精品解析：吉林省吉林市实验中学2025届高考考前冲刺数学试题

吉林市实验中学考前冲刺－高三数学 一、单选题 1. 已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质及充分条件和必要条件的定义可得结果. 【详解】由题意知，为等比数列， 当时，得，所以，故充分性成立； 当时，，解得， 又同号，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案. 【详解】，∴, , 故选：A. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出与的和、差、积，再利用立方差公式来计算的值． 【详解】已知，将等式两边同时平方可得． 根据完全平方公式展开得． 因为，所以，移项可得，则．  因为，且，所以与异号，又因为在上，所以．  ，由于，，则． 因为，，所以，那么．  根据立方差公式． 因为，，，所以．  的值为． 故选：C． 5. 过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ） A. B. C. 轴 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，,的直线方程，求出,进而求出，判断选项A,B,求出直线方程，表达出,判断选项C,再根据,求出的值，判断选项D. 【详解】设，,的直线方程， 因为线段的中点分别为, 所以， 根据中位线性质，则，， 由抛物线的定义可得，，，故A,B错误； 设直线方程：， 联立可得，，则， 故， 同理可得 又,则 故，故 则，故轴,故C正确； 由,则， 则，再由，故 则或（舍去），故 故，则，故D错误. 故选：C. 6. 如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱底面圆的半径为R，则，利用截面与底面成角求出，再求得，从而可得结果. 【详解】设圆柱底面圆的半径为R，则短轴长，所以， 圆柱的轴与一平面所成角为， 所以椭圆的长轴长为， 所以， 离心率为， 故选：D 7. 已知函数满足对且，则的值为（ ） A. 1012 B. 1012.5 C. 1013 D. 1013.5 【答案】B 【解析】 【分析】令，得，令，得，令，得，从而得到等差数列，然后可解. 【详解】令，得. 令，得. 令，得. 故是首项为，公差为的等差数列. 于是，. 故选：B. 8. 已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的最小正周期，可得出的值，然后利用三角函数图象变换可得出平移后所得函数的解析式，根据正切型函数的奇偶性可得出关于的等式，解出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 二、多选题 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 图象关于轴对称 B. 是的一个周期 C. 在上为增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，， 所以的一个周期是，故B正确； 对于C，令，当时，在上单调递减， 且， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递减函数，故C错误； 对于D，因为，令， 则，求导得， 由于，所以，单调递增. 当时，取得最大值； 当时，取得最小值. 因为，所以，即 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由推理得到，又由函数极值点定义，由得到代入化简即得． 【详解】对于A，当时，， 由，可得或，由，可得， 故函数在和上单调递增；在上单调递减． 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 若有三个零点，则，解得，故A正确； 对于B，当且时，， 因为，所以， 由A函数在上单调递减，故，故B正确； 对于C，因为 ，故C错误； 对于D，由求导得，， 依题意，，可得① 由，可得， 由于，化简得② 将①代入②式，可化简得：， 即，因，故得，即D正确． 故选：ABD． 11. 经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线经过的整数点个数为3个 C. 的取值范围均为 D. 若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，将已知点代入方程，可得；对于B，利用赋值法，分别令，，，以及，结合一元二次方程的判别式，可得正误；对于C，将看作是的一元二次方程，由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D，由基本不等式，结合圆的面积，可得正误. 【详解】对于A，将，代入方程，可得，故A错误； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或0或1；同理可得当时，或0或1； 当，，时，，即， 由，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12. 已知向量满足，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知抛物线焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标和圆心坐标，依题意可得，求得直线的斜率为可得其方程. 【详解】易知抛物线的焦点为， 将圆化为标准方程，圆心，半径，如下图所示： 若为的中点，结合圆的性质可知， 易知，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即. 故答案为： 14. 函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】切线平行得到，再结合切线方程得到点坐标，进而可求解. 【详解】 ， 因为， 所以，又， 所以， 所以切线方程： ， 切线方程： ， 将，代入，可得：， 又， 所以， 所以点坐标为 所以， 又， 所以， 故答案为： 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，，，. （1）求B； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，即可根据余弦定理求解得解， （2）根据三角形内角和以及诱导公式可得,即可利用余弦的和差角公式以及二倍角公式求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 化简可得，即， 由于所以， 故， ， 由于，故， 【小问2详解】 由，以及可得,, 16. 如图，是圆柱上底面圆周上三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据母线的性质可得平面，从而得，根据直径得，从而得平面，结合面面垂直的判断可得平面平面； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以． 因为为该圆柱的母线，所以平面，平面， 所以，又，平面． 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 设点在圆柱下底面的射影为，连接． 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以， 所以， ． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 由， 得与平面所成角的正弦值为． 17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ （2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 【答案】（1）列联表见解析，无差异 （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）完善列联表，提出零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【小问1详解】 列联表为： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 根据列联表中的数据，计算得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立， 故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异． 【小问2详解】 从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为， 所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人， 则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为， X的可能取值为、、、、，且， ，， ，， ， 所以的分布列为： （或）． 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. （1）求椭圆标准方程； （2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出方程组，求得，得到椭圆的标准方程； （2）设且，得到，代入的方程，联立方程组，求得和，结合，即可求得为定值. 【小问1详解】 解：由椭圆满足，且右焦点， 可得，解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：由题意知：椭圆的左、右焦点为， 设，且， 再设，其中， 则，可得， 整理得，同理可得， 则， 所以存在为定值，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林市实验中学考前冲刺－高三数学 一、单选题 1. 已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 3 若复数满足，则（ ） A B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ） A. B. C. 轴 D. 若，则 6. 如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对且，则值为（ ） A. 1012 B. 1012.5 C. 1013 D. 1013.5 8. 已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C D. 二、多选题 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 是的一个周期 C. 在上为增函数 D. 10. 已知函数，则下列结论正确是（） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点，且，其中，则 11. 经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线经过的整数点个数为3个 C. 的取值范围均为 D. 若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 三、填空题 12. 已知向量满足，，且，则________. 13. 已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为______. 14. 函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则________. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，，，. （1）求B； （2）求的值. 16. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ （2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$