吉林省吉林地区普通中学2025-2026学年度高中毕业调研测试三数学试题

( ★ 保密 · 启用前 ★ ) 吉林地区普通中学2025—2026学年度高中毕业年级第三次调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则 A． B． C． D． 3．等比数列中，，，则 A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（不含顶点），则 的周长为 A． B． C． D． 5．已知，是两条直线，，是两个平面，则 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知集合，集合，且，．记事件“函数 是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则 A． B． C． D． 7．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为 A． B． C．或 D．或 8．已知函数 对于正实数，定义集合， 且，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在的展开式中，则 A．展开式共有项 B．常数项是第项 C．各二项式系数的和为 D．各项系数的和为 10．在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点．用一个平面截圆 锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、 双曲线的一部分（截面垂直于平面），则 A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 11．设等差数列的前项和为，且，．设，数列 的前项和为，则 A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。 12．已知随机变量，若，则 ． 13．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ． 14．已知函数存在极值，则实数的取值范围是 ，若对，恒成立，则实数的最大值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知抛物线的焦点到直线的距离为. （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且 的面积为，求直线的方程． 16．（本小题满分15分） 已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，若函数有唯一零点，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分） 某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为，， ，的个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取个球，抽到 号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． （Ⅰ）设该公司部门有位员工参加该活动，用表示获得礼品的人数，求的 分布列和数学期望； （Ⅱ）该公司部门有位员工参加该活动，用表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求的值． 18．（本小题满分17分） 在平面四边形中，，. （Ⅰ）若. （ⅰ）若，，，四点共圆，求； （ⅱ）求四边形面积的最大值. （Ⅱ）若，，与交于点.记，求当为何值 时，. 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，点，在线段上， ，. （Ⅰ）求证: ； （Ⅱ）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （Ⅲ）若垂直且平分，是的中点，于点，且，求三棱锥外接球的表面积的最小值. 命题、校对：高三数学核心组 ( 高三数学试题 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $吉林地区普通高中2025一2026学年度高中毕业年级第三次调研测试 数学试题参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1 2 3 4 5 6 8 D C A B B D B D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分. 9 10 11 ABC AD ACD T10附加题：在圆锥PO中，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，M为母线PB上一点，且满足 PM=入PB(0<入<1).用一个平面截圆锥PO,下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经 过点A)、双曲线的一部分（截面垂直于平面PAB)及抛物线的一部分，则(AC) D D A B A0 A当入=时，圆的面积为 B,当入=了时，椭圆的长轴长为万 C,双曲线的离，心率e是定值25 D。抛物线的焦点到准线的距离为 -2 11.教学参考】 n为偶数， +元 选-）a.=2+3= +n+a+{ 为奇数. 高三数学试题答案 法二)b,.=saa】-ana,1-tang,÷T.=tana,-tana. cos a,cos a+ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个 空填对得3分。 6 12. 0.2 13 3或2 14. (-0，0)；-1 14.【教学参考】对x∈(0，oo),lnx+ac≤x2e-lnx-2x-1恒成立. (a+2)xsxe-2Imr-l,即a+2sXc-21nr-l对vxe0,to)恒成立 ()=xe*-2Int-1_c-2Inx-1 又.e*≥x+1,当且仅当x=0时取等号， .g(x) e2nr+:-2Ix-1≥2x+x+1-2r-1=1,当且仪当2lnx+x=0时取等号. .a+2≤1，.a≤-1，即实数4的最大值为-1. 四、解答题 15 答案】(I)y2=8x(4分)（Ⅱ）x-y-4=0或x+y-4=0(9分). 【解析】 卫+2 (1):℉（号，0）到直线x-y+2=0的距离4=2T 卫+2 2 =2W5,…2分 。卫=4，即抛物线C的标准方程为y2=8X。…4分 (Ⅱ)（法一）由题可知，直线斜率不为0，设直线1的方程为x=y+4,设M(x1,y1),N(x2,y2). 「x=y+4, 由 y2=8x, 消去x,得y2-8少-32=0，… …6分 .△=64t2+128>0,由韦达定理，得y1+y2=8t,y1y2=-32。…8分 50w=2×4×刘-乃=2√0+)P-4=16FP+2=163, 。t2=1,即t=t1,… …0……1 .直线1的方程为x-y-4=0或x+y-4=0. …13分 第1页（共5页） (法二)当直线1斜率不存在时，直线1的方程为x=4,不妨设M(4,4√2)，N(4,-4V2). 4x82162,不符题意，含去 当直线1斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x-4)(k≠0)，设M(x1,,)，N(x2,》2). 由 [y=k(x-4, y2=8x, 消去y,得k2x2-(8k2+8)x+16k2=0,…7分 .△=128k2+64>0,由韦达定理，得x1+x2= 8k2+8 k2,x2=16.…8分 m=号X4xk,-x=2x+P-4 .k2=1,即k=±1， …11分 即直线1的方程为x-y-4=0或x+y-4=0 综上所述，直线1的方程为x-y-4=0或x+y-4=0.… …13分 (注：利用其他方法求解面积正确均给分) 16 【答案】(1）3x-2y-1=0(6分：(I){t=0或t>6e29分). 【解析】 (I)当a=- 时=+2，则/=含+3x 2 3. 3 k=f'0=-3+3=3 …………3分 2 2 又f四=-22 13 +=1, 3 .曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=。(x-1),即3x-2y-1=0.…6分 (Ⅱ)当a=0时，g(x)= xie-t有唯一零点，则t=e 3 2 2 令My=3x xe*,则函数y=(x)的图象与直线y=t有唯一交点.…8分 2 =+2e-(+2e,令e)=0,解得x=0或=-2 高三数学试题答案 当x<-2或x>0时，'(x)>0；当-2<x<0时，(x)<0. 所以，(x)在(-oo,-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0，o)上单调递增.…10分 当x=2时，Mx)有极大值M-2)=x4xe2=6e, 3 当x=0时，(x)有极小值(0)=0.… 12分 当x<0时，(x)>0;当x>0时，(x)>0. 当x→-o时，(x)→0；当x>oo时，(x)→0o.…13分 ,当t=0或t>6e2时，函数y=(x)的图象与直线y=t有唯一交点， 即实数t的取值范围是{t=0或t>6e2} …15分 (注：结果不写成集合形式不扣分) 17. 【答案】(I)分布列见解析，E(X)=1(8分)；（Ⅱ)k=6(7分). 【解析】 (I)(法一）由题可知，每位员工参加活动获得礼品的概率为子，X~B4子， X的所有可能取值为0,1,2,3,4.… ……………门升 rx--得图-嘉-gx--c周-品 …6分 X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 4 81 27 27 3 1 P 256 64 128 64 256 E(X)=4×5=1. …………8分 4 第2页（共5页） (法二)由题可知，每位员工参加活动获得礼品的概率为子，X~B(4子， rx--c k=0,1,2,3,4. …6分 X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 81 27 27 3 P 1 256 64 128 64 256 1 E(X)=4×=1… 4 …8分 (注：①概率值未化简到最简形式不扣分；②二项分布仅计算，不列表不扣分) ()(法-）..=P(Y=n-1)=C0 4 4 =1,2,…,21.…9分 :a为数列{a子的最大项，则a≥a41' 3 21-1 …12分 20 20 ×3 即 (-1)!(21-):(k-2)!(22-): 20 ,×32 20 (k-1)!(21-k)！k:(20-k)H 解得21、 .25 sk 4 …14分 4 .k∈N*,k=6. …15分 楼-=n-=cg.-2219分 20 m:(20-m)！ —=21-m,m=12,…,20.…12分 cg .3 201 ）4 ×33m (m-1):(21-m)! 当1≤m≤5时，am+1>4m;当6≤m≤20时，m+1<m, 高三数学试题答案 即41<42<…<a6且a6>a>4g>…>u21, …14分 所以数列0}的最大项为46，k=6.…15分 (注：直接利用人教A版选择性必修三教材P82结论，无推导过程扣3分) 5W7 18. 【答案11)()AC=2(4分（i)46列i(1)8=2?分 解析】 (I）(i）∴.A,B,C,D四点共圆，∴。B+D=元.…1分 .cosB+C0sD=AB+BC2-AC2 AD'+DC2-AC2 2AB·BC 2AD.DC _2+22-AC+4+1-AC2_25-2AC 8 =0, 2×2×2 2×4×1 4C-235文4C>0,六AC=5y2 2 …4分 (i)(法-)在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCc0sB=8-8c0sB① 在△4DC中，AC2=AD2+DC2-2AD.DCc0sD=17-8cosD② 电@-②得，cosB-cosD=-8③ :S=Sc+Sx=号AB-BCB+分40-DCD=2血+2snD, 2 Si训B+si训D=④7分 由③2+④'得，2-2(cos BcosD-sin B sin D)= 81.S2 644 2-2c0s(B+D)=81+S2 ≤4， 644 ..Ss 5 4，当且仅当B+D=元时取等号. 四边形ABCD面积S的最大值为57 …10分 4 第3页（共5页） (法二) 2 n+n-(”82）n8）-882-@ -cOS- 24 ……7分 ©⑧得，m8P- 》2 9 2 ≤1 16 16 s 4， 当且仅当B+D=元时取等号：四边形ABCD面积S的最大值为5厅 …10分 4 (注：若使用和差化积（积化和差）公式，可参考人教A版必修一P238例2或2026高考试题分析答 题格式) B （I)在AMBD中，AB=2,AD=4,∠BAD=元 由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2AB.AD cos 3 =4+16-2×2×4×}=12 2 .BD=2V3,..BD2+AB2 =AD2,..AB I BD.... …12分 .∠BAD+∠BCD=元，A,B,C,D四点共圆. ∠AB0=∠0CD-,∠CD=∠CBD=9,B40=∠D0-号-8， 3 1oA.OD sin∠A0D 0A.0D=1 = 2SABOC 2x10B.OCsi LBOC 20B-OC20B.OC 2 OA OD 1 1 2siZBA0-im …15分 3 血仔小-m行-=是 高三数学试题答案 √2 …17分 12 (注：其他求面积方法求解正确均给分)》 19 【答案】(I）证明略4分)：（Ⅱ） 35分：（皿） 8π(8分). 9 【解析】 （I）证明：.PM=PC,WM=NC,.PW1AC, .平面PACI平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,PNC平面PAC, ,PNI平面ABC,又.ABC平面ABC,.PN L AB.…4分 (I)连接BN.BM=BC=2V2,N是MC中点，.BN L MC.且BN=2. 由（I)知，PN1平面ABC,BNc平面ABC,.PN L BN. p 又.PN⊥AC, .以N为原点，NB,NC,NP所在直线分别 A 为x，y,?轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2),B(2,0,0),M(0,-2,0),A(0,-4,0), BP=(-2,0,2),WMB=(2,2,0),AB=(2,4,0),… …6分 设平面PMB一个法向量为m=(x,y,z),则BP⊥m,MB1m. BP.m=-2x+2z=0, x=, x=-y, 取x=1,则z=1,y=-1,.m=(1,-1,1), MB.m=2x+2y=0, 同理，平面PAB的一个法向量为n=(2,-1,2),…8分 设平面PMB与平面PAB的夹角为B, 则cos日c0s<m>11m元-2+1+2_5y3 |mnV3x3-9, 即平面PMB与平面PAB的夹角余弦值为SV5 …9分 9 第4页（共5页） (I）PM=2PE=22,∴PE=.EF1PF,EF= 2,sin∠EPF=1 2 ·∠EPF为锐角，∠EPF= 6 在平面ABC内，过点N作NG⊥MC,以N为原点，NG,NC,NP所在直线分别为，y,z轴建 立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2),M(0,-2,0). 设B(x,y,0),PM=(0,-2,-2),PB=(x,y,-2), D 则cos<P亚，PB>-PM.PB 4-2y E 1PMPB12W2√x2+y'+42’ (4-2y)2=6(x2+y2+4),即3x2+(y+4)2=12, :y++女=L,又：AC垂直且平分BD, 12 4 六月，D点的税速方程为+号=1(-4y<25-4且-.…11分 ‘AC垂直且平分BD,,球心H在平面PAC内，又.球心H在线段PM的中垂面内， '.球心H在两平面的交线上，可设三棱锥P-MBD的外接球球心为H(0,t,一). 设外接球H的半径为R,则R2=(t+2)2+t2=x2+(y-)2+t2, 21=2+y-44-0件0+-4 3 y+2 y+2 y+2 8,(4<y<23-4组y2 (法一）设u=y+2，则u∈(-2,0)U(0,2W3-2). 当ue20时，红+君单调远减<4： 当ue(025-2)时，1u+看单调递减t>5-3… …15分 高三数学试题答案第 .∵R2=2t2+4t+4=2(t+1)2+2,(t<-4或t>V3-3), .当t=-1时，R2取最小值2， ∴，=4元R2≥4元×2=8元，即三棱锥P-MBD外接球H的表面积S的最小值为8元.…17分 送公-r444-20+42-(+222 设0-8+gj2.4r5-4= 0n-+-w4时]0- (y+2) 令H'(y)=0,解得y=-1, 当y变化时，H'(y)与H(y)变化如下表， y (-4,-2) (-2,-1) -1 (-1,23-4) H'(y) + 0 + H(y) 单调递增 单调递诚 2 单调递增 …15分 当y∈(-4，-2)时，H(y)>H(-4)=20,H(y)极小值H(-1)=2」 .20>2,.H(y)mn=H(-1)=2,即R2最小值为2， ·.S=4πR2≥4π×2=8π，即三棱锥P-MBD外接球H的表面积S的最小值为8元.…17分 (注：①球心H坐标可通过设H(a,b,C),解方程组求解；②未探索B的轨迹，仅分析H的坐标与球 半径的关系，得出正确结论结果扣3分) 5页（共5页）