精品解析：2026年 重庆市永川区自主招生数学试题

2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的比例系数， ∴根据反比例函数的图象性质，当时，函数图象位于第二、第四象限． 3. 估计的值 （ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ∴， 故选C. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可. 【详解】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意； C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在正方形 中，E为边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，满足，，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接， ，证明出点A，B，F，E四点共圆，得到，，然后证明出点A，F，C三点共线，得到，，然后证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形 是正方形 ∴ ∵， ∴ ∴点A，B，F，E四点共圆 ∴， ∴ ∴点A，F，C三点共线 ∵四边形 是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6. 已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式 的值为；②若是的倍数，则 最高次项的系数被整除余 ；③若，则满足条件的整式 共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，代数式求值，解一元一次不等式，熟练掌握这些知识是解题的关键．先利用，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数，，得出，①若，时，得出，求出，即可得出，，，代入求值即可判断；②若是的倍数，则设（ 为整数），分别得出，，，，则 最高次项的系数为，即可判断；③若，结合，得出，则，再利用是奇数，则是奇数，则可得或或或 或或，共种情况，分别对应种不同的 ，即可判断． 【详解】解：∵，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数， ∴，，，为偶数，为奇数， ∵， ∴， ∴， ①若，时， ∴， 得， ∴，，， 则整式， 故①正确； ②若是的倍数， ∴设（ 为整数）， ∴，， ∵， ∴，， ∴ 最高次项的系数为， ∵被整除余 ， ∴故②正确； ③若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴是奇数， ∴或或或 或或， 共种情况，分别对应种不同的 ， 满足条件的整式 共有个， 故③正确； 综上，正确的是①②③， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 7. 如果多边形的每个外角都是 ，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为 ， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 8. 在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，平行四边形 ，点O是对角线 的中点，用尺规作于点E，交 于点F，连接 ， （不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形 是平行四边形， ∴ ， ． ∴ _____，， 点O是对角线 的中点， ∴ ______ ∴， ∴③ ∴, 又 ， ∴四边形是④ 【答案】（1） 解：根据垂线的基本作图，作图如下： 则． （2） ； ；③④平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图-作垂线的方法，过点作的垂线，分别交于点，连接，即可； （2）首先根据平行四边形的性质，证明，即可证明，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题主要考查了尺规作图—作垂线、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 证明：四边形 是平行四边形， ∴ ， ． ∴，， 点O是对角线 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴, 又 ， ∴四边形是平行四边形． 故答案为： ； ；③④平行四边形． 9. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“永远跟党走 奋进新征程”党史知识竞赛，为了了解参赛学生的成绩情况，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩得分用 表示，共分为4组： 组， 组， 组，D组）． 下面给出了部分信息： 抽取的10名七年级学生的成绩是：82，78，84，77，84，65，94，95，84，87 抽取的八年级学生的成绩在 组包含的所有数据：80，85， 85，85，88 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84 八年级 83 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为我校七，八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数． 【答案】（1）；； （2）八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级的成绩更好． （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数和百分比的概念直接求解； （2）根据中位数的意义，可代表一组数的平均水平，因此直接比较中位数即可； （3）计算出70分以上的学生人数百分比然后直接求解即可． 【小问1详解】 1. 组：（人） 中位数为第5个数据和第6个数据的平均数， 多有 人，因此第5个数据和第6个数据都为 ∴中位数为 2.出现最多的数是 ∴ 3. 故答案为：；； 【小问2详解】 八年级中位数七年级中位数 所以八年级的成绩更好． 【小问3详解】 （人） 答：七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生有人． 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图综合题，解题关键是明确中位数的意义，可代表总体数据的中等水平． 10. 某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． （1）求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ （2）为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】（1）甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 （2）升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【解析】 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【小问1详解】 解：设乙种机器人每小时分拣 件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得：  ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； 【小问2详解】 解：设升级后乙机器人每小时分拣 件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得：  ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 11. 如图1，在菱形 中，对角线 与 交于点O，，，点E是 的中点，连接 ，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接， ，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）， （2） 画图如下： 函数的一条性质：当时，随 的增大而增大；当时，随 的增大而减小（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】该题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数和一次函数综合，解题的关键是求出解析式． （1）在菱形 中，根据对角线 与 交于点O，，，求出，，勾股定理求出，直角三角形的性质求出，分为当点Q在 上运动，即时，过点作，根据，表示出，求出；当点Q在 上运动，即时，过点作，根据，表示出，求出；过点 作，根据，求出，表示出； （2）根据（1）中解析式画出图象，并写出函数的一条性质即可； （3）根据（2）中图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵在菱形 中，对角线 与 交于点O，，， ∴，， ∴， ∵点E是 的中点， ∴， 当点Q在 上运动，即时， 过点作， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点Q在 上运动，即时， 过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 过点 作， ∵， ∴，即， 解得：， ， 综上，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象可得，当时，x的取值范围． 12. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西 方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求 的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】（1）米 （2）小陈先到达体育场D处 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【小问1详解】 解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答： 的长度为米． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于 点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 是直线 下方抛物上一动点，连接 ， ，求面积的最大值以及此时点 的坐标； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为， 为 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点 ，使得以点 ，， ， 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）设出交点式直接求解； （2）作出辅助线将三角形面积用二次函数表示出来，然后求二次函数的最大值即可； （3）将已知的边分类讨论，因为 点横坐标已知，因此直接利用平移规律得出 的横坐标，代入二次函数直接求解即可． 【小问1详解】 抛物线与 轴交于，两点， 可得 ∴，解得 ∴ 【小问2详解】 设，过 作 于，交 于 ， 由（1）可知，， 令，即， 设 解析式为：， 代入，， ，解得， ∴ 解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大， 此时． 【小问3详解】 抛物线沿水平方向向左移动2个单位， 可得 ∴顶点 ∵， ①当是平行四边形的一条边时， 根据平移规律可得或 当， 当， ∴或 ②当是平行四边形的对角线时， 可知中点 ∵中点也为 ∴ ∴ ∴ 综上所述：或或 【点睛】此题考查二次函数的综合题，解题关键是数形结合将三角形的面积最大值转化为求二次函数的最大值，解题技巧是将平行四边形的已知边进行分类讨论，通过平移规律直接求出横坐标即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 3. 估计的值 （ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 5. 如图，在正方形 中，E为边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，满足，，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式 的值为 ；②若是的倍数，则 最高次项的系数被 整除余 ；③若，则满足条件的整式 共有 个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 7. 如果多边形的每个外角都是 ，那么这个多边形的边数是________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 8. 在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，平行四边形 ，点O是对角线 的中点，用尺规作于点E，交 于点F，连接 ， （不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形 是平行四边形， ∴ ， ． ∴ _____，， 点O是对角线 的中点， ∴ ______ ∴， ∴③ ∴, 又 ， ∴四边形是④ 9. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“永远跟党走 奋进新征程”党史知识竞赛，为了了解参赛学生的成绩情况，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩得分用 表示，共分为4组： 组， 组， 组，D组）． 下面给出了部分信息： 抽取的10名七年级学生的成绩是：82，78，84，77，84，65，94，95，84，87 抽取的八年级学生的成绩在 组包含的所有数据：80，85， 85，85，88 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84 八年级 83 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为我校七，八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数． 10. 某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． （1）求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ （2）为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 11. 如图1，在菱形 中，对角线 与 交于点O，，，点E是 的中点，连接 ，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接， ，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 12. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西 方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求 的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于 点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 是直线 下方抛物上一动点，连接 ， ，求面积的最大值以及此时点 的坐标； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为， 为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点 ，使得以点 ，， ， 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $