陕西西安市第一中学2026届高三下学期模拟（2）数学试题

第一中学2026届模拟试题（2)数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求) 1.已知集合A={x-1<x<1,B=x0<x≤1，则AUB=() A.(0,1) B.(-0,1] C.(-1,1) D.(-1,1] 2.已知a=号b=点c=5,则a,b,c的大小关系为() 3 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b 3.设函数f()=c0s(ωx+)在区间(0，D上恰好有两个零点，则ω的取值范围是（) A. B.(G) c.(G别 D.() 4.如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的 四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为() A.号 B.3 C.3 D.23 5.《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减 的比例为“衰分比”.例如：若A,B,C三人分配奖金的“衰分比为10%，且A分得奖金1000元， 则B,C所分得奖金分别为900元，810元.某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年 青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得 奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为() A.20%,5120元B.10%,5120元C.20%,6400元D.10%,6400元 6.已知直线：3x-4y+5=0,圆C:(x+2)2+(y-1)2+m-5=0,则0<m<4是“直线l与圆 C相交”的() 第一中学2026届模拟试题(2)数学试题第1页共4页 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知向量与币，@=4，可=2，向量ā在向量方向上的投影向量是-b,则a+=() A.4 B.16 C.1 D.3 8.已知sin6=1+cosa)),cos9=2sina,则sin6=（） A-月 B.0 C. D.1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对 得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.己知函数f(x)=sin(ωx+p)(ω>0，lpl<)的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长 度后得到的g(x)图象关于直线x=对称，则() A.函数f)的图象关于点（怎，0）对称 B.函数f)的图象关于直线x=对称 c.g()>f() D.g(x)在（售，）上单调递增 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，己知E,F分别为线段B1C,D1C1的中点，点P 在四边形BB1D1D内运动，则() A.EF⊥AC B.当点P在BD1上运动时，三棱锥D一PEF的体积为 C.V2≤|EP|≤V6 D.△PEF周长的最小值为V3+√5 11.若x∈(0,2)，且f()=(x-1)3-2n2号+1，数列a,的前n项和为Sa,且S1=02n=na+1 则下列说法正确的是() 第一中学2026届模拟试题(2)数学试题第2页共4页 A.f(x)关于点(1,1)成中心对称 B.数列{a}是等差数列 c.1fa)=19 D.数列a,的通项公式为a= 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知抛物线C:y=2x-x2,直线y=t(t>0)与C交于A,B两点，则以0A,0B为邻边的平行四边 形面积的最大值为 13.(2-x(x+)°的展开式中常数项为 14.在平面直角坐标系x0y中，己知锐角α的终边与单位圆交于A(x1,y),角（a+的终边与单位圆 交于B6cy以小，若x2+x2=-焉则竖的值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15.已知椭圆E等+芳=1(a>b>0)的左、有焦点分别为1，F2,右顶点为A,P为直线x=a上 一点，且椭圆E的离心率为，IAF1=8. (1)求椭圆E的方程： (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A). ①证明：∠BF1P=∠AF1P. ②若BF1/PF2,求|AP|· 附：在椭圆酷+三-1a>b>0)上一点Cxo)处的切线方程为学+学-1. 16.已知函数f(x)=xnx. (1)求函数在x=1处的切线方程， (2)若函数g(x)=f(x)-bx有两个不同的零点，求实数b的取值范围. 17.已知{a是单调递增数列，记Sn为数列{an}的前n项和，且a吆+n=2Sn (1)证明：{an}是等差数列 (2)令bn=2an,求a1bm+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1 18.如图所示，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在 第一中学2026届模拟试题(2)数学试题第3页共4页 的平面，DC II EB,DC=EB=1,AB=4 D (1)证明：平面ADE⊥平面ACD; (2)当C点为半圆的中点时，求面DAE与面AEB所成的二面角的正弦值 19.某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点.初始时有2个节点在线（假设在线的不再 宕机)，3个为宕机（停摆，不能正常工作）.每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为 宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为(0<卫< 1)；若该节点己在线，则仅进行维护.用Xn表示第n个月后在线节点数，E(X)表示其数学期望. (1)当p=时，求P(X2=3): (2)证明：E(Xm+1)=（1-)E(X)+p: 第一中学2026届模拟试题(2)数学试题第4页共4页 数学试题参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不 全得部分分，有选错的得0分) 9.BD 10.ABD 11.ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.g55 13.29 14.2W2 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15.(1)由题意得： 8解得写所以62-2a16. e= c_3 AF=a+c-8 所以后+后-1，所以椭圆g的方程为号+后1；4分 x2 16 16 (2)①不妨令点P在第一象限，设B(w,所以切线BP的方程为：苦+g-1,又兽+总1， 令5，解得)2，所以P(飞)又因为m∠B乐4品m∠A,是 5y0 5vo tan2∠AF1P-2tam∠AP= 226-0 5y0 20(5-x0)y0 20(5-x0)y0=y0 -1-tam2∠A1P 256-4(5-016(25-)-4(5-020+3 …6分 1-26-0 L 5v0 所以tan∠BF1Atan2∠AF1P,所以∠BFA=2∠AF1P, 又∠BF1A=∠BF1P+∠AF1P,所以∠BF1P=∠AF1P;…9分 ②因为BF1∥PF2,所以∠BF1P=∠F1PF2, 因为∠BF1P=∠AF1P,所以∠F1PF2=∠AF1P,所以PF2=F1F2=6,…12分 在Rt△PAF2中，AF2=2,AP=√1PF22-AF22-4V2.…13分 ⊙ F x=5 16.(1)fx)=xnx的定义域为(0，+o),f(x)=1+lnx, f(1)=1,1)=0, 所以函数在x=1处的切线方程为xy-1=0…3分 (2)令g)=0,即xlx-bx2-0,>0,所以b=,x>0, …4分 数学试题答案第1页共4页 函数g(x)f)-bx有两个不同的零点，等价于h()与b有两个交点，…6分 令h(),0,则hG)="，令h)>0得0<e,令hG)0得e,9分 所以h()在(0.e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，则ha(xmx=h(e)=, …11分 且当x→0时，h(x)→-o;当x→+oo时，h(x)→0t.…13分 故要使()-与b有两个交点，需使b∈(0，)故实数b的取值范围为(0，)…15分 17.(1)令E1,得+1=2S1=2a1,所以41=1： 由题意得 a+n-2S, c21tr1=2S1,e2' 所以当22时， a-a-1+1=2a,即(a,-1)2=G1, 所以a,-1=4n-1或a.-1=-an-1 所以a-4-1=1或4+am-1=1.…4分 因为数列{4}是单调递增数列，所以当心2时，4>4=1,4-1之1…5分 所以a+a-1≥21，…7分 所以a-a-11,心2，即{a}是首项为1，公差为1的等差数列…8分 （2)由(1)知a=1+(t1)×1=n,所以bn=2m 令S=41bn+a2bn-1+a3bn-2+···+an-1b2+a,b1…10分 则S-1×2+2×2m-1+3×22+···+(0m-1)×22+×21① 两边同乘以2，得2S1×2+1+2×2”+3×2”-1+···+(1m-1)×23+×22② ②-①，得S2+1+2+2n-1+.··+23+22-21…12分 21-29-2n 1-2 =20+2-2t4…14分 所以a1bn+2bm-1t4bm-2+···+a-1b2+a4b1=2n+2-271-4.…15分 18.(1),AB是直径，BC⊥AC,,CD⊥平面ABC,∴.CD⊥BC, ,AC∩CD=C,AC,CDC平面ACD,.BC⊥平面ACD,…2分 ,CD∥BE,CD=BE,∴.四边形BCDE是平行四边形，…4分 则BC∥DE,.DE⊥平面ACD,,DEC平面ADE,∴.平面ADE⊥平面ACD;…6分 (2) 数学试题答案第2页共4页 ZA D E 依题意，以C为坐标原点，CA,CB,CD所在直线分别为x,,z轴，建立 则C(0,0,0),A(2V2,0,0),B(0,2W2,0),E(0,2V2,1),D(0,0,1), AB-(2V2,2V2,0),BE-(0,0,1),D元-(0,2W2,0),DA-(2V2,0,-1), 设平面DAE的一个法向量为=(x1y1),…10分 低0叫 令x11,得y1=0,31=2W2,则-(1,0,2②)，…12分 设平面ABE的一个法向量为=(22,22)， i10,即22，t2②0,14分 (i.B-0' 22-0 令x2=1,得y2=1,22=0,则7=(1,1,0)， com列品高号 …16分 “面DAE与面AEB所成的二面角的正弦值√1-cos2(m苏-网 …1 6 19.(1)初始状态X=2,即2个在线、3个宕机. 第1个月选中在线节点的概率为，此时X=2: 选中宕机节点的概率为其中修复成功的概率为厂子此时X=3: 修复失败的概率为，此时X=2。…4分 所以P(X=2)+×手Px=3×}片 P3K2)片Px3K3）广+x号=品 …6分 所以P(X2=3)=P(X1=2)·P(X2=31X1=2)+P(X1=3)P(X2=3X1=3) ×分+好×常名+号常 …7分 故当p时，PX=3)号 …8分 (2)由题意知X+1的可能取值有2、3、4、5， 所以PK+12)=PK=2)E+1-p可=(（1-)Px=2): P(X+13)-+号1-pP(X3)+pPX,=2)-(（1-)PX,=3)+号P(X=2), 数学试题答案第3页共4页 如图所示的空间直角坐标系， 分 P(K1-4)=[+1-p)P(X,=4)+pP(X,=3-（1-)P(X=4)+号P(X=3), PK15)=[E+1-p)lPX5)+3DPK=4)=PK=5)+号PK=4), 所以E(K+1)=2·P(+1=2+3·P(CK+1=3)+4P(X+1-4)+5·P(Kn+1=5) =(2+)PX=2)+(3+)PX=3)+(4+)PX.=4)+5PX=): 因为PK=2)+P(K=3+P(X-4)+P(K=5)=1,…14分 所以pp·[P(K=2)+P(X,=3)+PK,=4)+P(K=5, 所以(1-)B(XH=(1-)I2P(K.=2)+3P(X=3+4PK=4+5P(K=+D -(2)）Pg-2r(）Px=3)4)）PK=0+6pPX) tp[PX=2+PX=3)+PX=4)+PX,=5…15分 =(2+）PK=2)+(3+)PX=3)+(4+9)P(K=40+5P(X=5.… 所以X(1-)X)p.…17分 数学试题答案第4页共4页 …12分 16分