精品解析：广东汕头市潮南区陈店湖西学校等校2025-2026学年八年级下学期4月数学科阶段学案（一）

八年级数学科阶段学案（一） 内容包括：第十九章——第二十章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次根式中，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 3. 若一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边的长为（ ） A. 5 B. C. 1或7 D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】题干明确给出两条边长为直角边，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：∵该三角形是直角三角形，且两条直角边长分别为和， 设斜边长为，根据勾股定理可得， ∵三角形边长为正数， ∴， 即斜边长为． 4. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 5. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，， D. 0.3，0.4，0.5 【答案】C 【解析】 【分析】只需验证每组中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、，故能构成直角三角形，不符合题意； B、，故能构成直角三角形，不符合题意； C、该组三边长为 ，，，且，，则，故不能构成直角三角形，符合题意； D、，故能构成直角三角形，不符合题意． 6. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=－1即可解决问题． 【详解】解：在Rt△AOB中，AB=， ∴AB=AC=， ∴OC=AC－OA=－1， ∴点C表示的数为1－． 故选C． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是由勾股定理求出的线段长再算出数轴上点表示的数． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，加法，算术平方根性质和除法运算法则，分别计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法合并，，故B错误，不符合题意； C、 故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 8. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、海伦 - 秦九韶公式的应用，熟练掌握海伦 - 秦九韶公式中半周长的计算及面积公式的代入运算是解题的关键．先依据三角形三边长度，利用公式算出半周长，再把以及三边与的差值代入海伦 - 秦九韶公式计算面积 ． 【详解】解： ∵ ，，， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 故选：A ． 9. 一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）． A. 13 B. 15 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 即小虫爬的最短路径长为． 10. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，立方根，绝对值的性质等知识，解题的关键是正确判定符号和熟练运用各种性质进行计算． 根据实数，在数轴上对应的点的位置，得出，且，， ，再根据算术平方根，立方根，绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可得：，且， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是__． 【答案】3 【解析】 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴n的最小值是3. 故答案是：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中找出点，构造直角三角形，根据坐标系中点到坐标轴的距离求出直角边的长，利用勾股定理求出的长，即为到原点的距离．本题主要考查了勾股定理及坐标与图形的性质，灵活运用勾股定理是解本题的关键． 【详解】解：连接，过作轴， ∵， ∴， 在中， 根据勾股定理得：， 则点到原点的距离为． 故答案为：． 14. 有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 【答案】 【解析】 【分析】设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接，可证明，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ 在中，由勾股定理得： ， ∴小鸟至少飞行． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将每个二次根式化成最简二次根式后再根据二次根式的加减计算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，进行二次根式的加减，一定要将每个二次根式都化成最简二次根式后再合并同类二次根式，这是解决此类问题的关键． 17. 如图，在中，，点在上，连接，已知，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ． ． ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【小问1详解】 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． 【小问2详解】 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 20. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 21. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】（1）“远方”号沿东南方向航行 （2）25海里 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． 【小问2详解】 解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． （1）求a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值： ②若为直角三角形，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）①由勾股定理可得，由题意可得，表示出，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得出结果．②分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴， 由题意可得：， ∴，， 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（舍去）； 综上所述，或． ②当为直角三角形时，分2种情况： 当点和点重合时，，满足题意，此时； 当时，由①可知：，，， ∴， ∴，解得； 综上所述：或． 23. 阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： （1）分母有理化：___________； （2）化简“理想二次根式”：___________； （3）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； （4）计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）3； （4）2025． 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、理想二次根式的化简及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法和理想二次根式的化简技巧，利用平方差公式和完全平方公式进行化简． （1）中分子分母同乘，利用平方差公式去分母中的根号； （2）中将拆成，凑成完全平方; （3）中先对分母有理化得，对中根号内化简为理想二次根式得，再相加； （4）中每个分式分母有理化后，中间项相互抵消，只剩首尾两项，再利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． ． 【小问4详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学科阶段学案（一） 内容包括：第十九章——第二十章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次根式中，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边的长为（ ） A. 5 B. C. 1或7 D. 5或 4. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，， D. 0.3，0.4，0.5 6. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）． A. 13 B. 15 C. D. 18 10. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题） 11. 计算：________． 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是__． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 14. 有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 计算： 17. 如图，在中，，点在上，连接，已知，求的长． 18. 计算：． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 20. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 21. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． （1）求a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值： ②若为直角三角形，直接写出t的值． 23. 阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： （1）分母有理化：___________； （2）化简“理想二次根式”：___________； （3）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； （4）计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $