精品解析：2023年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）

2023年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试） 一、填空题。（每空5分，共60分） 1. 计算：29＋42＋87＋55＋94＋31＋68＋76＋13＝（ ）。 【答案】495 【解析】 【分析】我们先观察这9个数，发现这些数的个位数字1和9，2和8，3和7，4和6有特点：能凑成整十。进而我们凑出整百，组合在一起，所以我们可以用加法交换律和结合律来简便计算。 【详解】29 ＋ 42 ＋ 87 ＋ 55 ＋ 94 ＋ 31 ＋ 68 ＋ 76 ＋ 13 ＝（29 ＋ 31） ＋ （42 ＋ 68） ＋ （87 ＋ 13） ＋ （94 ＋ 76） ＋ 55 ＝60 ＋ 110 ＋ 100 ＋ 170 ＋ 55 ＝（60 ＋ 110） ＋ （100 ＋ 170） ＋ 55 ＝170 ＋ 270 ＋ 55 ＝440 ＋ 55 ＝495 【点睛】凑十法，凑百法，加法交换律和结合律 2. 21个篮子，每个篮子中有48个鸡蛋，现在将这些鸡蛋装到一些盒子中，每个盒子装28个鸡蛋，可以装（ ）盒。 【答案】36 【解析】 【分析】知道篮子的个数和每个篮子中鸡蛋个数，用乘法算出鸡蛋总个数；再把这些鸡蛋平均装到一些盒子中，知道每个盒子中鸡蛋个数，用除法算出盒子数量。 【详解】21×48÷28 ＝1008÷28 ＝36（盒） 因此可以装36盒。 【点睛】本题重点考查学生在归一归总类习题中能否熟练掌握一些数量关系及能否正确判断用乘法或除法解决此类问题的能力。 3. 190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是（ ）。 【答案】28 【解析】 【分析】连续10个偶数是公差为2的一个等差数列，最大数和最小数相差2×（10－1）＝18，设最小的数为x，则最大的数为（x＋18），已知10个连续偶数的和，根据等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2，把对应量代入公式解方程即可求解。 【详解】（10－1）×2＝18 设10个连续偶数中最小的数为x，则最大数为（x＋18） ［x＋（x＋18）］×10÷2＝190 ［2x＋18］×10÷2＝190 2x＋18＝190×2÷10 2x＋18＝38 2x＝20 x＝10 10＋18＝28 其中最大的偶数为28 【点睛】本题重点考查等差数列求和的应用，通过项数找到最大值与最小值的关系，结合方程思想求解。 4. 当小红3岁时，妈妈的年龄和小红今年的年龄相同；当妈妈78岁时，小红的年龄和妈妈今年的年龄相同。妈妈今年（ ）岁。 【答案】53 【解析】 【分析】妈妈和小红的年龄差不变，当小红3岁时，妈妈的年龄和小红今年的年龄相同，说明从今年算起，妈妈和小红同时减少一个年龄差，小红就3岁；当妈妈78岁时，小红的年龄和妈妈今年的年龄相同，说明从今年算起，妈妈和小红同时增加一个年龄差，妈妈78岁，所以妈妈这78岁中，包含了三个年龄差和3岁，据此解答。 【详解】 画出年龄轴观察，小红和妈妈的年龄差保持不变； 年龄差为：（78－3）÷3＝25（岁）； 小红今年：3＋25＝28（岁）； 所以妈妈的年龄为：28＋25＝53（岁）； 当小红3岁时，妈妈的年龄和小红今年的年龄相同；当妈妈78岁时，小红的年龄和妈妈今年的年龄相同。妈妈今年53岁。 【点睛】本题的核心在于妈妈和小红的年龄差不变，解题时可以借助时间轴直观表示年龄变化，避免思路混乱。 5. 从1、2、3、4、…、30这30个数中任意取10个连续的数，其中恰有2个质数的情况有（ ）种。 【答案】4 【解析】 【分析】30以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，找出各段间距，任意取10个连续的数恰有两个质数的情况是18~27，19~28，20~29，21~30共4种。 【详解】四种情况，18到27中有19和23两个质数； 19到28中有19和23两个质数； 20到29中有23和29两个质数； 21到30中有23和29两个质数。 因此其中恰有2个质数的情况有4种。 6. 将面积为36的正方形按如图的方式分成4个周长相等的长方形，取图中阴影长方形的面积为（ ）。 【答案】10 【解析】 【分析】面积为36的正方形的边长为6，由图可知，下面三个长方形的长是相等的，由于周长相等，则宽也相等，3个宽的长度是6，平均每个宽的长度是2； 设上边长方形的宽是a，即下边的长是（6－a），根据周长相等分别得出上边长方形的周长和下面一个长方形的周长，列出方程得出a，就可以得出下边长方形的长，最后根据长方形的面积＝长×宽得出面积即可。 【详解】36＝6×6，下面小长方形的宽：6÷3＝2 设上边长方形的宽是a，即下边的长是（6－a）。 2（6−a）＋2×2＝6＋6＋2a 12−2a＋4＝12＋2a 4a＝4 a＝1 阴影部分的面积是：2×（6－1） ＝2×5 ＝10 则图中阴影长方形的面积为10 7. 如图的“蝙蝠”图案由若干个等腰直角三角形和正方形组成，已知阴影部分的面积为1，则“蝙蝠”图案的面积是（ ）。 【答案】27 【解析】 【分析】可以将每个区域的面积标出，再相加即可。 其中“蝙蝠”的两个翅膀上每一个正方形都是阴影三角形的2倍，即每个正方形的面积是2； 最下面的正方形的面积是4个小三角形的面积。 【详解】1×2＝2 1×4＝4 2×4×2＋3＋4＋4 ＝16＋11 ＝27 则“蝙蝠”图案的面积是27。 8. 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是315米，慢车的车长是300米。坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是21秒，那么坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是（ ）秒。 【答案】20 【解析】 【分析】坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是21秒：即为人与快车的相遇问题，人此时具有慢车的速度，相遇路程为快车的车长315米，相遇时间为21秒，即人与慢车的速度和即为快车与慢车的速度和为：315÷21＝15（米/秒）；那么坐在快车上的人看见慢车驶过的时间，即为人与慢车的相遇问题，人此时具有快车的速度，相遇路程为慢车的车长300米，由于两车为相向而行，所以坐在车上的人看到车通过的速度为两车的速度和．用快车车长除以快车与慢车的速度和即可。 【详解】快车与慢车的速度和：315÷21＝15（米/秒）； 坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是：300÷15＝20（秒）； 因此坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是20秒； 【点睛】本题主要考查相对运动在行程问题中的运用，关键在于理解坐在某车上的人看到另一列车驶过时，两车的相对速度就是它们的速度和，与具体的人坐在哪一辆车无关。 9. 有4个互不相等的自然数，它们的平均数是10。其中最大的数至少是（ ）。 【答案】12 【解析】 【分析】根据总数＝平均数×4得出4个自然数的总数。找出最大的数至少是多少，则这四个数要尽可能的接近，10为中间两个数的平均数，这两个数分别多1或者少1；其他两个数分别多2和少2。 【详解】10－1＝9 10＋1＝11 10＋2＝12 10－2＝8 则最大的数至少是12。 10. 如图中共有三角形（ ）个。 【答案】30 【解析】 【分析】根据计数方法，我们可以用分层分类和对称的方法来数三角形，先数单个的三角形有多少个，再数组合形成的三角形有多少个，最后再求和即可确定共有多少个三角形。 【详解】如图： 因为这是一个对称图形， 所以以最中间的这条竖线为对称轴分为左右两侧： 第一步，我们先数一数左边一侧： 由1个小三角形组成的三角形： 图中最基础的小三角形有5个，分别是标号为①、②、③、④、⑦。 由2个图形组成的三角形： 可以数出4个，分别是标号为①＋②、②＋③、④＋⑤、⑦＋⑥。 由4个图形组成的三角形： 可以数出3个，分别是标号为④＋⑤＋③＋⑥、⑦＋⑥＋⑤＋①、④＋⑤＋⑥＋⑦。 以最中间的这条横线为对称轴分为上下两侧： 第二步，我们再数一数上边一侧： 由2个图形组成的三角形： 可以数出1个，标号为④＋⑧。 由4个图形组成的三角形： 可以数出1个，分别是标号为④＋⑧＋⑤＋⑨。 由8个图形组成的三角形： 可以数出1个，标号为④＋⑧＋⑤＋⑨＋③＋⑥＋⑩＋⑪。   把这些数量相加5＋4＋3＋1＋1＋1＝15（个）。 那么根据对称，右边一侧与左边一侧相同，下边一侧与上边一侧相同，所以总共为15＋15＝30（个） 【点睛】用分层分类和对称的方法来数三角形个数。 11. 两个数的和是830，其中较大的数除以较小的数，得商22余2，则这两个数中较大的一个是（ ）。 【答案】794 【解析】 【分析】较大的数除以较小的数，得商22余2，根据被除数＝商×除数＋余数，把较小数设为x，则较大数为（22x＋2），已知两个数的和为830，可列方程x＋（22x＋2）＝830解答。 【详解】设较小数为x，则较大数为（22x＋2）。 x＋（22x＋2）＝830 23x＋2＝830 23x＝828 x＝36 较大数：22×36＋2＝794 这两个数中较大的一个是794。 【点睛】本题重点考查学生列方程解应用题的能力。找到被除数和除数的关系，能用其中一个表示另一个，结合等量关系式构造方程求解。 12. 有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是（ ）。 ○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○… 【答案】1342 【解析】 【分析】观察后可以发现每9个棋子是一个循环，用2014除以9，用得到的商乘以一个循环中黑棋子的个数，再根据余数的情况判断最后需加上几个黑棋子即可。 【详解】2014÷9＝223（组）……7（个）， 即循环了223次后，还剩7个，里面有四个黑棋子； 223×6＋4 ＝1338＋4 ＝1342（个） 有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是1342。 【点睛】本题主要考查周期规律与带余除法的应用，答此类问题的关键是找出每几个数或每几个图形是一个循环。 二、解答题。（每题15分，共60分。）每题都要写出推算过程。 13. 如果数A增加2，则它与数B的积比A、B的积大60；如果数A不变，数B减少3，则它们的积比A、B的积小24，那么，如果数A增加2，数B减少3，则它们的积比A、B的积大多少？ 【答案】30 【解析】 【分析】原来两个数的乘积为A×B＝AB，当A增加2与B相乘结果为（A＋2）×B＝AB＋2B，比原来积多了2B，多了60，则2B＝60；当A不变，数B减少3相乘结果为A×（B－3）＝AB－3A，比原来的积小了3A，小了24，则3A＝24；如果A增加2，B减少3相乘结果为（A＋2）×（B－3）＝AB＋2B－3A－2×3，比原来的积多了2B－3A－2×3＝60－24－6＝30。 【详解】（A＋2）×B－AB ＝AB＋2B－AB ＝2B 因此B为：60÷2＝30； AB －A×（B－3） ＝AB－（AB－3A） ＝AB－AB＋3A ＝3A 因此A为：24÷3＝8； （A＋2）×（B－3）－AB ＝ （8＋2）×（30－3）－8×30 ＝10×27－240 ＝270－240 ＝30 答：如果A增加2，B减少3，它们的积比A、B的积大30。 【点睛】本题重点考查学生用乘法分配律解决含字母乘法的计算能力，找到一个因数变化时积的变化与另一个因数之间的关系，推理求解。 14. 水果店用三种水果搭配果篮，每个果篮里有2个哈密瓜，4个火龙果，10个猕猴桃，店里现有的火龙果的数量比哈密瓜的3倍多10个，猕猴桃的数量是火龙果的2倍，当用完所有的哈密瓜后，还剩130个火龙果。问： （1）水果店原有多少个火龙果？ （2）用完所有的哈密瓜后，还剩多少个猕猴桃？ 【答案】（1）370个 （2）140个 【解析】 【分析】（1）所有的果篮用掉2个哈密瓜，4个火龙果，10个猕猴桃。当哈密瓜全部用完时，用掉火龙果的数量是哈密瓜的2倍，依题意，可画出线段图帮助理解： 剩下的130个对应着箭头部分，然后列式解答。 （2）先求出水果店原有的猕猴桃，再求用完所有的哈密瓜后，还剩下的猕猴桃数即可。 【小问1详解】 （130－10）÷2 ＝120÷2 ＝60（个） 60×6＋10 ＝360＋10 ＝370（个） 答：水果店原有370个火龙果。 【小问2详解】 60×2＝120（个） 370×2＝740（个） 740－120÷2×10 ＝740－60×10 ＝740－600 ＝140（个） 答：还剩140个猕猴桃。 【点睛】此类题解答的关键在于画出线段图来理解，找出数量关系式，列式解答。 15. 如图1，从边长是6厘米的正方形纸片的正中间挖去一个正方形，得到一个宽为1厘米的方框，将四个这样的方框如图6所示依次垂直交叉放在桌面上，求桌面被这些方框盖住的面积（图2中阴影部分的面积）。 【答案】74平方厘米 【解析】 【分析】从边长是6厘米的正方形纸片的正中间挖去一个正方形，得到一个宽为1厘米的方框，可知挖去的正方形边长为6－1×2＝4（厘米），剩下一个边框的面积为6×6－4×4＝20（平方厘米），题中四个方框垂直交叉放在桌面上，四个方框面积为20×4＝80（平方厘米），每两个交叉的方框会有两个边长为1厘米的小正方形重叠，从图2中可以看出四个方框重叠了6个同样的小正方形，这些重叠的小正方形面积实际只需要计算1次，在四个方框的面积中计算了2次，需要把多算的面积去掉。桌面被方框盖住的面积＝四个方框面积－重叠的6个小正方形的面积。 【详解】一个方框面积：6×6－（6－1×2）×（6－1×2）＝36－16＝20（平方厘米） 桌面盖住的面积：20×4－1×1×6＝80－6＝74（平方厘米） 答：桌面被这些方框盖住的面积为74平方厘米。 【点睛】本题重点考查学生在计算有重叠的图形问题中求实际面积的能力，这类题重点注意重叠了几部分和计算实际面积时需要减掉重叠的面积的次数。 16. 如图，小红和小丽的家分别在电影院的正西和正东方向，某日她们同时从自己家出发，小红每分钟走52米，小丽每分钟走70米，两人同时到达电影院。看完电影之后，小红先回家，速度不变，4分钟后小丽也开始往家走，每分钟走90米，两人同时到家。求两人的家相距多少米。 【答案】2196米 【解析】 【分析】小红和小丽同时从家到电影院，如果看完电影之后她们速度不变，小红先走4分钟到家时小丽还差4分钟到家，离家：4×70＝280（米），实际两人同时到家因为小丽速度增加为每分钟90米，相同时间里变速前与变速后的路程相差280米，小丽从电影院到家的时间为：280÷（90－70）＝14（分钟），则小红从电影院到家的时间为：14＋4＝18（分钟），根据路程＝速度×时间，分别计算小红和小丽家到电影院的距离再相加可得两家的距离。 【详解】4×70÷（90－70） ＝280÷20 ＝14（分钟） 14×90＋（14＋4）×52 ＝1260＋18×52 ＝1260＋936 ＝2196（米） 答：两人家相距2196米。 【点睛】本题重点考查行程问题中的变速问题，找到同一段时间内路程与速度的关系，根据时间＝路程差÷速度差得出变速后的时间，再由路程＝速度×时间算全长。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试） 一、填空题。（每空5分，共60分） 1. 计算：29＋42＋87＋55＋94＋31＋68＋76＋13＝（ ）。 2. 21个篮子，每个篮子中有48个鸡蛋，现在将这些鸡蛋装到一些盒子中，每个盒子装28个鸡蛋，可以装（ ）盒。 3. 190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是（ ）。 4. 当小红3岁时，妈妈的年龄和小红今年的年龄相同；当妈妈78岁时，小红的年龄和妈妈今年的年龄相同。妈妈今年（ ）岁。 5. 从1、2、3、4、…、30这30个数中任意取10个连续的数，其中恰有2个质数的情况有（ ）种。 6. 将面积为36的正方形按如图的方式分成4个周长相等的长方形，取图中阴影长方形的面积为（ ）。 7. 如图的“蝙蝠”图案由若干个等腰直角三角形和正方形组成，已知阴影部分的面积为1，则“蝙蝠”图案的面积是（ ）。 8. 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是315米，慢车的车长是300米。坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是21秒，那么坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是（ ）秒。 9. 有4个互不相等的自然数，它们的平均数是10。其中最大的数至少是（ ）。 10. 如图中共有三角形（ ）个。 11. 两个数的和是830，其中较大的数除以较小的数，得商22余2，则这两个数中较大的一个是（ ）。 12. 有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是（ ）。 ○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○… 二、解答题。（每题15分，共60分。）每题都要写出推算过程。 13. 如果数A增加2，则它与数B的积比A、B的积大60；如果数A不变，数B减少3，则它们的积比A、B的积小24，那么，如果数A增加2，数B减少3，则它们的积比A、B的积大多少？ 14. 水果店用三种水果搭配果篮，每个果篮里有2个哈密瓜，4个火龙果，10个猕猴桃，店里现有的火龙果的数量比哈密瓜的3倍多10个，猕猴桃的数量是火龙果的2倍，当用完所有的哈密瓜后，还剩130个火龙果。问： （1）水果店原有多少个火龙果？ （2）用完所有的哈密瓜后，还剩多少个猕猴桃？ 15. 如图1，从边长是6厘米的正方形纸片的正中间挖去一个正方形，得到一个宽为1厘米的方框，将四个这样的方框如图6所示依次垂直交叉放在桌面上，求桌面被这些方框盖住的面积（图2中阴影部分的面积）。 16. 如图，小红和小丽的家分别在电影院的正西和正东方向，某日她们同时从自己家出发，小红每分钟走52米，小丽每分钟走70米，两人同时到达电影院。看完电影之后，小红先回家，速度不变，4分钟后小丽也开始往家走，每分钟走90米，两人同时到家。求两人的家相距多少米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $