江西南昌市第二中学2025-2026学年高三下学期数学周练二

南昌市第二中学2025-2026学年高三下学期数学周练二参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】B 【详解】由，则. 2. 【答案】A 【详解】由可得，解得或，由于是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 3. 【答案】A 【详解】由，得，代入原式得：， 由 得 ，所以：.故选：A 4.【答案】B 【详解】由得，，令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0，因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得，，因为为等差数列，所以.故选：B. 5. 【答案】B 【详解】 在梯形中，因为， 所以，则，即， 因为平面平面所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 由点到直线的距离为2，可得， 再过点作，垂足为，则， 又因为平面，所以平面， 由，，可得， 则以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心的圆弧， 其半径为：， 又由，可得 则在直角中，由点到的距离等于， 所以直线与这个以为圆心的圆弧相离， 即与侧面的交线是以为圆心的圆弧长为，故选：B 6. 【答案】D 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案.故选：D 7. 【答案】B 【详解】如图，，解得，所以，因这样的点有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，即，化简得，其中，，则， ，所以，即，则直线的斜率为，所以直线，即，联立，解得，即，因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为 ，整理得，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B. 8. 【答案】B 【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：.根据三角函数的性质，.这说明数列的周期为3.因为集合，即有三个不同的值.设时，；时，；时，.根据三角函数两角和公式可得： . . 则 ，故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】AD 【详解】对于选项A，由，取，得，故A项正确； 对于选项B，任取，则，依题意，，而， 则，即，即在上是增函数， 因为，所以，得当时，，而，得当时，，故B项错误；对于选项C，由，取，因为， 故，即，故C项错误；对于选项D，由， 取，可得，整理得，，因为，所以且，故，即，，故D项正确.故选：AD. 10. 【答案】BCD 【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，所以，．因为的最小值为， 所以，解得，A错误；对于B、C：因为， 则，，B、C都正确；对于D：当时，，在上单调递增，D正确．故选：BCD. 11. 【答案】BCD 【详解】对于A，，， ，，故A错误；对于B，当，即时，，不符题意；当，即时，又为偶数， 所以， 即，，，解得； 综上，当时，，故B正确； 对于C，时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考查即可， 时，奇数项是首项，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公比为的等比数列， 当时，， 时，，时，，所以若存在，使得，则，故C正确； 对于D，，设，其前项和为， ， ，相减得，， 当时，，时，，又为周期数列，所以不存在，使得，故D正确．故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64，所以，或舍去，二项式的通项公式为，令，所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 【答案】 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为， 则其体积，所以，所以.答案为： 14. 【答案】51 【详解】由，，，，可知：，即，，即，即，即第8项是。答案为：51 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）(1) (2) 【详解】（1）由，则根据正弦定理有，即， 又由余弦定理有，得，所以在△ABC中，得； （2）由△ABC为锐角三角形，且，则有，得，即，即，所以根据正弦定理有． 16.（15分）(1)分布列见解析，；(2)答案见解析 【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，所以随机变量的所有取值为.则 ， ， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到，因为，假设成立，所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.如果把所有数据都扩大10倍后， ，，所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 17.（15分） (1) (2) （2）建立空间直角坐标系，结合二面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）因为是圆锥的轴截面，所以平面. 又平面，所以.在中，，，所以. 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 结合圆锥的定义及对称性易知球心在上. 在中，，则，整理得，解得. 所以圆锥的外接球的表面积. （2）因为为弧的中点，所以. 因为平面，平面，所以.又， 所以可以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. ，，设平面的法向量为， 则，，令，则，，所以. 因为，，，所以平面， 则即为平面的一个法向量，.设二面角的平面角为， 则，， 所以.故二面角的正切值为. 18.（15分）(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1） 当轴时，由双曲线的定义可知，所以在中，有，即，解得，所以，故双曲线的方程为． （2）设的方程为，其中．联立，消去得，由题意可得，把代入得，整理得，因为，所以，从而有，即，解得， 所以的方程为，化简得，故的方程为． 由（1）可知，所以直线的斜率为，因为点不在轴上且， 所以直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，故点的横坐标为． （3）由（2）可得当时，直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，因为点满足，所以，代入式，化简得，则，即；当时，，也符合上式，故点的轨迹为圆，该圆的方程为． 19.（17分）(1) (2) (3). 【详解】（1）， 令得或， ①当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，不符合题意. ②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意. ③当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极小值点，符合题意. 综上可知，的取值范围是. （2）由得或， 设，则，所以有两不等实根. 所以，，， 又因为，所以，， 则，且，故， 且，而， 所以，， 则，解之得或8（舍去）. （3）因为当且仅当，所以，则 因为，当时，，不符合题意； 当时， ①当时，， 记，， 若，，则单调递增，所以. 若，令，， 令，，易得单调递增， 所以，即， 则使，列表得： 0 极小值 因为，，所以使，列表得 0 极小值 又因为，，使，列表得 0 极大值 又，，所以，则当时，. ②当时， ， 设，则， 当时，， 故在上单调递增，故即， 设，则， 设，则， 在上为减函数，故，， 故在上存在一个零点，使得， 且当时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故存在，使得，且当时，，时，，故在上为减函数，在为增函数，而，故在上恒成立. 综上，当时，即，综上可得，的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市第二中学2025-2026学年高三下学期数学周练二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2. “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知，则（   ） A． B． C． D． 4. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 5. 已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 6. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 7. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（    ） A． B．直线是图象的对称轴 C．点是图象的对称中心 D．在上单调递增 11. 已知数列的通项公式是.设为数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若存在，使得，则 D．不存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13. 已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____. 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 16.（15分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.（15分）如图，已知是圆锥的轴截面，，. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)若为弧的中点，求二面角的正切值. 18.（17分）设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． (1)求的方程； (2)若不在轴上，满足，求的横坐标； (3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 19.（17分）已知函数，. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； (3)若当且仅当，求的取值范围. 第 学科网（北京）股份有限公司 $