精品解析：2026年 重庆市永川区自主招生数学试题

2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 5的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 4. 估计的值 （ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 81 B. 85 C. 71 D. 75 8. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 2026年春节假期，重庆旅游热度位居全国第一，2月10日至2月16日期间，全市共接待游客72000000人次．数据72000000用科学记数法可表示为________． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 13. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小陶从我国3位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小陶选中赵爽的概率是______． 14. 某市2026年1月手机用户数量为30万，同年3月用户数量增长至36.3万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_____． 15. 如图，四边形内接于，为的直径，、交于点，平分，的平分线交于切于，交延长线于，若，点到的距离为，则_____，_____． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十美数”．例如：四位数 ，∵ ，∴ 是“十美数”；又如：四位数 ，，不是“十美数”．若一个“十美数”为，则这个数为_____；若一个“十美数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十美数”之和是_____． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，平行四边形，点O是对角线的中点，用尺规作于点E，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴_____，， 点O是对角线的中点， ∴______ ∴， ∴③ ∴, 又， ∴四边形是④ 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“永远跟党走 奋进新征程”党史知识竞赛，为了了解参赛学生的成绩情况，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩得分用表示，共分为4组：组，组，组，D组）． 下面给出了部分信息： 抽取的10名七年级学生的成绩是：82，78，84，77，84，65，94，95，84，87 抽取的八年级学生的成绩在组包含的所有数据：80，85， 85，85，88 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84 八年级 83 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为我校七，八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数． 21. 某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． （1）求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ （2）为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 22. 如图1，在菱形中，对角线与交于点O，，，点E是的中点，连接，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接，，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中， ，绕点C顺时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到Q，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 5的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：5的倒数是. 2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的比例系数， ∴根据反比例函数的图象性质，当时，函数图象位于第二、第四象限． 4. 估计的值 （ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ∴， 故选C. 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可. 【详解】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意； C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的周长比等于相似比得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形 ， 与的周长比为 与的相似比为，即 ∴． 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 81 B. 85 C. 71 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根． 8. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得出直角三角形，利用锐角三角函数求出半径的长度，利用等边对等角以及角平分线的定义得出平行线，然后利用含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴ ， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，，证明出点A，B，F，E四点共圆，得到，，然后证明出点A，F，C三点共线，得到，，然后证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴ ∴点A，B，F，E四点共圆 ∴， ∴ ∴点A，F，C三点共线 ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，代数式求值，解一元一次不等式，熟练掌握这些知识是解题的关键．先利用，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数，，得出，①若，时，得出，求出，即可得出，，，代入求值即可判断；②若是的倍数，则设（为整数），分别得出，，，，则最高次项的系数为，即可判断；③若，结合，得出，则，再利用是奇数，则是奇数，则可得或或或或或，共种情况，分别对应种不同的，即可判断． 【详解】解：∵，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数， ∴，，，为偶数，为奇数， ∵， ∴， ∴， ①若，时， ∴， 得， ∴，，， 则整式， 故①正确； ②若是的倍数， ∴设（为整数）， ∴，， ∵， ∴，， ∴最高次项的系数为， ∵被整除余， ∴故②正确； ③若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴是奇数， ∴或或或或或， 共种情况，分别对应种不同的， 满足条件的整式共有个， 故③正确； 综上，正确的是①②③， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 2026年春节假期，重庆旅游热度位居全国第一，2月10日至2月16日期间，全市共接待游客72000000人次．数据72000000用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，由每个外角都是，三角形外角和为即可求出多边形的边数． 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴多边形的边数为， 故答案为：12． 13. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小陶从我国3位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小陶选中赵爽的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，先确定所有等可能结果的总数，再确定所求事件包含的结果数，代入公式计算即可. 【详解】解：将祖冲之、刘徽、赵爽分别记为、、，从位数学家中随机选取两位，所有等可能的结果为：，，，共种，其中选中赵爽的结果有种，因此小陶选中赵爽的概率为. 14. 某市2026年1月手机用户数量为30万，同年3月用户数量增长至36.3万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，根据1月和3月的手机用户数量，即可列出关于x的一元二次方程. 【详解】解：由题意，可得. 15. 如图，四边形内接于，为的直径，、交于点，平分，的平分线交于切于，交延长线于，若，点到的距离为，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先证明，再由平分可得，再证得，再由等腰三角形的判定可得，再由圆周角定理得出，由勾股定理得出，过点作于，连接，再证得，得出，设，则，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解∶∵平分， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ， ∵是的直径， ， ∴， 如图，过点作于，连接，则，， 又， ， ， ∵是的直径， ∴， ， ∵切于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 设，则， ∵， ， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十美数”．例如：四位数 ，∵ ，∴ 是“十美数”；又如：四位数 ，，不是“十美数”．若一个“十美数”为，则这个数为_____；若一个“十美数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十美数”之和是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题属于新定义运算类题目，解题的关键在于将“十美数”的文字定义转化为代数方程，找到数字 a，b，c，d 之间的数量关系，要理解，，，与此同时，将“两个三位数的和被9除余1”转化为“两个三位数的和与1的差是9的倍数”， 最后结合“十美数”的定义进行求解即可． 【详解】解：根据“十美数”的定义，四位数满足：， ∴， 解得， ∴这个四位数为； ∵是“十美数”， ∴， ∴化简为：①， 根据题意可得：是整数， ， ， ， ∴为整数， ∴将①代入上式得： ， ∴为整数， ∴， ①当，时，由变形为： ， 解得 ，不合题意，舍去； ②当，时，由变形为： ， 解得 ，不合题意，舍去； ③当，时，由变形为： ， 解得 ，不合题意，舍去； ④当，时，由变形为：， 解得 ，不合题意，舍去； ⑤当，时，由变形为： ， 解得 ，故，，该四位数为 ； ⑥当，时，由变形为： ， 解得，故，，该四位数为 ，由于各个数位上的数互不相等，故不合题意，舍去； ⑦当，时，由变形为： ， 解得 ，故 ，由于各个数位上的数互不相等，故不合题意，舍去； ⑧当，时，由变形为： ， 解得 ，故，，该四位数为 ； ∴满足题意的四位数的和为 ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减运算等知识，理解新定义，正确进行各种变形是解题的关键． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，平行四边形，点O是对角线的中点，用尺规作于点E，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴_____，， 点O是对角线的中点， ∴______ ∴， ∴③ ∴, 又， ∴四边形是④ 【答案】（1）见解析 （2）；；③④平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图-作垂线的方法，过点作的垂线，分别交于点，连接，即可； （2）首先根据平行四边形的性质，证明，即可证明，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题主要考查了尺规作图—作垂线、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【小问1详解】 解：根据垂线的基本作图，作图如下： 则． 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴，， 点O是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴, 又， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：；；③④平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【详解】解：原式 ； ∵ ， ∴原式 ． 20. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“永远跟党走 奋进新征程”党史知识竞赛，为了了解参赛学生的成绩情况，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩得分用表示，共分为4组：组，组，组，D组）． 下面给出了部分信息： 抽取的10名七年级学生的成绩是：82，78，84，77，84，65，94，95，84，87 抽取的八年级学生的成绩在组包含的所有数据：80，85， 85，85，88 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84 八年级 83 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为我校七，八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数． 【答案】（1）；； （2）八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级的成绩更好． （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数和百分比的概念直接求解； （2）根据中位数的意义，可代表一组数的平均水平，因此直接比较中位数即可； （3）计算出70分以上的学生人数百分比然后直接求解即可． 【小问1详解】 1.组：（人） 中位数为第5个数据和第6个数据的平均数， 多有人，因此第5个数据和第6个数据都为 ∴中位数为 2.出现最多的数是 ∴ 3. 故答案为：；； 【小问2详解】 八年级中位数七年级中位数 所以八年级的成绩更好． 【小问3详解】 （人） 答：七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生有人． 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图综合题，解题关键是明确中位数的意义，可代表总体数据的中等水平． 21. 某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． （1）求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ （2）为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】（1）甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 （2）升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【解析】 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【小问1详解】 解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得：  ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； 【小问2详解】 解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得：  ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 22. 如图1，在菱形中，对角线与交于点O，，，点E是的中点，连接，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接，，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】该题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数和一次函数综合，解题的关键是求出解析式． （1）在菱形中，根据对角线与交于点O，，，求出，，勾股定理求出，直角三角形的性质求出，分为当点Q在上运动，即时，过点作，根据，表示出，求出；当点Q在上运动，即时，过点作，根据，表示出，求出；过点作，根据，求出，表示出； （2）根据（1）中解析式画出图象，并写出函数的一条性质即可； （3）根据（2）中图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，对角线与交于点O，，， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 当点Q在上运动，即时， 过点作， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点Q在上运动，即时， 过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 过点作， ∵， ∴，即， 解得：， ， 综上，，； 【小问2详解】 解：画图如下： 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据图象可得，当时，x的取值范围． 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】（1）米 （2）小陈先到达体育场D处 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【小问1详解】 解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）设出交点式直接求解； （2）作出辅助线将三角形面积用二次函数表示出来，然后求二次函数的最大值即可； （3）将已知的边分类讨论，因为点横坐标已知，因此直接利用平移规律得出的横坐标，代入二次函数直接求解即可． 【小问1详解】 抛物线与轴交于，两点， 可得 ∴，解得 ∴ 【小问2详解】 设，过作于，交于， 由（1）可知，， 令，即， 设解析式为：， 代入，， ，解得， ∴解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大， 此时． 【小问3详解】 抛物线沿水平方向向左移动2个单位， 可得 ∴顶点 ∵， ①当是平行四边形的一条边时， 根据平移规律可得或 当， 当， ∴或 ②当是平行四边形的对角线时， 可知中点 ∵中点也为 ∴ ∴ ∴ 综上所述：或或 【点睛】此题考查二次函数的综合题，解题关键是数形结合将三角形的面积最大值转化为求二次函数的最大值，解题技巧是将平行四边形的已知边进行分类讨论，通过平移规律直接求出横坐标即可． 25. 在中， ，绕点C顺时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到Q，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出相等边，求出相关角的度数，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）连接，与交于点，根据旋转表示出相关角的度数，证明，得出相等角和边，利用角的和差得出和是等腰直角三角形，然后利用勾股定理得出边的关系，即可求解； （3）过点P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F，证明，得出相等角和边，设，得出四边形是正方形，证明，，得出四边形是平行四边形，根据，确定当三点共线时，取得最小值，最后求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由旋转可得， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ，（负值已舍）， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接，与交于点， 由旋转可得 ， 平分， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， 整理得，， ， ， ， ， 三点共线，且是等腰三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ，， ， ，， 设， ，， ，， ， ，  四边形是矩形，  点在上，，，  四边形是正方形， ， ，，， ， ，， 为的中点， 为的中点， 与重合，， ， ， ，， ，，  四边形是平行四边形， ， ，， ， ，  当三点共线时，取得最小值，此时， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，含角的直角三角形的性质，涉及知识点比较多，难度比较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $