精品解析：江苏省东海高级中学2026届高三下学期模拟考试3数学试卷

2026年高三年级模拟考试数学3 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ） A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121 2. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某企业有两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：生产线的产品质量指标值，生产线的产品质量指标值. 已知生产线的产量是生产线的倍，则（ ） A. 生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值 B. 该企业产品质量指标值的均值是 C. 生产线产品质量指标值的标准差低于生产线产品质量指标值的标准差 D. ，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同 10. 现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 11. （多选题）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 13. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； 17. 东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 4 参观人数 （1）建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； （2）东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率． 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 18. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级模拟考试数学3 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ） A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数公式，即可求解. 【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123， ， 则第75%分位数是第8个数据121， 故选：D. 2. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 3. 现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列、组合计数问题求出试验及所求概率的事件含有的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球的试验的基本事件总数为， 恰好有2个小球与盒子的编号相同的事件含有的基本事件数为， 所以恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为. 故选：A 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据相似易得，再根据平面向量的线性运算可得，求出，进而求解即可. 【详解】连接，由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则，故， 又，所以，则. 5. 已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，换元，，利用复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，利用二次函数的单调性列出不等式求出答案. 【详解】， 令，则， 因为且在上单调递增，所以， 因为函数在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上单调递减， 又函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 因此， 所以. 6. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 7. 记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出的通项公式，进而得出的表达式，再根据的通项公式求出的通项公式，判断数列的增减性，然后分析得出结果. 【详解】由题意可得是以1为首项、为公比的等比数列， 故，则， 当时， ， 当时，，代入上式， 所以， 当时，； 当时，， 此时 由， 所以， 即当时，为递增数列， 又，故， 故为的最小项， 又对于任意正整数均成立， 即成立，又为整数，故的最大值为， 故选：B． 8. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某企业有两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：生产线的产品质量指标值，生产线的产品质量指标值. 已知生产线的产量是生产线的倍，则（ ） A. 生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值 B. 该企业产品质量指标值的均值是 C. 生产线产品质量指标值的标准差低于生产线产品质量指标值的标准差 D. ，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合正态分布定义可得A、C；借助均值定义计算可得B；借助正态分布的原则可得D. 【详解】对A：生产线产品质量指标值的均值为，生产线产品质量指标值的均值为， 故生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值，故A正确； 对B：该企业产品质量指标值的均值是，故B正确； 对C：生产线产品质量指标值的标准差为， 生产线产品质量指标值的标准差为， 故生产线产品质量指标值的标准差高于生产线产品质量指标值的标准差，故C错误； 对D：，， 故，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同，故D正确. 故选：ABD. 10. 现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分步乘法计数原理即可判断. 对于B、C，利用排列组合的应用，即可判断. 对于D，利用分组分配知识即可判断. 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故选项A正确. 对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分成4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故选项B错误. 对于C，根据题意，分2种情况需要讨论：①从丙､丁､戊中选出2人开车，②从丙､丁､戊中选出1人开车，则有种安排方法，故选项C正确. 对于D，分2步进行分析：先将5人分成3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种安排方法，则这5名同学全部被安排的不同方法数为，故选项D正确. 故选：ACD. 11. （多选题）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】如图： 连接. 设， 则， 因为四边形是平行四边形，为的中点， 所以. 由四点共面，可知存在实数，满足，即， 所以，则，化简得， 由，得，同理可得，所以. 对于A，B，由题意知， 又， 所以，故A正确，B错误； 对于C，同理可得，所以，故C正确； 对于D，，因为， 所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】## 【解析】 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 13. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径，法一：连接，相交于点，连接，先证明平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，再利用等体积法求得，进而求出截面圆半径，进而求解即可；法二：建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离公式求解到平面的距离，进而求出截面圆半径，进而求解即可. 【详解】由题意，正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径. 法一：连接，相交于点，则点为的中点，连接. 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由，得，则， 则截面圆半径，所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 则到平面的距离， 所以截面圆半径，所以截面面积. 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可． 【详解】法1：由题意得， 令，则， 所以当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当，时，取得最小值2. 综上所述，的最小值为2. 法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和. 作于，， 令，则， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 故的最小值为2． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递减区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 因为在区间上单调递减， 所以令，解得：， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由题可知，， 令，则，即， 函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 当时，， 由得，由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 且；；， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】（1）极大值点为1，无极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，分析函数的单调性，可求函数的极值点. （2）先证，问题转化为，设，分析的单调性，求的最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，， 当时，，时，， 所以函数在区间单调递增，在区间单调递减， 所以函数在处取得极大值，函数的极大值点为1，无极小值点. 【小问2详解】 函数的定义域为，不等式恒成立， 即在上恒成立， 记，则， 得到在区间上单调递减， 在上单调递增， 则，即在区间上恒成立， 分离变量知：在上恒成立，则， ， 由前面可知，当时，恒成立，即， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，所以，故的取值范围为． 17. 东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 4 参观人数 （1）建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； （2）东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率． 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 【答案】（1）回归方程为，人数约为千人 （2） 【解析】 【分析】（1）将相关数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可预测出第天入园参观人数； （2）记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园，计算出、的值，利用条件概率公式可求得 【小问1详解】 由最小二乘法公式可得， 则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，， 因此，预测第天入园参观人数约为千人. 【小问2详解】 记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园， 则， 如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为， ， 由条件概率公式可得. 因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为. 18. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 【答案】（1） 因平面平面，平面平面， ，平面，则平面； （2）； （3） 由（2）可得，，. 则。 假设平面，则四点共面，从而存在实数，使， 则.则，即在平面内. 【解析】 【分析】（1）由平面平面结合平面与平面垂直性质可完成证明； （2）由题设，如图过作平行线交于，建立以为原点的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，据此可得答案； （3）等价于判断是否存在实数，使，据此可完成判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图过作平行线交于，由题设可得. 然后如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则.. 因，则. 则，又， 则，设平面法向量为， 则，令，可得可为. 又易得平面的法向量为. 设平面与平面夹角为，则. 【小问3详解】 略 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 【答案】（1） （2） （3） 直线的方程为，到直线的距离， ， 的面积， 或（舍），， ，，， ． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得，得，在中，根据位置关系可得，进而可得； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程可得，结合可得，进而可得； （3）由弦长公式和距离公式可得的面积，进而可得，由放缩可得，进而可得. 【小问1详解】 因双曲线的离心率为2，故， 即，故公比． 在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长）， 得是的一个焦点，故，即，解得， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 将代入中整理得，， 且，，． 的平分线垂直于轴，， 得，即， 将，，和代入整理得，， 或（舍，此时直线过），． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问由进而根据放缩得，即，进而可证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $