1）平面平面，且平面平面，,平面， 平面，又平面，∴， 又且，平面， 平面. （2）取的中点，连接，，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面，， 又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则，， 又观察可知平面的法向量为， . 故二面角的大小为. （3） 设平面的法向量为，则，令，则，， 又，. 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 18．（17分）某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题： (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 【答案】(1)150(2)100 【详解】（1）将5人分配给3种模型，每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，安排方案有两种： 方案1（3，1，1型），共有种安排方案； 方案2（2，2，1型），共有种安排方案. 故共有安排方案种. （2）依题意，可从对立事件的方法数考虑. 由（1）可知，若无任何限制，则总方案数为150种. ①若甲、乙调研同一模型，有两种情况： 甲、乙与另外一人调研同一种模型，有种安排方案； 只有甲、乙两人调研同一种模型，有种安排方案； 所以甲、乙调研同一模型，共有种安排方案. ②若ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案. ③若甲、乙调研同一种模型，且ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案. 综上，共有种安排方案. 19．（17分）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】(1)6.7 (2) 1 2 3 ，(3) 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）由题，可得，即，即，又，所以，（2分）   令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.（4分） （2）因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为.（9分） （3）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大，（11分） 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.（13分） 16．（15分） （1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ，（4分） 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （6分） （2）由（1）可知，（8分） .（12分） （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则.（15分） 17．（15分） （1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ，（4分） 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （6分） （2）由（1）可知， .（12分） （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则.（15分） 18．（17分） （1）将5人分配给3种模型，每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，安排方案有两种： 方案1（3，1，1型），共有种安排方案； 方案2（2，2，1型），共有种安排方案. 故共有安排方案种.（7分） （2）依题意，可从对立事件的方法数考虑. 由（1）可知，若无任何限制，则总方案数为150种. ①若甲、乙调研同一模型，有两种情况： 甲、乙与另外一人调研同一种模型，有种安排方案； 只有甲、乙两人调研同一种模型，有种安排方案； 所以甲、乙调研同一模型，共有种安排方案.（12分） ②若ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案. ③若甲、乙调研同一种模型，且ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案. 综上，共有种安排方案.（17分） 19．（17分） （1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7（4分） （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， （7分） 因此，X的分布列为 1 2 3 故，.（10分） （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则（12分） 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大.（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章（空间向量与立体几何+计数原理+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 2．用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 4．若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 5．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 7．关于下列命题，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知随机变量，则， D．已知随机变量，若，则 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，而G是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．当点G与点重合时，平面 C．当点G与点重合时，直线与平面所成角最大 D．当G是的中点时，点C到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机事件满足，，则__________. 13．某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 14．如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为__________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 16．（15分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB: (2)求二面角的大小； (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 18．（17分）某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题： (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 19．（17分）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $