精品解析：广东省汕头市潮南区陈店实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024~2025学年度第二学期 八年级数学科练习卷（二） （内容：17.1~17.2） 一、选择题 1. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ） A 13 B. C. 或13 D. 11 2. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，若，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 20 D. 25 4. 如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形面积和为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 7. 将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 9. 已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（ ） A 5 B. C. D. 10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 二、填空题． 11. 已知直角三角形的两条直角边长分别为2和3，则第三边长为_____． 12. 已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为_____度． 13. 淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要_____米． 14. 如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为________． 15. 如图，在直角中，，，，绕点A摆动到的位置，取的中点E，连接、、，求绕点A摆动的过程中，的最小值为_______． 三、解答题（一） 16. 已知：如图，，垂足为．，，．求证：是直角三角形． 17. 观察下面图形，每个小正方形的边长为1． （1）图中阴影正方形的面积是______，边长是______； （2）请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 已知满足． （1）求的值； （2）请判断以为边的三角形的形状． 四、解答题（二） 19. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在A地的北偏东方向，求，两地的距离． 20. 在中，．回答下列问题： （1）由勾股定理，易知______； （2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长． 21. 如图，在中，，是的角平分线，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求周长． 五、解答题（三） 22. 如图在中，为锐角，作交的延长线于点D． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）已知， ，求的值． 23. 两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． （1）将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期 八年级数学科练习卷（二） （内容：17.1~17.2） 一、选择题 1. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ） A. 13 B. C. 或13 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数，解题的关键是明确勾股数是整数．根据勾股数的定义，需满足（其中c为斜边），且均为正整数。题目中给出为勾股数，需分情况讨论a的位置（直角边或斜边）． 【详解】解：分类讨论： ， 是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 2. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，，能判定为直角三角形； B．时，，不能判定为直角三角形； C．，，能判定为直角三角形； D．，则，能判定为直角三角形； 故选B． 3. 在中，，若，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，由勾股定理可得，进而即可求解，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∴， 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，点，，则的长为（ ） A B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由两点间的距离公式可得出答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，熟记两点间的距离公式是解题的关键． 6. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 7. 将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，如图所示，此时，， ∴最短为； 如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为， 故的取值范围是， 故选：D． 8. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 设， ， ， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， 则，， ， ， 故选：B． 9. 已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形、三角形外角和、含角直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识；过点B作，交延长线于点E，根据三角形外角和等腰直角三角形的性质，得，再根据含角直角三角形、勾股定理的性质列方程计算得，再通过勾股定理计算即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，交延长线于点E， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 设 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先求出，，作交的延长线于，得出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴（负值舍去，不符合题意）， ∵， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 如图：作交的延长线于， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题． 11. 已知直角三角形的两条直角边长分别为2和3，则第三边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为2和3， ∴第三边长为， 故答案为：． 12. 已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度， 故答案为：30． 13. 淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 14. 如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，过点A作于点H，先根据，，，利用勾股定理求出，再根据，得到是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在直角中，，，，绕点A摆动到的位置，取的中点E，连接、、，求绕点A摆动的过程中，的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系的应用，连接，取的中点F，连接，，证明，即可得到，然后根据，得到最小值为长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，取的中点F，连接，， ∵绕点A摆动到的位置， ∴， ∴， 又∵，是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为，即最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一） 16. 已知：如图，，垂足为．，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，求出，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】证明：， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ． ， ． 是直角三角形． 17. 观察下面图形，每个小正方形的边长为1． （1）图中阴影正方形的面积是______，边长是______； （2）请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）13； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，割补法求网格中图形面积，勾股定理与无理数，尺规作图等知识；掌握这些知识是关键； （1）用大正方形面积减去四个面积相等的小三角形即可求解；利用算术平方根即可求得正方形的边长； （2）构造两直角边分别为2与3的直角，由勾股定理得斜边，再在数轴上以O为圆心，为半径，在数轴上原点右边截取线段即可． 【小问1详解】 解：阴影正方形的面积为； 阴影正方形的边长为：； 故答案为：13；； 【小问2详解】 解：如图，点表示的数为． 18. 已知满足． （1）求的值； （2）请判断以为边的三角形的形状． 【答案】（1），，； （2）直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是∶ （1）根据完全平方公式，以及非负数的性质求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得：，，； 【小问2详解】 解∶ ， ， ∴以为边三角形是直角三角形． 四、解答题（二） 19. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在A地的北偏东方向，求，两地的距离． 【答案】（千米） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含角的直角三角形的计算，方位角的表示，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．首先过点沿东西方向作直线交于点，过点作于，可得、，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知千米，在中利用勾股定理求出的长度，在中再次运用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图所示，过点沿东西方向作直线交于点，过点作于， 由题意得，， ， 点在点北偏西方向， 点在点东偏南方向， ， ， ， ， ，， (千米)，， ， ． 20. 在中，．回答下列问题： （1）由勾股定理，易知______； （2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质； （1）由勾股定理可得出答案； （2）由作图可知，平分，过点作于点，则，再利用的面积求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：由作图可知，平分， 过点作于点， ， ∵， ∴， ∴， 解得． 21. 如图，在中，，是的角平分线，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明即可； （2）结合（1）求出，根据勾股定理求出，再根据三角形周长定义求解即可． 【小问1详解】 证明：连结． ，是的角平分线， 垂直平分， 点E在上， ， 的垂直平分线交于点E， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ， ， 设， 在中，， ， ， 即， 的周长为： 五、解答题（三） 22. 如图在中，为锐角，作交的延长线于点D． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）已知， ，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可． 小问1详解】 解： ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 图下图，过C作于E， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵ ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 23. 两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． （1）将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 由图所示，，则由平移的性质可得到图中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $