精品解析：广东广州市白云区庆丰实验学校2025～2026学年下学期四月学业质量学情调研八年级数学试题

2025-2026学年下学期四月学业质量学情调研 初二数学试题 考试时间：120分钟满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的两条对角线相等 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 邻边相等的平行四边形是菱形 5. 若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　） A. 5 B. 10 C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 6 10. 如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 12. 如图，中，，是的中点，，则______． 13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 14. 若实数满足，且是的两条边长，则另一条边长为______． 15. 如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 __________________． 16. 如图，平行四边形中，对角线相交于O，，E、F、G分别是的中点，下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④平分，⑤连接，则四边形是菱形，其中正确的是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 19. 已知，求的值． 20. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离． 21. 在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：． （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 22. 如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求折痕的长． 23. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 24. 新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． （1）根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（ ）；②等腰直角三角形（ ）； （2）若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． （3）如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． （1）填空：点的坐标为 ， 度． （2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期四月学业质量学情调研 初二数学试题 考试时间：120分钟满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意； D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的两条对角线相等 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理和性质，逐一判断各选项命题的真假即可得到答案． 【详解】A.∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，∴A是假命题； B.∵平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，只有矩形的对角线相等，∴B是假命题； C.∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，∴C是假命题； D.∵根据菱形的定义，邻边相等的平行四边形是菱形，∴D是真命题； 5. 若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8， 斜边长为：＝10， 三角形的面积＝×6×8＝24， 设斜边上的高为x，则x•10＝24， 解得x＝4.8． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理和矩形的性质解题即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴． 故选：A． 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 8. 如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由作图可知，为的平分线，过点D作于点E，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 10. 如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 12. 如图，中，，是的中点，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题． 【详解】解：在中，，是的中点， 线段是斜边上的中线； 又， ． 故答案为：． 13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得： ． 故答案为：． 14. 若实数满足，且是的两条边长，则另一条边长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理．先由非负数的性质求出m=3，n=4，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 即这个直角三角形的两边长分别为3和4． ①当4是此直角三角形的斜边时， 则由勾股定理得另一直角边为， ②当4是此直角三角形的直角边时， 则由勾股定理得斜边为：． 故答案为：5或． 15. 如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 16. 如图，平行四边形中，对角线相交于O，，E、F、G分别是的中点，下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④平分，⑤连接，则四边形是菱形，其中正确的是_______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，，结合可得，利用等腰三角形三线合一的性质可判断②正确；利用三角形中位线定理可得，，进而可得，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断①正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，结合平行四边形的性质可得，若则需，题目未给出角度条件，故③错误；利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证，从而判断④正确；先证四边形是平行四边形，再结合利用邻边相等的平行四边形是菱形可判断⑤正确． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，  ， ， 点是的中点， ，故②符合题意； 点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， ，，点是的中点， ，， 四边形是平行四边形，故①符合题意， ， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 若，则，即， 在中，若直角边等于斜边的一半，则， 题目中不一定为， 不一定等于，故③不符合题意， ， ， ， ， ， 平分，故④符合题意， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故⑤符合题意， 综上所述，正确的结论是①②④⑤ ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ． 20. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的性质，平角的定义得到为直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： 为直角三角形 ， ． 答：两点间的距离是． 21. 在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：． （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题； （2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 22. 如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求折痕的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， ． ， ． ，， ． ∴四边形为平行四边形． （2）当t时，四边形为菱形，此时菱形的面积是 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （1）根据直角三角形的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ． ， ． ． ． 若使平行四边形为菱形，则需， 即，解得t． 即当t时，四边形为菱形． 此时， ， ， ， ∴菱形的面积． 24. 新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． （1）根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（ ）；②等腰直角三角形（ ）； （2）若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． （3）如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 【答案】（1）①√；②× （2）①；② （3） ①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是“骐骥三角形”； ②的长为或． 【解析】 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和，第三边平方的两倍为：，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； ②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为，底边长的平方为，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； （2）①分c为斜边和b为斜边，两种情况讨论，根据“骐骥三角形”的定义求解即可； ②由勾股定理得，再由是“骐骥三角形”， ，得到，进而求出，，则； （3）①由勾股定理得，，再由，，即可证明，则可证明是“骐骥三角形”； ②设，，则，，由（3）①得：，则；当时，由勾股定理得，当时，由勾股定理得，两种情况求出，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设等边三角形的边长为a， ∴两边平方和，第三边平方的两倍为：， ∵， ∴等边三角形一定是“骐骥三角形”； ②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c， ∴腰长的平方和为，底边长的平方为， ∴， ∴等腰直角三角形不是“骐骥三角形”； 【小问2详解】 解：①若c为斜边， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴此情况不存在； 若b为斜边， ∴， ∵，， ∴，符合“骐骥三角形”的定义， 此时； ②∵是直角三角形，且， ∴， ∵是“骐骥三角形”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①略 ②设，， ∴，， 由①得：， ∴ ∵为直角三角形，点E在四边形内部， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． （1）填空：点的坐标为 ， 度． （2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】（1）， （2）① ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【小问1详解】 解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 ①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $