精品解析：吉林东北师范大学附属中学2026届高三下学期5月学情自测数学试题

（数学）科试题 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义写出. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 3. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得， ，. 4. 已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出，根据第40百分位数定义可得答案. 【详解】由题意可得，解得， 将数据按升序排列可得， 因为为整数， 所以该组数据的第40百分位数为. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，则. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切和角公式求的值，利用三角恒等变换，将转化为关于的齐次式求解. 【详解】已知，且，代入得： ，  解方程：，整理得，即， 分子分母同除以，得：  ， 代入得 . 7. 已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为， 则圆锥、圆柱的侧面积分别为、， 则，得，则圆锥的体积为. 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的最小正周期为4 D. 在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性. 【详解】因为为偶函数，所以， 将 替换为，则有①， 因为为奇函数，所以， 将 替换为，则有， 再将 替换为，则有②， 将 替换为，则有③， 结合①③得④， 结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确； 因为，结合偶函数，将 替换为得， 则，即2为的周期，选项C错误， 对于D选项，如满足偶函数且周期为2， 但不满足在上单调递增. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若 ， ，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面垂直判定定理，结合立体几何线面、面面的位置关系判定. 【详解】根据面面垂直的判定定理，，，推出，正确. 已知，由线面平行的性质，可得内存在直线满足； 又，因此，结合面面垂直判定可得，正确. 已知，，由面面平行的性质，推出，正确. 若，，则与可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出，错误. 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象变换求得，根据周期公式判断A，求出函数的零点判断B，利用整体法结合正弦函数的性质判断C，利用代入检验法判断D. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得 ， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 11. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为时， C. 周长的最小值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量计算求得首项、公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得：  ① 由，得： ② 联立解得，，   . 13. 设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 14. 在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______． 【答案】90 【解析】 【分析】先确定每行的结构，再通过列的约束条件，建立方程求解符合条件的行数组合，最后结合排列组合计算总填法数. 【详解】第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行和第四行的数字唯一确定； 如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种填法，第四行由第三行完全确定； 第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同， 另外两个位置与第一行相反，此时第三行和第四行有2种填法，故总的填法数为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式、诱导公式变形可得； （2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 整理得，又，， 所以，所以， 故的面积为． 16. 袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回. （1）第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率； （2）第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为 ，求 的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）设出事件，根据条件概率以及全概率公式，可得答案； （2）根据离散性分布列的解题步骤，结合数学期望的计算，可得答案. 【小问1详解】 设｛第一次抽取红球｝，｛第二次抽取红球｝，｛第一次抽取黑球｝，｛第二次抽取黑球｝， 则，，，， 所以两次取出球的颜色相同的概率 . 【小问2详解】 由题意可得随机变量 的可能取值为， 当时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个黑球；第一次抽取一个黑球，第二次抽取一个黑球和一个红球， 则； 当时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取一个黑球和一个红球；第一次抽取一个黑球，第二次抽取两个红球， 则； 当时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个红球， 则； 可得 的分布列如下： 所以. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取AD中点M，连PM，CM，，，ABCM为平行四边形， 所以，因为，所以，又，所以， 又，平面PCM， 所以平面PCM，又平面PCM， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件线面垂直的判定定理可得平面PCM，进而即得； （2）取MC中点建系，用空间向量法求两法向量，通过法向量夹角计算公式算二面角余弦值，进而计算正弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取MC中点O，连PO，取AB中点N，连ON，因为，M为AD中点，所以，由(1)可知，所以， 又因为，所以，，， 因为平面PCM，所以，又因为平面 ，所以 平面 . 以O为坐标原点，建系如图， 则，，，， ，，， 设平面PAC的一个法向量为， 则， 令，则，，， 设平面PCD的一个法向量为， 则，令 ，则，， ， 设二面角的大小为，则 ， ， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若有唯一零点，求a的取值范围； （3）若，且，证明：． 【答案】（1）在上单调递增． （2）． （3）证明：因为，且，所以，， 令，则，所以，， ，， 所以， 要证，只需证，即证，即证， 即证， 由（1）知单调递增， 所以当时，， 所以． 【解析】 【分析】（1）由导函数的正负确定单调性； （2），设，然后按，，分类讨论确定的正负得的单调性，并确定零点个数后得出参数范围； （3）已知式变形为，令，则，把表 表示，得出，再用分析法证明不等式，分析后需引入新函数，利用导数证明. 【小问1详解】 由题意，定义域为，， 所以在上单调递增． 【小问2详解】 定义域为，， 设 ①若，则，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意； ②若，则，，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意； ③若，令，，， 当，，，单调递增， 当，，，单调递减， 当，，，单调递增． 又，，， ， 设，， ， 由（1）知在上是增函数， 时，，所以， 所以， 所以在单调递增， ， 即，由零点存在定理可知，使得，不合题意． 综上，． 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线的焦点为 ，直线与抛物线 交于点，且． （1）求抛物线E的方程； （2）过F作两条互相垂直的直线，，这两条直线与抛物线E分别交于点，和，，其中点，在第一象限． （ⅰ）设 ，分别为， 的中点，H为直线 与直线 的交点，求面积的最小值； （ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交 ， 于 ，两点，判断是否存在以为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）2； （ⅱ）不存在，理由：由题意可知， 又，，所以AC的直线方程可化为：， 又，故可得， 同理可得直线BD的方程为， 又，故， 又，所以可得， 可得，所以可得PQ的中点恒为F， 以PQ为直径的圆与y轴相切等价于， 若，则，所以， 又，所以，故， 整理可得，即， 因为，故，所以． 又，故可得． 代入方程可得，，， 故不存在以PQ为直径的圆与y轴相切． 【解析】 【分析】（1）根据，及抛物线定义求出点横坐标，把点代入抛物线求出参数 ． （2）（i）连接 ，，，取的中点 ，连接，，，由三角形中位线性质得，，转化的面积为四边形的面积，再结合抛物线焦点弦公式和均值不等式求最小值． （ii）先求出 ，的纵坐标，证明的中点恒为 ，再根据圆与 轴相切的条件列方程，由方程无解得不存在． 【小问1详解】 依题意，设，由抛物线的定义得，解得：， 因为在抛物线上，所以，所以， 解得：，故抛物线E的方程为． 【小问2详解】 抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，则，不妨设， ，，，， 由，消去x得， ，，． （ⅰ）连接 ，，，取的中点 ，连接，，， 又 ，分别为， 的中点，所以，， 所以，， 所以的面积， 故， 又，同理， 所以， 当且仅当 时，等号成立． 所以面积的最小值为2． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （数学）科试题 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 4. 已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的最小正周期为4 D. 在上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若 ， ，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 11. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为时， C. 周长的最小值是 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 13. 设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 14. 在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 16. 袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回. （1）第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率； （2）第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为，求的概率分布列及数学期望. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若有唯一零点，求a的取值范围； （3）若，且，证明：． 19. 已知抛物线的焦点为 ，直线与抛物线 交于点，且． （1）求抛物线E的方程； （2）过F作两条互相垂直的直线，，这两条直线与抛物线E分别交于点，和，，其中点，在第一象限． （ⅰ）设 ，分别为， 的中点，H为直线 与直线 的交点，求面积的最小值； （ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交 ， 于 ，两点，判断是否存在以为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $