专题01 期中真题百练通关（期中复习专项训练，25大题型：平面向量及其应用+三角恒等变换+复数）高一数学下学期湘教版

专题01 期中真题百练通关 题型1 向量的线性运算 题型14 解三角形中的最值与范围 题型2 向量的平行与共线 题型15 解三角形中的实际应用 题型3 平面向量的基本定理求参数 题型16 两角和差公式的化简求值 题型4 向量的共线定理及其推论 题型17 两角和差中的角的拼凑 题型5 由向量的线性运算求参数范围 题型18 二倍角公式的化简求值 题型6 基底法求向量的数量积 题型19 给值求值/给值求角 题型7 向量的数量积求夹角模长 题型20 辅助角公式及应用 题型8 求投影或投影向量 题型21 和差化积公式的应用 题型9 向量的数量积的坐标运算求夹角模长 题型22 复数的四则运算 题型10 与数量积有关的最值与范围 题型23 复数的模长与轨迹问题 题型11 正余弦定理求三角形的角或边长 题型24 复数的三角表示 题型12 正余弦定理判断三角形形状或解的个数 题型25 复数的综合计算 题型13 正余弦定理求周长或面积 题型一 向量的线性运算 1．(24-25高一下·海南海口中学·期中)若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 2．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以 ， 故选：A. 3．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·)已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 题型二 向量的平行与共线 4．(24-25高一下·四川凉山州西昌·期中)，则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断各个选项中的两个向量是否共线，即可得解. 【详解】对于A，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故A不符题意； 对于B，因为， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B符合题意； 对于C，， 设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故C不符题意； 对于D，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故D不符题意. 故选：B. 5．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知是两个不共线的向量，向量.若 ，则__________. 【答案】-2 【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为，所以设， 故，解得. 故答案为：-2 6．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 7．(24-25高一下·山东潍坊四县·期中)与向量方向相反的单位向量为_____． 【答案】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 题型三 平面向量的基本定理求参数 8．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 9．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 10．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质，由向量的线性运算，可得答案. 【详解】 由为的中点，则， 由，则， 由图可知，则， 可得，所以. 故选：C. 11．(24-25高一下·山东枣庄·期中)在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，由题知， 所以，则， 故选：D 题型四 向量的共线定理及其推论 12．(24-25高一下·云南部分学校·期中)若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 13．(24-25高一下·四川成都成都玉林中学·期中)如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据三点共线可设，且，结合题意可得，再利用乘“1”法运算求解即可. 【详解】由题意可知：三点共线，可设，且， 因为，即, 又因为，，，， 则，可得，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 14．(24-25高一下·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期中)如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则______． 【答案】3 【分析】利用重心性质可得，再根据三点共线利用共线定理可得,且，即. 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平面向量共线定理，再结合重心性质得出对应系数之间的关系，即可得出结果. 15．(23-24高一下·福建厦门厦门大学附属科技中学思明校区·期中)如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 题型五 由向量的线性运算求参数范围 16．(25-26高一上·辽宁大连第一中学·期中)在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    17．(24-25高一下·江苏南京第一中学·)如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 18．在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 19．(23-24高一下·江苏南京某校·期中)四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 题型六 基底法求向量的数量积 20．(25-26高一下·河南叶县高级中学、偃师高级中学等校·期中)如图，在平行四边形中，，，，，. (1)用向量，表示向量，； (2)求向量，夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用向量的加减法及数乘运算化简，再应用平面向量基本定理计算求解； （2）应用平面向量的数量积公式及运算律结合转化法求解模长，最后应用向量余弦公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以，     所以. 因为，所以，     则. （2）因为，所以. 因为，，所以，，， 则，     ， ， 故. 21．(25-26高一·江苏南京第一中学·)在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得. 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为，所以,所以为中点， 所以， 所以． 因为，， 所以， 又，所以． 在斜三角形中，，所以，则．所以A正确． 22．(25-26高一下·重庆江津区京师实验学校·期中)如图，在梯形ABCD中，，，，E为线段BC的中点，记，． (1)用，表示向量和； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算得到结果即可； （2）由向量的数量积定义和数量积的运算律求，，，进而可得夹角余弦值. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）由题意可知：，， 则，即， ，即， 且， 所以与夹角的余弦值为. 23．(25-26高一·湖北通山县第一中学等学校·)如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. (1)试用表示； (2)设，求的值； (3)若，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用线性运算，结合图形求解即可； （2）根据线性运算，结合共线定理的推论求解可得； （3）共线定理的推论，结合数量积的定义求解即可. 【详解】（1）， 又是边的中点，. （2）， 又因为是中点，所以， 三点共线，. （3）由（2）知， ， 设， ， 又三点共线，所以，， ， 又， 或（舍去）， 故. 题型七 向量的数量积求夹角模长 24．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入公式直接计算可得. 【详解】因为， 所以 故选：A. 25．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值. （2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）根据题意，当时，是夹角为的单位向量， 所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． （2）根据题意，因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 所以，且， 即，且， 所以且， 故的取值范围为． 26．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 27．(23-24高一下·四川泸州四校·)已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出的值，即可求得答案； （2）根据向量的模的计算公式结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 题型八 求投影或投影向量 1．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 2．(23-24高一下·四川泸州四校·)已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 3．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 4．(24-25高一下·福建泉州科技中学·)已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得四边形是等腰梯形即可由投影向量几何意义求解. 【详解】因为， 所以，所以四边形是等腰梯形， 所以向量在上的投影向量为 . 故选：D 题型九 向量的数量积的坐标运算求夹角模长 1．(25-26高一·湖北通山县第一中学等学校·)已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的求法，结合数量积公式、求模公式，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 2．设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量是 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A，由向量与的夹角为钝角，得，解得，A正确； 对于B，，当且仅当取到等号，B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，C错误； 对于D，由，得，解得，D正确. 3．【多选题】(25-26高一上·江苏启东中学创新班·期中)已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 4．【多选题】(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 题型十 与数量积有关的最值与范围 28．(25-26高一·湖北通山县第一中学等学校·期中)已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律有对任意实数恒成立，再由判别式符号及数量积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围. 【详解】由是单位向量，恒成立得， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则，又， 函数在上单调递减，因此， 所以向量的夹角的取值范围为. 29．在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 【答案】8 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把数量积转化为二次函数，再结合自变量的取值范围即可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，其中，所以， 所以， 因为二次函数的二次项系数， 所以其图象开口向上，对称轴为， 又因为，所以当时，取得最小值，， 即的最小值为8. 30．(25-26高一下·河北廊坊第七中学·期中)已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由条件结合向量共线定理证明三点共线，建立平面直角坐标系，求表达式，再求其最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 根据向量共线定理，三点共线， 设的中点为，以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为， 因此的最小值为. 31．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】借助正方形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求出的坐标，进而可得到的表达式，根据线段的方程及二次函数的性质可求其最值. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为分别为的中点，所以. 又为线段上的动点（含端点），故可设. 所以， 所以. 由知之间的关系为，所以， 将代入可得 ， 又，所以当时，取得最小值. 题型十一 正余弦定理求三角形的角或边长 32．(25-26高一·上海复旦大学附属中学·)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则边________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和为，可得角C，根据正弦定理，即可得答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理得，则，解得 33．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)在中，若，，，则________． 【答案】3 【详解】由余弦定理得：， 所以 34．已知的内角的对边分别为，且，则 ________. 【答案】 【详解】由正弦定理，可得. 35．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______. 【答案】 【分析】由正弦定理角化边，可得，进而利用余弦定理可求. 【详解】由，结合正弦定理可得，又， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故答案为：. 题型十二 正余弦定理判断三角形形状或解的个数 36．多选题(24-25高一下·云南昆明·期中)在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AD 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作 于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 37．【多选题】(24-25高一下·新疆生产建设兵团第二中学·期中)在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则 D．若，，，则只有一解 【答案】ABC 【分析】对A，利用三角形的性质和正弦定理，即可判断正误；对B，利用和的性质，可得，再用诱导公式，即可求解；对C，利用正弦定理边转角，得，再利用的性质，即可求解；对于D，利用三角形解的个数的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以A正确， 对于选项B，在锐角中，，因为在上单调递增， 所以，所以B正确， 对于C，因为，则， 即，又，则有，所以， 又在区间上单调递增，所以，则，所以C正确， 对于D，若，，，则， 因为，所以，则为锐角或钝角，即有两解，所以D错误． 故选：ABC． 38．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 【答案】AD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确． 故选：AD． 39．【多选题】(24-25高一下·广西玉林八校·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，则有一解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】BC 【分析】利用正弦定理即可判断A；利用余弦定理即可判断B；由三角形为锐角三角形可得，再根据诱导公式即可判断C；利用正弦定理化边为角，再根据二倍角的正弦公式即可判断D. 【详解】对A：由，所以有两解，故A错误； 对B：由余弦定理：， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以， 即，故C正确； 对D：因为，由正弦定理得：， 则，所以， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误． 故选：BC. 题型十三 正余弦定理求周长或面积 40．(25-26高一·上海复旦大学附属中学·)设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，且，则的面积为________． 【答案】 【分析】由正弦定理结合恒等变形可得，进而得出，再由余弦定理可得，代入相关数据可得，结合的面积公式即可求解． 【详解】， 由正弦定理得， 即， 即，， ，又，， 由余弦定理得， 即，解得， ． 41．(24-25高一下·山西部分重点中学·期中)如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且，，，则的面积为________. 【答案】 【分析】根据余弦定理和余弦定理以及两角差的正弦公式，解三角形，根据正弦面积公式求出面积即可. 【详解】 由且A，B为三角形的内角，， 可知为锐角，，， 如图作A关于O的对称点D，且D在线段上，连接， 则，即， 故，所以， 在中，，即， 在中，，即，所以. 综上，，， 则， ， 两式相减，得，即， 所以的面积. 42．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____. 【答案】4或8 【分析】根据条件判断角，以及三角形的形状，结合条件，即可求解. 【详解】由条件可知，，且，所以，， 所以是等腰直角三角形，或， 时，，得，此时的面积为； 时，，得，此时的面积为. 故答案为：4或8 43．(25-26高一上·北京第二十中学·期中)在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得； （2）先结合条件得出，，若，则代入解方程即可；若已知面积，则根据面积公式得出，再解方程组即可；若选③，先求出，再同①. 【详解】（1）在中利用余弦定理可得，， 因为，所以， 又，所以； （2）由，结合正弦定理可得，， 因为，所以， 选①：若，则，则（负值舍去），则， 故的周长为； 选②：，则， 则，则，得（负值舍去）， 故，，， 故的周长为； 选③：因为边上的高等于，所以， 因为，所以，则（负值舍去），则， 故的周长为； 题型十四 解三角形中的最值与范围 44．(24-25高一下·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最后依据三角形面积公式，计算的面积. （2）在中，用角表示；在中，结合角、的关系，用角表示，然后将转化为关于角的三角函数，根据角度范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，又，. 在中，已知，，，根据正弦定理可得， 即. （ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得 ，将数值代入可得， 即，解得或. 由图可知，在中，，则，，. 根据三角形面积公式可得， 的面积. （2）由（1）可知，，，又， 则在中， ，即； 在中，由正弦定理可得，即. 在中，因为，所以，即. 因此， . ，，，即. 故的取值范围为. 45．(24-25高一下·山东济南平阴县第一中学·期中)在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【详解】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以 ， 因为，即，所以， 即，， 所以. 46．(24-25高一下·浙江新力量联盟·期中)已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角函数求角即可； （2）（i）先根据正弦定理得出2R的值，把转化为含的三角函数式. 利用将化为，化简得到. 再根据锐角三角形条件确定范围，进而得到范围，求出范围，最后得出周长范围. （ii）当周长最大时三角形是等边三角形，建立直角坐标系确定、坐标，得出向量、，计算数量积，通过配方求最小值. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得：sinC 因为，所以，即 为锐角， （2）（i）由正弦定理得 所以 是锐角三角形， 即 所以周长的取值范围为. （ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可知，设， 则 所以， 当时，取最小值 所以的最小值是 47．(24-25高一下·河南南阳六校联盟体·期中)在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． (1)若，求实数的值． (2)已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）等边三角形 【分析】（1）根据平面向量的数量积的坐标表示及平方关系可得，可得，再结合余弦定理及题设求解即可； （2）（i）由余弦定理及基本不等式可得，再结合三角形的面积公式求解即可； （ii）由（i）可得，再结合即可判断的形状． 【详解】（1）因为是锐角，且，， 所以， 解得或（舍去），所以， 由余弦定理得， 又，则，结合， 所以． （2）（i）由（1）知，， 由余弦定理得， 即，得， 当且仅当时，等号成立， 则， 即面积的最大值为. （ii）由（i）可知， 取得最大值时，， 又，所以为等边三角形． 题型十五 解三角形中的实际应用 48．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 49．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点之间的距离为，则树的高度为_____m． 【答案】 【分析】在中，根据正弦定理求得，再利用直角三角形中边角关系求得树高． 【详解】在中，由正弦定理得：， 即，得， 又， 则 则树高． 故答案为：． 50．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米. 【答案】27.5/ 【分析】在中，利用正弦定理求出，在根据计算即可得出结果. 【详解】因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上， 所以，，所以. 由正弦定理可得：， 米，，. 所以米. 在中，，根据正切函数， 所以米. 故答案为：27.5 51．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 题型十六 两角和差公式的化简求值 52．(24-25高一下·广东茂名电白区·期中)式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【详解】. 故选：A 53．(24-25高一下·安徽六安第二中学河西校区·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得. 【详解】由，，得， 整理得，所以. 故选：B 54．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由、可得，根据同角的平方关系、商数关系和两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 则. 由， 得. 故选：C 55．(24-25高一下·四川成都第七中学·期中)（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，逆用和角的正切公式求解即得. 【详解】. 故选：B 题型十七 两角和差中的角的拼凑 56．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，，再由及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，均为锐角，则，又， 所以， 所以，， 所以 . 故选：C 57．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 所以， ， ， 故选：C 58．(23-24高一下·江苏苏州常熟·期中)已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案. 【详解】因为，，所以，所以，， 所以 . 故选：C 59．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合题意，正弦差角公式可得答案. 【详解】. 因，，则，又， 则，又. 则. 故选：B 题型十八 二倍角公式的化简求值 60．(25-26高三上·江苏扬州高邮·调研)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合两角和的余弦公式和同角三角函数的商数关系，可得，，然后结合两角差的余弦公式和倍角公式求解即可． 【详解】已知，， 则，， 即， 则， 所以 . 故选：B． 61．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知，，则（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得，再求． 【详解】∵，则 又∵，则 ∴，即， ∴ 故选：D． 62．(23-24高一下·江苏徐州铜山区·期中)设，，，则有（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换结合同角三角函数关系及三角函数值运算判断即可. 【详解】由题意可得：， ， ， 则可得， 所以. 故选：C. 题型十九 给值求值/给值求角 63．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 64．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 65．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期中)已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和商数关系弦化切，求得； （2）根据条件，利用同角三角函数基本关系求出，利用两角和的正切公式求出得解. 【详解】（1）由 即，解得， 因为，所以． （2）因为，且，所以， 所以， 所以， 又，，所以， 所以． 66．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知，且都是锐角，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和余弦公式求解即可. 【详解】因为，且都是锐角，则 所以， 则 则. 故选：D. 题型二十 辅助角公式及应用 67．【多选题】(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)计异下列合式的值， 结果为2的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， 则有， 所以 ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：C 68．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以 ． 故选:A． 69．(24-25高一下·福建泉州科技中学·期中)已知函数. (1)把化成的形式； (2)若，且，求的值. (3)在中，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数. （2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值. （3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【详解】（1） . （2）由（1）知，则， 由，得，则， 则 . （3）在中，，由，得， 则，解得，则， 于是， 由，得，则，即， 所以的取值范围为. 70．【多选题】(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，利用二倍角的余弦公式即可判断；对B，通分后利用辅助角公式和二倍角正弦公式即可判断；对C，利用二倍角的余弦公式即可判断；对D，通分后利用二倍角正弦公式和两角差的正弦公式即可判断. 【详解】对于A, ，A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ，C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：BC 题型二十一 和差化积公式的应用 71．(23-24高一下·广东广州真光中学·期中)在中，内角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)已知，点是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值: ②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图: 它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，， 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解； （2）①根据判断出，设，，在和中，由正弦定理得的表达式，从而由得解. ②假设存在实常数，由和差化积，积化和差化简整理得到：，故而,进而得解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为是直角三角形内角，故，， 则，所以， 即，又， 所以； （2）①因为，所以（否则时会推出）， 又，，所以，. 如图，设，，    则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有 成立， 则存在实常数，对于所有满足题意的， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的成立， 故有, 因为，从而，即， 因为为的内角，所以， 从而，. 【点睛】关键点点睛：选取题干中合适的和差化积积化和差公式，将条件转化成，类似关于的一元一次方程有无数解的条件是来处理. 72．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值. 【详解】， ， , ，（其中）， ， ，当时等号成立. 的最大值为. 故选：A 73．【多选题】(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期中)给出下列四个关系式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据两角和与差的正弦以及余弦公式，展开化简即可得出答案. 【详解】对于A项，因为，， 所以， 所以，故A项错误； 对于B项，因为，， 所以， 所以，故B项正确； 对于C项，因为，， 所以， 所以，故C项错误； 对于D项，因为，， 所以， 所以，故D项正确. 故选：BD. 74．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. (1)证明：； (2)若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算即可证明； （2）（I）根据正弦定理，由（1），利用三角恒等变换的化简计算可得，结合即可求解；（II）易知，则，作出图形，得函数的零点依次为，，，……，分别代入建立不等式，解之即可. 【详解】（1） ， 即证：； （2）（Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 由（1）得， 在中，知，且， 所以， 解得或. 若，在中，得； 若，在中，此式不成立， 所以，得，即， 由正弦定理，得，又，所以， 因为为非钝角三角形，，得， 由，，得， 所以，得，所以. （Ⅱ）依题意的最小值为，，∴ 在坐标系中大致作图如下；    因为在有且只有一个零点， 则有，，所以 又由图可知，函数的零点依次为，，，……， ①当唯一的零点是时，，解得； ②当唯一的零点是时，，解得； ③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去. 故的取值范围是或. 题型二十二 复数的四则运算 75．已知复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，所以其共轭复数. 76．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 77．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)若 是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 【答案】 【分析】将 代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因 是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 78．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)（1）已知，若为纯虚数，求的值； （2）已知复数满足，求． 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）利用复数运算法则、复数的定义求解； （2）利用复数运算法则求解． 【详解】（1）， ∵，为纯虚数， ∴，解得，∴的值为． （2）设，，则， ∵复数z满足，∴， ∴，解得，∴． 【点睛】本题考查复数的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型二十三 复数的模长与轨迹问题 79．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 80．【多选题】(24-25高一下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期中)已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】AB 【分析】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，利用模长公式得到B正确；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限，D错误. 【详解】对于A选项，，故虚部为-2，A正确； 对于B选项，|z|=，B正确； 对于C选项，z的共轭复数，C错误； 对于D选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，D错误； 故选：AB. 81．【多选题】(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期中)已知复数，则（    ） A． B．复数，则 C．复数在复平面内所对应的点位于第一象限 D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】CD 【分析】根据复数的概念和性质、四则运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，复数不能比大小，B错误； 对于C，复数在复平面内对应的点是，位于第一象限，C正确； 对于D，方程，其中， 方程的两根为，D正确. 故选：CD 82．(24-25高一下·浙江杭州上城区杭二东河·期中)复数满足，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据复数差的模的几何意义可得的最小值， 【详解】因为，故对应的点的轨迹为点和点为端点的线段中垂线， 故对应的点的轨迹方程为直线， 而，故对应的点的轨迹为圆，其圆心为，半径为， 两个轨迹曲线如图所示： 圆心到轨迹直线的距离为， 故圆上的动点到轨迹直线的距离的最小值为， 而的几何意义即为对应的点与对应的点的连线段的长度， 故其最小值即为， 故答案为： 题型二十四 复数的三角表示 83．(23-24高一下·内蒙古乌海第一中学·期中)欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 【答案】四 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 84．(24-25高一下·浙江杭州富阳区杭二富春·期中)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最大值为3. 【分析】（1）根据复数代数形式与三角形式的对应关系求解；（2）将等边三角形转化为绕顺时针方向旋转得到，利用复数的三角形式进行运算，然后得到点坐标，再求的最大值. 【详解】（1）由，且，，解得：， 所以的三角形式为：. （2）①当时，，整理得， 解得： ； ②设， 则当时， 因为存在实数，使得成立，所以， 因为，所以， 此时，符合题意， 所以点的轨迹方程为，即的轨迹是单位圆的一部分. 设，表示的复数为，表示的复数为， 因为，所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值. 【点睛】新定义问题，要准确理解定义，并将所求问题转换为新定义内容去解决. 85．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】依题意， ， 所以的实部为． 故答案为： 86．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 【答案】 【分析】由棣莫弗公式结合实部的概念即可求解. 【详解】由题意， 故所求为. 故答案为：. 题型二十五 复数的综合计算 87．【多选题】(24-25高一下·河北邢台卓越联盟·期中)已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义和向量夹角的计算等知识，分别对各选项进行计算分析判断. 【详解】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 88．【多选题】(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知复数，，则（    ） A．的共轭复数的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 【答案】ABC 【分析】利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可. 【详解】易知， 对于A，易知，其虚部为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点为位于第四象限， 故D错误. 故选：ABC 89．【多选题】(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 【答案】AD 【分析】由复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】由得， 则，，故A正确，B错误， 的实部和虚部之和为，故C错误， 对应的点为，位于第一象限，故D正确， 故选：AD 90．【多选题】(24-25高一下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 【答案】CD 【分析】由的值周期为4，可得A选项；由虚数不能比大小，可得B选项；设（为实数），可计算得C选项；由虚根成对和韦达定理可得D选项. 【详解】因为,所以 ，所以，故A错； 由于虚数不能比大小，所以B错； 设（为实数）则，故C对； 若是关于的方程的根，则也是关于的方程的根， 由根与系数的关系，，所以，故D对. 故选：CD .一、单选题 1．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】A 【分析】直接根据复数的概念及复数的四则运算可得. 【详解】因为复数，所以 ． 所以复数的虚部为0. 2．已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算. 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解. 【详解】因为， 解得或，又，则， 所以，则． 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 二、多选题 5．已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B．的虚部为-2 C． D．在复平面内，对应的点在第三象限 【答案】ACD 【详解】，，则A正确，B错误． ，，C正确． ，对应的点在第三象限，D正确． 6．（多选）已知，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先将两个已知等式平方后相加，利用三角恒等式消去单个角的三角函数，得到两角和的余弦值，再根据角的范围推导出两角和的正弦及正切，并判断各选项的正确性. 【详解】因为，， 两式平方后相加可得，即， 所以．故A错误． 因为，所以，又，故， 由于，故，又，所以．故D正确． ．故B正确． ，故．故C错误． 故选：BD． 7．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先根据向量模长公式和数量积公式分别计算各选项，对于恒成立问题利用三角恒等变换证明，对于不恒成立问题通过取特殊值举反例排除即可. 【详解】由题可知，，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，， 当时，，故B错误； 因为，，所以，故C正确； 因为，， 取，，则，，所以 ，故D错误． 故选：AC． 8．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 9．已知点P为所在平面内一点，满足，（其中）以下说法正确的有（    ） A．若直线PC过边AB的中点，则 B．当时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则，满足 【答案】ACD 【分析】根据中线的性质即可求解AB，根据等边三角形的性质可求解C，根据模长公式即可求解D. 【详解】对于A，设AB的中点为D，当直线PC过边AB的中点时，三点共线， ，即即，，选项A正确； 对于B，当时，,则，则由A知P在BC的中线AM上，且P为AM中点，则 ，即与的面积之比为1：1，选项B错误； 对于C，由于，则P为的外心，又，故P为的重心，故为等边三角形，则，由可得，故，选项C正确； 对于D，因为，且，由得 ，平方得，，选项D正确. 10．已知向量，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．向量在方向上的投影向量的坐标为 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误； 对于D， 由题意得，，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， 所以的取值范围是，故D正确. 11．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 12．下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【分析】A选项：根据相等向量的定义即可判断；B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线；C选项：与同向，则与反向，显然正确；D选项：如果，则无法得知与共线. 【详解】若与同向，但不一定与相等， ，若，则与同向， 且有=， 与同向是的必要不充分条件，故A正确. 若与共线，则有，故一定有三点在同一条直线上，故B正确. 若与同向，则与反向，故C正确. 当时，与不一定共线，故D错误. 故选：ABC 13．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 14．已知i是虚数单位，是关于x的方程（p，）的一个根，则_____． 【答案】 【详解】由题意可知，， 则，则， 故. 15．若，其中是虚数单位，且，设，则=______ 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以，解得，所以， 所以，. 16．已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 17．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 四、解答题 18．已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和公式即可求角，然后利用余弦定理求第三边； （2）利用正弦定理来边化角，借助三角函数性质来求周长的取值范围. 【详解】（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得： ，所以， 因为，，所以，则； 因为的面积为，所以，可得， 又由余弦定理可得 解得，所以周长为 （2）由正弦定理可得， 则，， 由， 因为为锐角三角形，则，，所以， 即，则， 故， 所以周长的取值范围为. 19．在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 【答案】(1) (2)选条件②或③，最长边上的高为． 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求； （2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高． 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得， 而为三角形内角，故，故，由辅助角公式化简得， 又，所以，即，得． （2）若选①，则，，由余弦定理可得， 整理得到：，故或， 因为此时三角形有两解都成立，所以不满足题意中三角形的唯一性，故舍去； 若选②，则，的周长为20， 故，由余弦定理得， 代入，可得， 则，此时最长边为，该边上的高为； 若选③，则，，由正弦定理得， 由余弦定理可得，得或(舍)， 此时最长边为，故该边上的高为； 20．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. (1)试用表示； (2)设，求的值； (3)若，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用线性运算，结合图形求解即可； （2）根据线性运算，结合共线定理的推论求解可得； （3）共线定理的推论，结合数量积的定义求解即可. 【详解】（1）， 又是边的中点，. （2）， 又因为是中点，所以， 三点共线，. （3）由（2）知， ， 设， ， 又三点共线，所以，， ， 又， 或（舍去）， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关 题型1 向量的线性运算 题型14 解三角形中的最值与范围 题型2 向量的平行与共线 题型15 解三角形中的实际应用 题型3 平面向量的基本定理求参数 题型16 两角和差公式的化简求值 题型4 向量的共线定理及其推论 题型17 两角和差中的角的拼凑 题型5 由向量的线性运算求参数范围 题型18 二倍角公式的化简求值 题型6 基底法求向量的数量积 题型19 给值求值/给值求角 题型7 向量的数量积求夹角模长 题型20 辅助角公式及应用 题型8 求投影或投影向量 题型21 和差化积公式的应用 题型9 向量的数量积的坐标运算求夹角模长 题型22 复数的四则运算 题型10 与数量积有关的最值与范围 题型23 复数的模长与轨迹问题 题型11 正余弦定理求三角形的角或边长 题型24 复数的三角表示 题型12 正余弦定理判断三角形形状或解的个数 题型25 复数的综合计算 题型13 正余弦定理求周长或面积 题型一 向量的线性运算 1．(24-25高一下·海南海口中学·期中)若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·)已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型二 向量的平行与共线 4．(24-25高一下·四川凉山州西昌·期中)，则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知是两个不共线的向量，向量.若 ，则__________. 6．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 7．(24-25高一下·山东潍坊四县·期中)与向量方向相反的单位向量为_____． 题型三 平面向量的基本定理求参数 8．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 9．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 10．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一下·山东枣庄·期中)在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型四 向量的共线定理及其推论 12．(24-25高一下·云南部分学校·期中)若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 13．(24-25高一下·四川成都成都玉林中学·期中)如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 14．(24-25高一下·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期中)如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则______． 15．(23-24高一下·福建厦门厦门大学附属科技中学思明校区·期中)如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 题型五 由向量的线性运算求参数范围 16．(25-26高一上·辽宁大连第一中学·期中)在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 17．(24-25高一下·江苏南京第一中学·)如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 18．在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 19．(23-24高一下·江苏南京某校·期中)四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 题型六 基底法求向量的数量积 20．(25-26高一下·河南叶县高级中学、偃师高级中学等校·期中)如图，在平行四边形中，，，，，. (1)用向量，表示向量，； (2)求向量，夹角的余弦值. 21．(25-26高一·江苏南京第一中学·)在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 22．(25-26高一下·重庆江津区京师实验学校·期中)如图，在梯形ABCD中，，，，E为线段BC的中点，记，． (1)用，表示向量和； (2)求与夹角的余弦值． 23．(25-26高一·湖北通山县第一中学等学校·)如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. (1)试用表示； (2)设，求的值； (3)若，求. 题型七 向量的数量积求夹角模长 24．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知，，，则为（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 26．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，且，，则___________ 27．(23-24高一下·四川泸州四校·)已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 题型八 求投影或投影向量 1．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 2．(23-24高一下·四川泸州四校·)已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 4．(24-25高一下·福建泉州科技中学·)已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 题型九 向量的数量积的坐标运算求夹角模长 1．(25-26高一·湖北通山县第一中学等学校·)已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 2．【多选题】设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量是 D．若，则 3．【多选题】(25-26高一上·江苏启东中学创新班·期中)已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 4．【多选题】(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 题型十 与数量积有关的最值与范围 28．(25-26高一·湖北通山县第一中学等学校·期中)已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 29．在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 30．(25-26高一下·河北廊坊第七中学·期中)已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 31．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 题型十一 正余弦定理求三角形的角或边长 32．(25-26高一·上海复旦大学附属中学·)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则边________． 33．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)在中，若，，，则________． 34．已知的内角的对边分别为，且，则 ________. 35．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______. 题型十二 正余弦定理判断三角形形状或解的个数 36．【多选题】(24-25高一下·云南昆明·期中)在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 37．【多选题】(24-25高一下·新疆生产建设兵团第二中学·期中)在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则 D．若，，，则只有一解 38．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 39．【多选题】(24-25高一下·广西玉林八校·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，则有一解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 题型十三 正余弦定理求周长或面积 40．(25-26高一·上海复旦大学附属中学·)设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，且，则的面积为________． 41．(24-25高一下·山西部分重点中学·期中)如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且，，，则的面积为________. 42．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____. 43．(25-26高一上·北京第二十中学·期中)在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型十四 解三角形中的最值与范围 44．(24-25高一下·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 45．(24-25高一下·山东济南平阴县第一中学·期中)在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 46．(24-25高一下·浙江新力量联盟·期中)已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 47．(24-25高一下·河南南阳六校联盟体·期中)在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． (1)若，求实数的值． (2)已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 题型十五 解三角形中的实际应用 48．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 49．(24-25高一下·重庆第十一中学·期中)如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点之间的距离为，则树的高度为_____m． 50．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期中)抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米. 51．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 题型十六 两角和差公式的化简求值 52．(24-25高一下·广东茂名电白区·期中)式子的值为（    ） A． B． C． D． 53．(24-25高一下·安徽六安第二中学河西校区·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D．1 54．已知，则（    ） A． B． C． D． 55．(24-25高一下·四川成都第七中学·期中)（   ） A． B． C． D． 题型十七 两角和差中的角的拼凑 56．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 57．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 58．(23-24高一下·江苏苏州常熟·期中)已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 59．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十八 二倍角公式的化简求值 60．(25-26高三上·江苏扬州高邮·调研)已知，，则（    ） A． B． C． D． 61．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知，，则（ ） A．1 B．-1 C． D． 62．(23-24高一下·江苏徐州铜山区·期中)设，，，则有（   ）. A． B． C． D． 题型十九 给值求值/给值求角 63．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 64．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知，，，，则的值为_____. 65．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期中)已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 66．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知，且都是锐角，则等于（    ） A． B．或 C． D． 题型二十 辅助角公式及应用 67．【多选题】(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)计异下列合式的值， 结果为2的是（      ） A． B． C． D． 68．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 69．(24-25高一下·福建泉州科技中学·期中)已知函数. (1)把化成的形式； (2)若，且，求的值. (3)在中，若，求的取值范围. 70．【多选题】(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 题型二十一 和差化积公式的应用 71．(23-24高一下·广东广州真光中学·期中)在中，内角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)已知，点是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值: ②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图: 它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 72．(24-25高一下·重庆第一中学校·期中)在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 73．【多选题】(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期中)给出下列四个关系式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 74．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. (1)证明：； (2)若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 题型二十二 复数的四则运算 75．已知复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 76．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 77．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)若 是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 78．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)（1）已知，若为纯虚数，求的值； （2）已知复数满足，求． 题型二十三 复数的模长与轨迹问题 79．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（   ） A． B．5 C． D． 80．【多选题】(24-25高一下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期中)已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 81．【多选题】(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期中)已知复数，则（    ） A． B．复数，则 C．复数在复平面内所对应的点位于第一象限 D．复数是方程在复数范围内的一个解 82．(24-25高一下·浙江杭州上城区杭二东河·期中)复数满足，则的最小值为________． 题型二十四 复数的三角表示 83．(23-24高一下·内蒙古乌海第一中学·期中)欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 84．(24-25高一下·浙江杭州富阳区杭二富春·期中)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 85．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 86．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 题型二十五 复数的综合计算 87．【多选题】(24-25高一下·河北邢台卓越联盟·期中)已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 88．【多选题】(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知复数，，则（    ） A．的共轭复数的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 89．【多选题】(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 90．【多选题】(24-25高一下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 .一、单选题 1．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 2．已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B．的虚部为-2 C． D．在复平面内，对应的点在第三象限 6．（多选）已知，且，，则（     ） A． B． C． D． 7．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（     ） A． B． C． D． 8．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 9．已知点P为所在平面内一点，满足，（其中）以下说法正确的有（    ） A．若直线PC过边AB的中点，则 B．当时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则，满足 10．已知向量，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．向量在方向上的投影向量的坐标为 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 11．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 12．下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 13．设，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 14．已知i是虚数单位，是关于x的方程（p，）的一个根，则_____． 15．若，其中是虚数单位，且，设，则=______ 16．已知，，，，则的值为_____________． 17．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 四、解答题 18．已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 19．在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 20．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. (1)试用表示； (2)设，求的值； (3)若，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $