期中复习学案（三）平面向量的应用-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年期中专题复习学案（三） 平面向量的应用 【典例1】（多选题） 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，一定有 B. 若，那么一定是钝角三角形 C. 一定有成立 D. 若，那么一定是等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于、根据正、余弦定理对边角进行合理转化，就可以判断. 对于、除了根据正、余弦定理对边角进行合理转化，还要结合两角和差以及二倍角公式进行验证. 【详解】对于A项：因为在三角形中，所以， 根据正弦定理：，所以，所以正确； 对于B项：因为，所以，， 故是钝角三角形，所以正确； 对于C项：，根据正弦定理， ，，所以正确； 对于D项：，即，， 解得或，所以错误. 故选：. 【针对训练1】（多选题） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，则此三角形有2解 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】运用余弦定理可判断A项，运用大边对大角及正弦定理可判断B项，作图可判断C项，解三角函数方程可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以， 所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立； 对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确； 对于C项，如图所示， 因为， 所以此三角形有2解，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以或，即：或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立. 故选：BC. 【典例2】如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. （1）求B，C两点间的距离； （2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】（1）60海里 （2）方向是南偏东，需要的时间为小时. 【解析】 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【小问1详解】 依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为60海里. 【小问2详解】 依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救援船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ 【针对训练2】（多选题）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ） A. 观测点位于处的北偏东方向 B. 当天10：00时，该船到观测点的距离为 C. 当船行驶至处时，该船到观测点的距离为 D. 该船在由行驶至的这内行驶了 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD． 【详解】A选项中，,， 因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确. B选项中，在中，，，则,又因为， 所以km,故B错误. C选项中，在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km，故C正确. D选项中，在中，由余弦定理，得 ，即km，故D正确. 故选：ACD． 【典例3】在中，角，，所对的边为，，，已知，是边上的点，满足，. （1）求角大小； （2）求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和性质及余弦两角和与差的公式化简可得角的大小； （2）利用向量的基本定理，以，为基底，表示出，两边平方，化简后利用均值不等式可求出最大值，结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由三角形内角和性质可知，， ， ，又 ； 【小问2详解】 因为,所以 所以，又， ， 即， ， 解得，当时等号成立， . 【针对训练3】在中，角所对的边分别，且 （1）求角A的值； （2）已知在边上，且，求的面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求， （2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解. 【小问1详解】 在中因为． 由正弦定理得， 所以， 因为，所以．故 又是的内角，所以．从而． 而A为的内角，所以； 【小问2详解】 因为所以,所以， 从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故的面积的最大值为. 【典例4】的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【小问1详解】 由题设及正弦定理得， ∵，∴， [法一]∵，∴或 当时，，，符合 当时，，即，得，舍 综上，. [法二]∵，， ∴， 又∵，∴化简得， ∵，则，∴，∴ 【小问2详解】 由（1）知，又，∴， 正弦定理得， ∵为锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴，∴，∴， 从而，即面积的取值范围是. 【针对训练4】在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围． 【答案】（1）60°； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出cosB及B； (2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据即可求三角形面积的范围． 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得，即，即， 即， 由余弦定理得，∵，∴； 【小问2详解】 ∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵， ∴由正弦定理得， ∴， ∵△ABC为锐角三角形，∴，解得， 从而，∴． 课堂巩固 1. 在中，已知，则的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角函数的性质及充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，则成立； 在中，,得及正弦定理， 即，所以成立. 所以“”是“”的充要条件,即的充要条件. 故选：C. 2. 已知中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三边的比令，，，，进而可知，根据勾股定理逆定理推断出，进而根据推断出，进而求得，则三个角的比可求． 【详解】解：依题意令，，，， ，所以为直角三角形且， 又，且， ， ， 故选：A． 3. 如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A，B两个观测点，并在A，B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且，则此建筑物的高度为（ ） A. 45m B. 60m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析可得，，在中利用余弦定理运算求解. 【详解】由题意可得：，在Rt中，由可得； Rt中，由可得； 在中，由余弦定理， 即，整理得, 解得或（舍去）， 所以此建筑物的高度为60m. 故选：B. 4. 在中，已知，且，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】运用余弦定理先求出A，再运用余弦定理求出与的关系即可. 【详解】由条件 知： ， ，由余弦定理得 ， ，又 ，是等边三角形； 故选：C. 5. （多选题）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例即可判断；对于B，由余弦定理可得，可得为锐角，进而判断；对于C，由正弦定理得，，进而得到，进而判断；对于D，由正弦定理得，进而得到，进而判断. 【详解】对于A，当时，， 此时是等边三角形，故A错误； 对于B，由，得 所以， 所以，即为锐角，角、无法确定大小，故B错误； 对于C，， 由正弦定理得，， 即，即， 所以，所以是等腰三角形，故C正确； 对于D，， 由正弦定理得， 即， 所以，即是等边三角形，故D正确. 故选：CD. 6. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过条件得到，再通过向量的坐标运算计算，然后利用正弦定理边化角整理可得答案； （2）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 ，，， ， 由正弦定理得，又， ， ，又， ； 【小问2详解】 由余弦定理， 解得，负值舍去， . 课后作业 1、 单选题 1. 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】已知，结合余弦定理得出， 又，所以. 已知，结合正弦定理得，则. 所以，故. 故选：A. 2. 已知的内角的对边分别是，面积满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理化简条件即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 故选：D. 3. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【详解】解： 由题意知：所以， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 由于 在中， (m)． 故选：C． 4. 若，且，那么是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论. 【详解】因为，则，可得， 由余弦定理可得，因为，所以，， 因为，则，整理可得. 所以，为等边三角形. 故选：A. 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，点D是边上一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【分析】利用正弦定理可得，根据平面向量的线性运算与数量积的运算律可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 因为，由正弦定理得， 由，得，又，得， 又，则， 所以， 得， 由，得， 又，当且仅当时等号成立. 所以，即BD的最小值为. 故选：C 二、多选题 6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦函数单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断D. 【详解】对于A，所以函数在上单调递减，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理可得：，∴， 此时无解，故B错误； 对于C，∵，为三角形的内角， ∴，可知A，B，C均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：∵，所以由正弦定理可得，又, 因此， ∴，∴，b＝a或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 7. 在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据锐角三角形可判断A，由正弦定理及两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性可判断C，由锐角三角形可判断角的范围，利用正切函数的单调性判断D，根据C及正弦定理、二倍角的正弦公式判断B. 【详解】 为锐角三角形，，即，可得，故正确； 由正弦定理可知，，即， ，又三角形为锐角三角形，，即，故C正确； 由C知，，解得，所以，所以，故D正确； ，而，所以，故B错误． 故选：ACD 8. 在中，角的对边分别是，且满足，则（ ） A. B. 若，则的周长的最大值为 C. 若为的中点，且，则的面积的最大值为 D. 若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用正弦定理求解判断；B.利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，再利用时间恒等变换和三角函数的性质求解判断；C. 由为的中点，得到，再结合基本不等式，利用三角形的面积公式求解判断；D.由三角形面积公式得到，再利用基本不等式求解判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 则，因为，所以，故A正确； 若，则的外接圆半径为：， ， ， ，，周长的最大值为9，故B错误； 因为为的中点，且，所以 ， 则，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，故C正确； 由题意得：，即，即 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 9. 海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由及可求出的面积，结合即可求出. 【详解】 ，且，， ， 故答案为： 10. 彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理可得，再由可得答案. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得，可得， 在直角三角形中，， 所以. 故答案为：. 11. 已知中角所对的边为，点在上，，记的面积为的面积为，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用面积公式和已知面积比可以求得，从而得到，在和中同时应用正弦定理并结合得到．设，则，，在和中同时应用余弦定理并结合，消角求值； 【详解】设，则， 则，． 因为，所以． 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式相比得． 设，则，， 在中，由余弦定理得， 所以①． 在中，由余弦定理得， 所以②， 联立①②得，所以． 故答案为：2． 四、解答题 12. 已知在中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角变换得到，再利用余弦定理即可得解； （2）代入所得数据得到，再利用基本不等式得到，从而利用三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理及得， 由余弦定理得， 又因，所以． 【小问2详解】 由（1）得，又， 所以由得， 因为，即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故的面积最大值为． 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将条件化简，再利用正弦定理和三角恒等变换求出，根据三角形内角的取值范围即可求解； （2）法1：利用正弦定理将边化为角，然后利用三角形内角和定理、三角恒等变换和余弦函数的图像即可求解；由（1）先利用余弦定理得到，然后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，化简可得， 由正弦定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即，因为，则， ∴，则. 【小问2详解】 法1：由正弦定理可得 ， 因为，所以，则， 所以，故， 所以的取值范围为. 法2：由（1）可知，在中，由余弦定理可得， 则， ，，所以，则， 所以的取值范围为. 14. 已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足． （1）判断角B与角C的关系，并说明理由； （2）若，求的范围． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，和差公式化简，再结合三角形内角和定理可得； （2）利用（1）中结论和正弦定理，将所求转化为正切函数，利用正切函数性质可得. 【小问1详解】 ∵，，∴或， ∴， ∴， ∴. ∵， ， ∴. ∵， ∴或， ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，． （1）若，求的面积； （2）求周长的最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由正弦定理得出，再由余弦定理得出，进而求出面积；法二：由余弦定理求出，，进而求出面积； （2）法一：由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质得出周长的最大值；法二：由余弦定理结合基本不等式得出周长的最大值. 【小问1详解】 法一：∵，由正弦定理得， ∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴． 由余弦定理得：， ，，∴或4， ∴ 或． 综上，的面积为或. 法二：由余弦定理得，，∴， ∴，∵，． 由余弦定理得：， ，，∴或4， ∴ 或． 综上，的面积为或. 【小问2详解】 法一：由正弦定理得：， ,其中， 所以当时，； 法二：由余弦定理得：∵，∴， ∵， ∴ ，当且仅当时取到最大值． 【备选题】 1. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角C； （2）若的周长为20，面积为，求边c． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，结合计算即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得， ， ，又，得， 所以，即， 由，解得； 【小问2详解】 由（1），得，则， 由余弦定理，得，即， 得.又， 所以，即， 即，解得. 2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知. （1）求A； （2）设，当的值最大时，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简得，进而分析最值，运算求解即可 【小问1详解】 因为，即， 可得， 整理得， 且，则，可得， 且，则， 所以，解得. 【小问2详解】 由正弦定理可知:，则， 可得 ， 其中， 当时，取得最大值， 此时， 则，， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年期中专题复习学案（三） 平面向量的应用 【典例1】（多选题） 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，一定有 B. 若，那么一定是钝角三角形 C. 一定有成立 D. 若，那么一定是等腰三角形 【针对训练1】（多选题） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，则此三角形有2解 D. 若，则为等腰三角形 【典例2】如图，A，B是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. （1）求B，C两点间的距离； （2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【针对训练2】（多选题）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ） A. 观测点位于处的北偏东方向 B. 当天10：00时，该船到观测点的距离为 C. 当船行驶至处时，该船到观测点的距离为 D. 该船在由行驶至的这内行驶了 【典例3】在中，角，，所对的边为，，，已知，是边上的点，满足，. （1）求角大小； （2）求三角形面积的最大值. 【针对训练3】在中，角所对的边分别，且 （1）求角A的值； （2）已知在边上，且，求的面积的最大值 【典例4】的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【针对训练4】在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围． 课堂巩固 1. 在中，已知，则的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 已知中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A，B两个观测点，并在A，B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且，则此建筑物的高度为（ ） A. 45m B. 60m C. D. 4. 在中，已知，且，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. （多选题）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是等边三角形 6. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 课后作业 1、 单选题 1. 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角的对边分别是，面积满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. m C. m D. m 4. 若，且，那么是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，点D是边上一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 7. 在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别是，且满足，则（ ） A. B. 若，则的周长的最大值为 C. 若为的中点，且，则的面积的最大值为 D. 若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9 三、填空题 9. 海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为__________. 10. 彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________. 11. 已知中角所对的边为，点在上，，记的面积为的面积为，则___________. 四、解答题 12. 已知在中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，求面积的最大值． 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 14. 已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足． （1）判断角B与角C的关系，并说明理由； （2）若，求的范围． 15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，． （1）若，求的面积； （2）求周长的最大值． 【备选题】 1. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角C； （2）若的周长为20，面积为，求边c． 2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知. （1）求A； （2）设，当的值最大时，求△ABC的面积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $