专题08 期中真题百练通关（100题12大易错压轴题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08期中真题百练通关(100题12大易错压轴题型) 真题实战·百练通关 题型1三次根式有意义条件（多限制易漏） 题型7 折叠+勾股（方程思想） 题型2二次根式混合运算 题型8矩形折叠（求线段/面积/角度） 题型3复合二次根式/比较大小 题型9菱形性质(60°/120°、对角线垂直) 题型4勾股定理逆定理 题型10动点存在性（平行四边形/等腰/直角） 题型5勾股定理无图多解 题型11最值问题（将军饮马、垂线段最短） 题型6立体图形最短路径（展开图易错） 题型12旋转综合（正方形/等腰Rt△） 题型一二次根式有意义条件（多限制易漏）（共5小题） 1.(24-25八年级下河南周口期中)代数式3 成立的条件是() Vx+1 A.x≥-1 B.x≤3 C.-1≤x≤3 D.-1<x≤3 【答案】D 【详解】解：由题意，得： [3-x20 (x+1>0 解得：-1<x≤3： 故选D. 2.(25-26八年级上湖南永州期中)若代数式x-1有意义，则实数x的取值范围是() x-3 A.x≠3 B.x21 C.x>1 D.x21且x≠3 【答案】D 【详解】解：：代数式Vx-1有意义， x-3 x-1≥0 x-3≠0’ ,x≥1且x≠3， 故选：D. 3.(25-26八年级上·安徽六安期中)函数y= x+1 的自变量x的取值范围是() Vx-1 A.x≠1 B.x>1 C.x21 D.x<1且x≠-1 1/156 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：：分母x-1要求x-120且√x-1≠0， x-1>0,即x>1, 故选：B, 4.(25-26八年级上安徽六安期中)函数y=x+3+x+2°中，自变量x的取值范围是（) A.x≥3且x≠-2 B.x≥3且x≠0 C.x2-3且x≠-2 D.x≥2-3且x≠0且x≠-2 【答案】D 【详解】解：：函数y=+3 (x+2)°有意义， :需满足： (1)平方根被开方数非负：x+3≥0，即x≥-3； (2)分式分母不为零：x≠0； (3)零次幂底数不为零：x+2≠0，即x≠-2 综上，x≥-3且x≠0且x≠-2. 故选：D 5.(24-25八年级下·四川南充期中)函数y=√10-x ⑧-的自变量的取值范围为 x-5 【答案】5<x≤8 10-x≥0 【详解】解：由题意，得： 8-x≥0， x-5>0 解得：5<x≤8； 故答案为：5<x≤8 题型二二次根式混合运算（顺序分配建、分母有理化）（共4小题） 6.(25-26八年级上，宁夏银川期中)在计算√6×2√⑧-√24÷√2时，小明的解题过程如下： 解：原式=2√6×8- 4① =2√48-V12② =(2-1)V48-12③ 2/156 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =V36④ =6 ()老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的： (2)请你给出正确的解题过程. 【详解】(1)解：小明从第③步开始出错的； 故答案为：③： (2)解：原式=2√6×8 24 =2√48-V12, =2×4V3-23, =85-25, =6v5. 1 1 7.(2425八年级下-湖北黄冈期中)已知a=5+2,6=5-2 (1)求a+b的值； 2求a6+Gb的信 √a+√b (5-2) 【详解】(1)解：化简a=5+53+23- =5-2, (5+2 b=5-53-25+2 =5+√2， 故a+b=(W5-2)+(5+2)=25. 2解：原式.46+5而.a6+6-6肠.w历-b+ah-画西 √a+√B (Va+B)(va-JB) a-b _ab-babb.a-创ab5:=ab a-b a-b 将a=5-√2，b=5+2代入上式得ab=(5-2)5+2)=1. 故a6+pla.ab=l √a+Vb 3/156 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上·四川达州期中)观察下列等式： 1x(2- =√2-1 2+12+12-1 1xW3-√2) 56+jg万6-5： 1 1x4- 4+6a+j4-同5， (1)求下列各式的值： 1 ①7+6 1 ②3N+7 1 ®Vn+i+n （n为正整数). (2)已知x 1 1 2+5y 2-5,若x的整数部分是m,y的小数部分是元，则5m2+(x-m小-y的值为 3)计算6+5"x6-5. V万-√6 【详解】(1)解：①7+6(7+67-6 =万-6： 1 32-7 ②3W2+而3N2+732-可 32-7； 1 Vn +1-/n ③n+1+n =√n+1-Vn (n+1+vnn+1-vn) 故答案为：①√万-√6；②3V2-17;③√n+1-√n. a解2452-，252 x的整数部分是m,y的小数部分是n, :0<2-√5<1,3<2+5<4,2+3-3=V5-1 .m=0,n=V3-1 5m2+(x-n)-y 4/156 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =0+2-5-5+1-(2+5) =(3-23°-2-3 =9-12V5+12-2-√5 =19-13V5 (3)解：(+"x6- =(6+v5"×(6-5×6-5) =[6+5(6-5]"x6-5 =6-√5 9.(25-26八年级上·吉林长春期中)【观察思考】观察下列等式特征，探索规律 第①个等式：√1x3+1=√4=2； 第②个等式：√2×4+I=√9=3； 第③个等式：√3x5+1=√16=4； 第④个等式：√4x6+1=√25=5： (1)计算：√5×7+1=；V16×18+1=; (2)若、√n(n+2+1=20,则正整数1=； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： V1×3+1-V3×5+1+V5×7+1-V7x9+1+…+17×19+1-V19x×21+1. 【详解】(1)解：√5x7+1=√36=6，√16×18+1=√289=17， 故答案为：6,17； (2):Vn(n+2+1=Vn+1)2=20,n>0, n+1=20, .n=19, 故答案为：19： 5/156 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)V1×3+1-√3×5+1+√5×7+1-√7×9+1+…+V17×19+1-V19×21+1 解：原式=2-4+6-8+…+18-20 =-2×5 =-10. 题型三复合二次根式/比较太小（共8小题） 10.(23-24八年级上湖南常德期末)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以 化成另一个式子的平方，如：5+2√6=(2+3)+22x3=(2)2+(5)2+2√2×√5=(N2+√5)2： 8+2V7=(1+7+21×7=1P+(7)2+2×1×√7=(1+√7)2： 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将4+25化成了1+)2，则x=，V4+2W万=； (2)请运用小明的方法化简V7-4√5； 【拓展提升】 （3)计算：V3-2√2+V5-2W6+√7-2W12+V9-2W20++V4049-2W2024×2025· 【详解】解：(1)4+25=(1+3)+2×1×V3=P+(3)2+2×1xV5=1+V3)2, x=3, √4+25=1+√5， 故答案为：3,1+√5； (2)√7-2√12 =V4+3)-2x√4x3 =V22+(W3)2-2×2x5 =V(2-V5)2 =2-5: (3)原式=√5-1+5-√2+√4-√5+√5-√4+…+√2025-V2024 =-1+√2025 6/156 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =-1+45 =44. 11.(23-24八年级下·江西赣州期中)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方， 如：3+22=1+2)，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b2=(m+nN2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+bN2=m2+2m2+2mn2. :a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b√2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的 方法探索并解决下列问题： ()当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n5,用含m、n的式子分别表示a、b,得a=, b=_; (2)试着把7+4√5化成一个完全平方式. (3)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：√a+b2. 【详解】(1)解：：a+b3=(m+n, a+b√3=m2+3n2+2V3mn, a=m2+3n2,b=2mn. 故答案为：m2+3n2,2mn. (2)解：7+4V5 =4+4V5+3 =2+43+(W3 =(2+5 (3)解：a是216的立方根，b是16的平方根， .a=6,b=±4， ·Va+V2b =V6±4V2 V4±4V2+2 7/156 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =22±42+(2)月 V2± -2±V2. 12.（23-24八年级上河南平顶山期中)我们以前学过完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，现在，又学 习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=(5,5=V5,下面我们观察： (V2-1°=(2°-2x1x2+12=2-22+1=3-22. 反之，3-22=2-22+1=(2-1， 3-22=(2-1, V3-22=√2-1： 仿上例，求： (1)W4-25: (2)计算：√3-2√2+V5-2√6+V7-2W12+…+V19-2W90; 1 (3)若a=2一则求a-2a+a+1的值. 【详解】(1)解：√4-25 =V5-25+1 =5- =5-1； (2)解：V3-22+V5-2W6+V7-2w12++V19-290 2-+-+4-+…+i而-例 =2-1+5-2+4-5+…+0-5 =10-1: (3)解：：a=2-1 =V2+1, a-1=√2， 8/156 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (a-12=2, .a2-2a+1=2, a2=2a+1, a3=2a2+a, .a3-2a2+a+1 =2a2+a-2a2+a+1 =2a+1 =2(2+1+1 =2√2+3。 13.(25-26八年级上江西抚州期中)课本再现：我们已经知道丽+33-3)=4，因此将后一3的分 8 子、分母同时乘“√3+3”，分母就变成了4，这就是分母有理化. 方法应用： (1化简： 4+√15 2 (2)若a=6-2,求a2-4a+3的值： 1 1 (③若a6-5=52比较a和6的大小 【详解】(1)解：4+5 1 4-15 =(4+54-i⑤ 4-V15 16-15 =4-V15: 2 (2)解：a=- =V6+2, 6-2 .a2-4a+3 =(a-2)2-1 =(6+2-2°-1 =5; 9/156 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √6+W5 √5+2 (3)解：a=6-56-56+ 有55,29方 、=5+2, :√6>2， :√6+5>2+5， .a>b. 14.(24-25八年级上·甘肃白银期中)阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母 有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 5-6.5-65+6 1 ,分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处 √7+√6 √7+V6 理一些二次根式的最值问题.例如：比较√万-√6和√6-√5的大小可以先将它们分子有理化如下： 万-6=万十66-5=65因为万+6>6+5，所以万-66-5.再知：求 y=√x+2-√x-2的最大值.做法如下： 4 解：由+220，-20可x22,而y=+2--2=次+2+N豆当x=2时，分母 √x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2. 解决下述问题： 1 (1)由材料可知， V3+V2: (2)比较√3-2和√2-√的大小： (3)式子y=√x+1-√x-1的最大值是 【详解】1)解：5-2-5-25+②1 √3+V2 +2' 故答案为：√5-√2， (2)解：依题意，(3-2×3+2)=13-12=1，(2-×2+=12-11=1 -反=厉+n-而=+ :3+2>2+i, 10/156 专题08 期中真题百练通关（100题12大易错压轴题型） 题型1 二次根式有意义条件（多限制易漏） 题型7 折叠 + 勾股（方程思想） 题型2 二次根式混合运算 题型8 矩形折叠（求线段 / 面积 / 角度） 题型3 复合二次根式 / 比较大小 题型9 菱形性质（60°/120°、对角线垂直） 题型4 勾股定理逆定理 题型10 动点存在性（平行四边形 / 等腰 / 直角） 题型5 勾股定理无图多解 题型11 最值问题（将军饮马、垂线段最短） 题型6 立体图形最短路径（展开图易错） 题型12 旋转综合（正方形 / 等腰 Rt△） 题型一 二次根式有意义条件（多限制易漏）（共5小题） 1．（24-25八年级下·河南周口·期中）代数式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D．且 4． （25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 5．（24-25八年级下·四川南充·期中）函数的自变量的取值范围为________． 题型二 二次根式混合运算（顺序、分配律、分母有理化）（共4小题） 6．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 7．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 8．（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 题型三 复合二次根式 / 比较大小（共8小题） 10．（23-24八年级上·湖南常德·期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 11．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____； (2)试着把化成一个完全平方式． (3)若是216的立方根，是16的平方根，试计算：． 12．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： (1)； (2)计算：； (3)若，则求的值． 13．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 14．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 16．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 17．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 题型四 勾股定理逆定理（共10小题） 18．（25-26八年级下·湖北·期中）的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 19．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 20．（25-26八年级上·全国·期中）小明跑步的路线如图，从A点到 D 点有两条路线，分别是 和．已知米，米，点C 在点 B 的正东方向120米处，点D 在点 C的正北方向 60米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)通过计算比较两条路线哪条更短．(参考数据： 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 23．（24-25八年级下·北京·期中）放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 24．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 25．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉，已知，米，米，米，米． (1)证明：； (2)一天傍晚，老林和老李以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 26．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 27．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知中，， (1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______； (2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系； (3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值． 题型五 勾股定理无图多解（共4小题） 28．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是1和2，则第三边长为____． 29．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 30．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是y轴上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为_____． 31．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，过点A分别向直线和直线做垂线，垂足分别为点E，点F．若，且的周长为，则等于______． 题型六 立体图形最短路径（展开图易错）（共8小题） 32．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 33．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为，盒子高为．在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点到顶点镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是____________． 34．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为________cm．（结果保留根号） 35．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是______米． 36．（25-26八年级上·四川达州·期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是__________ 37．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为____________． 38．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 39．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型七 折叠 + 勾股（方程思想）（共4小题） 40．（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为__________． 41．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为________． 42．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别在边上取点，将沿直线翻折得到，使得点的对应点恰好落在延长线上，当时，的长为______，当时，的长为______． 43．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 题型八 矩形折叠（求线段 / 面积 / 角度）（共11小题） 44．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 45．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 46．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 47．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，，则________． 48．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在边上，将纸片沿折叠，点A落在F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H．若，则的长为______． 49．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，，E是边的中点，P是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点B落在点F处．若点F在边上，则的长为______． 50．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点分别落在边、上的点处，分别交于点．若，，则的长为______． 51．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，将矩形纸片沿对折，使点落在上点处，再次沿对折，对折后点恰好与点重合．若四边形是菱形，，则__． 52．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点E处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 53．（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)如图1，连接，当点，落在上时，_____； (2)如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： (3)如图3，当落在线段上时，求的长． 54．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 题型九 菱形性质（60°/120°、对角线垂直）（共7小题） 55．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 56．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 57．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，，为等边三角形，点E，F分别在菱形的边，上滑动，且E，F不与B，C，D重合．则下列结论： ①； ②四边形的面积是； ③； ④当的面积为时，． 正确的有______．（写序号） 58．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形是平行四边形，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，点E为上一个动点，点T为上一个动点，连接、，且，，，求证：为等边三角形； (3)在（2）的条件下，当点T与点C重合时，过点E作，交延长线于点H，交于点F，交于点P，且，连接，求的面积． 59．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形是菱形，，点在边上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，点是中点，连接．求证：； (3)点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转的到线段，连接，，，若，，直接写出的面积． 60．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 61．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 题型十 动点存在性（平行四边形 / 等腰 / 直角）（共15小题） 62．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 63．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 64．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 65．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为平行四边形？ ③若为何值时，四边形为矩形？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为______时， 为直角三角形（直接写出答案）． 66．（23-24八年级下·重庆忠县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B为原点，有一个，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时．过点D作于点F，连接． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，为直角三角形？ 67．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 68．（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 69．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 70．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． (1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） (2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 71．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若两点同时出发． ①当t为何值时，四边形为平行四边形？ ②当t为何值时，？ (2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，为直角三角形． 72．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 73．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．    (1)求点的坐标； (2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标． 74．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作于点E，连接，． (1)______，______（用含t的代数式表示）； (2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 75．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①若t为何值时，四边形为平行四边形？ ②某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时，为直角三角形． 76．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 题型十一 最值问题（将军饮马、垂线段最短）（共9小题） 77．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 78．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 79．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 80．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为_____． 81．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长AC交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是________． 82．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为_______． 83．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 84．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 85．（24-25八年级下·四川成都·期中）在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘． (1)如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数． (2)在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：． (3)如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值． 题型十二 旋转综合（正方形 / 等腰 Rt△）（共4小题） 86．（24-25八年级下·四川成都·期中）在等腰中，，，将绕点转逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点） (1)如图，连接、，求证：． (2)如图，若，，绕点按逆时针方向旋转至得到的过程中，当时，连接，请求出的面积； (3)如图，若，；当与重合时，再将沿着直线平移，得到，连接，求的周长的最小值． 87．（24-25八年级下·山东济南·期中）在等腰中，，以C为底角顶点作等腰，使，连接，分别以、为邻边作平行四边形，连接． (1)如图1，当点E在边上（不与点A、C重合），且点D在外部时，判断中，与的数量关系为______，位置关系为______； (2)如图2，将图1中绕点C逆时针旋转，当点E落在线段上时，连接．求证：； (3)如图3，将绕点C继续逆时针旋转，当，且在的下方时，若，，求线段的长． 88．（24-25八年级下·广东深圳·期中）请依次完成以下三个问题： (1)如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长； (3)如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接 89．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点为的中点、点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作直线，垂足为点，直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)如图2，当点在线段上，且时，若，求线段的长； (3)当时，求的值． 90．如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 91．方程的解是______． 92．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 93．如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点是线段上的一点，且，则为________． 94．在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 95．如图，在中，以各边为边分别作三个等边，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形④；其中正确的有__________填序号 96．某数学兴趣小组在学完《四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第88页的折纸活动．其内容如下：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时得到了线段，把纸片展平．平平在第（2）步的基础上再次动手操作，将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．过H点作于点K，得出四边形．若四边形是一个以DH为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），则的值为______． 97．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 98．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）【教材回顾】 （1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与的数量关系为______ 【类比探究】 （2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形A”， 其他条件不变，当且时， ①证明； ②四边形的面积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【拓展应用】 （3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足，， ，， 花圃内铺设了一条小路，平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点恰好在的延长线上．直接写出入口到点 的距离的长______． 99．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 100．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图①，在矩形，，，点E在边上，且．动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（） (1)当点P和点B重合时，线段 _____ ； (2)当点Q和点D重合时，线段 _____； (3)当点P在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； (4)作点E关于直线的对称点F，连接，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $