专题01 平面向量（期中复习知识清单，13常考题型4易错6技巧）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题01 平面向量 （10知识&13题型&4易错&6方法清单） 知识点1 平面向量基本概念 1.向量 在数学中,我们把 的量叫做向量. 2.向量的表示 ⑴几何表示:向量可以 表示,有向线段的 表示向量的大小,有向线段的 表示向量的方向. ⑵字母表示:向量可以用 表示 ⑶两种特殊的向量 零向量: 的向量叫做零向量,记作. 单位向量: 的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 _______________叫做平行向量.向量与平行,记作. 规定:_____________,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 _____________的向量叫做相等向量. 知识点2 平面向量线性运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝ (2)结合律：(a＋b)＋c＝ 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋ 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝ (2)λ(μa)＝ (3)λ(a＋b)＝ 知识点3 平面向量共线定理 1.向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则 ，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数 ． 2.三点共线等价形式： （，为实数）， 知识点4 平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个 的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝ 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为 . (2)在正交基下向量的线性表示称为 . (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 知识点5 平面向量运算的坐标表示 1.向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ , a－b＝ ， λa＝ . 2.向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ . 3.平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是 . 知识点6 平面向量数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是： ． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 叫做向量a在b方向上的投影， _______叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于______________________________________ 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝ ＝ ； (3)分配律：a·(b＋c)＝ ． 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝_____ |a|＝_____ 数量积 a·b＝____ a·b＝____ 夹角 cos θ＝_____ cos θ＝ a⊥b a·b＝_____ ______＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤_____ |x1x2＋y1y2|≤ 知识点7 极化恒等式（拓展） 1. 基本原理与公式 向量通用形式：对任意平面向量 、，有： ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即：___________ ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： _________=__________________ 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： __________ 知识点8 矩形大法（拓展） 1. 基本原理与公式 ①矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： __________ 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 知识点9 等和线（拓展） 1. 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足________ （ 为常数）的点构成的直线称为“等和线”. 核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 知识点10 奔驰定理（拓展） 1. 奔驰定理的核心内容 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则=_________ （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 2．奔驰定理的特殊情形（与三角形“四心”的转化） 奔驰定理对三角形的重心、内心、外心、垂心均成立，且可简化为特定形式： 面积关系 奔驰定理简化形式 重心 内心 外心 垂心 题型1 平面向量的概念 【例1】（多选）（25-26高一下·陕西汉中·月考）下列说法中错误的是（ ） A．若、、、四点构成平行四边形，则 B．若向量，则与的方向相同或相反 C．若为非零实数，且，则向量与共线 D．若，则 【变式1-1】（多选）（25-26高一下·广东·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（多选）（25-26高一下·河北石家庄·月考）关于向量，下列说法错误的有（   ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 题型2 平面向量的线性运算 【例2】（25-26高一下·山东淄博·月考）以下各式，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026年北京市学业水平考试）已知为等边三角形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·福建莆田·月考）（1）化简：； （2）化简：； （3）在中,点为重心,点在线段上,且满足,若,,请用,表示. 题型3 三点共线问题 【例3】（25-26高一下·北京平谷·月考）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于________． 【变式3-2】（25-26高一下·河北石家庄·月考）平面内三点共线，则__________. 题型4 向量共线问题 【例4】（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（24-25高一下·四川遂宁·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（24-25高一下·安徽合肥·月考）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 平面向量基本定理的应用 【例5-1】（25-26高一下·河南周口·月考）如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高一下·广东佛山·月考）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2 【变式5-1】（25-26高一下·北京·月考）下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·重庆·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 题型6 向量的坐标运算 【例6】（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 题型7 向量的数量积运算 【例7】（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知菱形的边长为，E为直线上的一点，，则的值为__________. 【变式7】（25-26高一下·河南·月考）在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 题型8 向量的夹角问题 【例8】（25-26高一下·河南周口·月考）已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面内两个不共线的向量和，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·江苏苏州·月考）设非零向量和的夹角为，则“”是“为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型9 向量的模长问题 【例9】（2026·陕西·二模）已知向量满足.当与的夹角最大时，（    ） A． B．2 C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【变式9-2】（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 题型10 向量的垂直问题 【例10】（25-26高一下·北京平谷·月考）设非零向量，，则“或”，是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10】（25-26高一下·河南周口·月考）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 题型11 向量的投影问题 【例11】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一下·海南·月考）已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2026·河北廊坊·一模）已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．20 B． C．10 D． 题型12 向量在物理中的应用 【例12】（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知力，作用于同一质点，使之由点移动到点，则力，的合力对质点所做的功为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式12-1】（25-26高三下·湖南长沙·月考）一条河的宽度为d，一船从A 处出发到河的正对岸B 处，船速的大小为||，水速的大小为 ||，则船行到 B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 题型13 向量的新定义题 【例13】（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式13-1】（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【变式13-2】（25-26高一上·河北保定·期中）对于一组向量且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”. (1)设向量，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若向量，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数的取值集合；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“长向量”，且，设在平面直角坐标系中的点集，满足，且与关于点对称，与关于点对称（），求的最小值. 易错点1 对平面向量的基本概念理解不到位 【例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（25-26高一下·广东汕头·月考）关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 易错点2 忽略平面向量夹角的范围与方向性 【例2】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D．当时，在上的投影向量的坐标为 易错点3 忽略向量共线时的两种情况 【例3】（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ． 【变式3-1】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （     ） A． B． C．或 D． 易错点4 错用平面向量的运算律 【例4】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D.∥ 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D．若与的夹角为钝角，则 【变式4-2】（多选）（2025全国高三第一次模拟）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方法1 基向量法 适用：求线段的长、角的大小及向量的模长、夹角问题. 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【变式1-1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1-2】（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 方法2 坐标化法 适用：适用于垂直、平行、夹角、长度、交点等问题，思路直接、计算规范. 【例2】（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为______. 【变式2-1】（24-25高一下·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·月考）在中，为的中点，，与相交于点F，则________． 方法3 极化恒等式法 适用：用于数量积、模长、中点问题，快速将转化为模平方差，尤其适合三角形中线、向量数量积定值、最值题型. 【例3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【变式3-2】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法4 等和线法 适用：平面向量中求参数和或差的取值范围、最值等. 【例4】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式4-1】（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法5 矩形大法 适用：：直角、 矩形背景，建系求向量模长、数量积最值. 【例5】在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 【变式5】在四边形中，，，则的最小值为 . 方法6 奔驰定理法 适用：平面向量中，以三角形为背景的面积比例与向量系数关系问题. 【例6】（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【变式6-2】（多选）（24-25高一下·广东·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 （10知识&13题型&4易错&6方法清单） 知识点1 平面向量基本概念 1.向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的表示 ⑴几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ⑵字母表示:向量可以用字母,,,…表示 ⑶两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作. 规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 知识点2 平面向量线性运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋(－b) 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa (2)λ(μa)＝(λμ)a (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点3 平面向量共线定理 1.向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 2.三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 知识点4 平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2} 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基 知识点5 平面向量运算的坐标表示 1.向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1). 2.向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). 3.平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 知识点6 平面向量数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 知识点7 极化恒等式（拓展） 1. 基本原理与公式 向量通用形式：对任意平面向量 、，有： ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： 知识点8 矩形大法（拓展） 1. 基本原理与公式 ①矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 知识点9 等和线（拓展） 1. 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点构成的直线称为“等和线”. 核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 知识点10 奔驰定理（拓展） 1. 奔驰定理的核心内容 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则 （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 2．奔驰定理的特殊情形（与三角形“四心”的转化） 奔驰定理对三角形的重心、内心、外心、垂心均成立，且可简化为特定形式： 面积关系 奔驰定理简化形式 重心 内心 外心 垂心 题型1 平面向量的概念 【例1】（多选）（25-26高一下·陕西汉中·月考）下列说法中错误的是（ ） A．若、、、四点构成平行四边形，则 B．若向量，则与的方向相同或相反 C．若为非零实数，且，则向量与共线 D．若，则 【答案】ABD 【解答】A选项：若四点构成平行四边形，并没有限制四个点顺序，所以不一定有，如形成的平行四边形为平行四边形时, 就不存在, 所以A错误. B选项：零向量与任意向量平行，零向量方向任意，故向量时，与方向不一定相同或相反，B错误. C选项：非零实数满足，由共线向量定理知与共线，C正确. D选项：若，，，但与不一定平行，D错误. 【变式1-1】（多选）（25-26高一下·广东·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义可判断A、B的正误；根据零向量的定义可判断C的正误；根据平行向量的定义可判断D的正误． 【解答】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误； 向量相等，长度一定相等，B正确； 长度为0的向量是零向量，C正确； 相反向量一定是平行向量，D正确． 【变式1-2】（多选）（25-26高一下·河北石家庄·月考）关于向量，下列说法错误的有（   ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 【答案】ABD 【解答】选项A：温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误； 选项B：零向量的方向是任意的，故B错误； 选项C：等边三角形的角均为，则与的夹角为， 故C正确； 选项D：向量不能比较大小，故D错误． 题型2 平面向量的线性运算 【例2】（25-26高一下·山东淄博·月考）以下各式，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 【变式2-1】（2026年北京市学业水平考试）已知为等边三角形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】如图所示，作BC中点D，则，因为为等边三角形的中心，则， 所以，，， 则. 【变式2-2】（25-26高一下·福建莆田·月考）（1）化简：； （2）化简：； （3）在中,点为重心,点在线段上,且满足,若,,请用,表示. 【答案】（1）（2）（3） 【解答】（1）. （2）. （3）因为，故，故， 延长交于，则， 故 . 题型3 三点共线问题 【例3】（25-26高一下·北京平谷·月考）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于________． 【答案】/ 【分析】求出向量，由题意可得，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【解答】由题意可得， 因为、、三点共线，则， 则存在实数，使得，即， 因为、是两个不共线的向量，所以，，解得. 【变式3-2】（25-26高一下·河北石家庄·月考）平面内三点共线，则__________. 【答案】 【解答】由题可知，， 因为三点共线，所以和共线， 所以，解得. 所以， 故. 题型4 向量共线问题 【例4】（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【解答】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 【变式4-1】（24-25高一下·四川遂宁·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量共线得充分性成立，再由向量共线不一定有两向量的数量关系成立，即必要性不成立. 【解答】因为，所以同向共线，故， 因为，所以同向共线或反向共线，所以不一定能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·安徽合肥·月考）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断. 【解答】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 题型5 平面向量基本定理的应用 【例5-1】（25-26高一下·河南周口·月考）如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式. 【解答】在中，是线段上的靠近的三等分点，则， 即，解得. 【例5-2】（25-26高一下·广东佛山·月考）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【解答】在正方形中，为的中点，所以， 又因为，所以，则. 【变式5-1】（25-26高一下·北京·月考）下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】选项A：，， ，不能作为基底； 选项B：，， ，不能作为基底； 选项C：，， 两向量不共线，可以作为基底； 选项D：， 零向量与任意向量共线，不能作为基底． 【变式5-2】（25-26高一下·重庆·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【解答】解：由，，又，故，所以. 因为，所以，又三点共线， 所以. 因此，当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 题型6 向量的坐标运算 【例6】（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【解答】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 【变式6-1】（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，再结合边长及垂直应用平面向量数量积公式列式计算求解. 【解答】设，因为四边形是正方形，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去， 所以， 所以点. 故选：A. 【变式6-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【解答】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 题型7 向量的数量积运算 【例7】（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知菱形的边长为，E为直线上的一点，，则的值为__________. 【答案】或 【分析】根据，分情况讨论和 时，根据向量的运算法则及数量积的运算即可求解. 【解答】因为菱形的边长为，，所以， 当时，，， . 当时，D为的中点，则，， . 所以的值为或. 【变式7】（25-26高一下·河南·月考）在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 【答案】/ 【分析】设，分别为的中点，连接，，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案. 【解答】由题意知的外接圆圆心为，为的中点，则； 设，分别为，的中点，连接，则，， ， 结合，，可知，, 故，即. 题型8 向量的夹角问题 【例8】（25-26高一下·河南周口·月考）已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的条件结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得结果. 【解答】因为向量、为单位向量，且， 则，所以， 故， 又因为，故，即、的夹角为. 【变式8-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面内两个不共线的向量和，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】， 向量与夹角为钝角，则数量积小于0且两向量不反向，即， 展开：  代入：， 再排除共线或反向的情况：若两向量共线反向，则，整理得，， 由于不共线，则系数必为，即，代入，故时需排除， 综上所述，解得的范围为. 【变式8-2】（25-26高一下·江苏苏州·月考）设非零向量和的夹角为，则“”是“为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】若，则，整理得，即， 所以， 又，所以，不一定是锐角，充分性不成立； 和为非零向量，若为锐角，则，则， 即，即，必要性成立. 所以，对非零向量和，则“”是“为锐角”的必要不充分条件. 题型9 向量的模长问题 【例9】（2026·陕西·二模）已知向量满足.当与的夹角最大时，（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将平方后换元，利用向量的夹角公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解即可. 【解答】将平方得， 令，则，所以， 设与的夹角为， 当时，，与条件矛盾，所以， 又，分子分母同时除以，， 令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，， 所以当与的夹角最大时，. 【变式9-1】（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【解答】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 【变式9-2】（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 【答案】/ 【解答】由题意得，， 则 ， 因为，， 则 ， 所以线段的长度为 . 题型10 向量的垂直问题 【例10】（25-26高一下·北京平谷·月考）设非零向量，，则“或”，是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】因为. 若或可得； 但不能得到或. 所以“或”，是“”的充分不必要条件. 【变式10】（25-26高一下·河南周口·月考）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】因为，所以，即， 又因为，， 所以，从而． 题型11 向量的投影问题 【例11】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 【变式11-1】（25-26高一下·海南·月考）已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量垂直求得，再根据投影向量公式求解即可. 【解答】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 【变式11-2】（2026·河北廊坊·一模）已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．20 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】设，借助投影向量定义计算可得，，解出即可得，再利用模长定义计算即可得. 【解答】设，由向量在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 由在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 即有，解得，则， 则. 题型12 向量在物理中的应用 【例12】（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知力，作用于同一质点，使之由点移动到点，则力，的合力对质点所做的功为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解答】依题意，，， 所以合力对质点所做的功为. 【变式12-1】（25-26高三下·湖南长沙·月考）一条河的宽度为d，一船从A 处出发到河的正对岸B 处，船速的大小为||，水速的大小为 ||，则船行到 B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】由题意，设船速为，水速为，船的实际行驶速度为合速度; 因为船要到达河的正对岸，所以船速、水速与合速度构成直角三角形，其中船速为斜边，水速和合速度为两直角边，如图： 已知船速的大小为||，水速的大小为||，合速度的大小为||，则有 【变式12-2】（25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【解答】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 题型13 向量的新定义题 【例13】（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件及向量的坐标运算即可判断①；利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可判断②；根据已知条件及向量的共线定理即可判断③. 【解答】对于①，，故①正确； 对于②，， 故②错误； 对于③，对于充分性，若，当时，即，则； 若，必存在唯一实数，使得，即， 所以，两式相除得，即，故充分性成立； 对于必要性，若，当，满足， 当，不妨设，则， ， 所以，故必要性成立. 所以的充要条件是.故③正确. 故选：C 【变式13-1】（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【解答】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 【变式13-2】（25-26高一上·河北保定·期中）对于一组向量且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”. (1)设向量，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若向量，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数的取值集合；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“长向量”，且，设在平面直角坐标系中的点集，满足，且与关于点对称，与关于点对称（），求的最小值. 【答案】(1)； (2)存在，，且； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用“长向量”的定义列式求出范围. （2）由给定向量，探讨向量组的周期性，再利用“长向量”的定义求得，进而求出取值集合. （3）根据给定条件，利用“长向量”的定义可得，再利用向量的坐标运算，结合归纳递推求解. 【解答】（1）依题意，， 由是向量组的“长向量”，得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）依题意，，若存在“长向量”，只需， 而，则该向量组以6为周期， 又， 则，， ， 因此，，解得， 所以向量组存在“长向量”，正整数的取值集合为，且. （3）依题意，，即， 同理， 三式相加得，即， 所以，即， 所以， 设，则， 得 ， 同理，， 因此， 而， 则， 即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 易错点1 对平面向量的基本概念理解不到位 【例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解答】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误(易错点)； 注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）； 向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一下·广东汕头·月考）关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【解答】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. 易错点2 忽略平面向量夹角的范围与方向性 【例2】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】由向量与向量的夹角为钝角， 得，且向量与向量不共线， 所以，即， 由有，解得，(易错点) 忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角 所以的取值范围是． 故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】 由题意知，，不共线，所以， 所以与的夹角为锐角， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件； 故选：C. 【变式2-2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D．当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解答】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当与夹角为锐角时，则，解得， 又时，，此时向量夹角为0， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误； 对于D：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD． 易错点3 忽略向量共线时的两种情况 【例3】（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ． 【答案】或. 【解答】由题意，单位向量与向量共线， 则向量（易错点）， 此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量 即向量的坐标是或. 【变式3-1】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 【答案】BD 【解答】对于A：若且，，则，所以A错误； 对于B：若共线，则或，所以，所以B正确； 对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确； 对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中， 为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图： 即在上的投影向量为，所以，所以D正确. 故选：BD 【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解答】因为，所以可设与共线且反向的单位向量， 又 解得，或（舍去）， 故. 故选：B 易错点4 错用平面向量的运算律 【例4】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D.∥ 【答案】C 【解答】由已知，所以，即（易错点）， 要注意上式两边不能同除以因为向量不能做除法 所以，故选C. 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D．若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【解答】对于A，因为，所以，A正确． 对于B，因为，所以，得，B正确． 对于C，因为在上的投影向量为，所以， 即，化简可得， 因为，所以m有两个实数解，C错误． 对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线， 所以，解得， 假设，此时无解， 所以与的夹角为钝角，则，D错误． 故选：AB. 【变式4-2】（多选）（2025全国高三第一次模拟）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AB 【解答】A. 因为，所以，则，故正确； B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确； C.若，则，则，故错误； D. 与共线，与共线，故错误； 故选：AB 方法1 基向量法 适用：求线段的长、角的大小及向量的模长、夹角问题. 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【解答】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 【点评】选定两个不共线向量为基底，将所有向量统一用基底线性表示，利用基底线性无关性列方程求解.关键：基底标准化、转化恒等、系数相等，适用于求交点、比例、数量积等. 【变式1-1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【解答】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【变式1-2】（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【解答】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 方法2 坐标化法 适用：适用于垂直、平行、夹角、长度、交点等问题，思路直接、计算规范. 【例2】（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】依题意作图并建立坐标系，如图，可设，利用数量积和模的坐标运算得，利用余弦函数值域求解. 【解答】依题意作图并建立坐标系，如图，， 可设， 则，， 则， 由， 得，，， 又因为，所以，故. 【点评】建立直角坐标系，将向量转化为坐标运算，把几何问题代数化,利用坐标加减、数乘、数量积公式直接计算，从而化证为算，降低思维难度. 【变式2-1】（24-25高一下·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 【答案】 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【解答】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·月考）在中，为的中点，，与相交于点F，则________． 【答案】 【分析】先由余弦定理确定形状，建立平面直角坐标系，计算向量的夹角，弦化切计算即可. 【解答】由余弦定理可知, 所以为直角三角形， 不妨以C为中心分别为轴，建立平面直角坐标系，    则由题意可知：， 即，且， 易知， 即是钝角， 所以. 方法3 极化恒等式法 适用：用于数量积、模长、中点问题，快速将转化为模平方差，尤其适合三角形中线、向量数量积定值、最值题型. 【例3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解答】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得，结合，即可求范围. 【解答】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    【变式3-2】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答. 【解答】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且， 所以. 故选：A. 方法4 等和线法 适用：平面向量中求参数和或差的取值范围、最值等. 【例4】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解答】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 【点评】等和线应用策略： 1．识别定值和结构：x+y=k 型线性约束. 2．作平行等和线，平移找边界. 3．最优解在可行域顶点、 边界. 4．优先用几何直观，再代数验证. 【变式4-1】（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】如图所示，显然是等和线， 当动圆圆心是点时，直线是距离最近的等和线． 易知点到这两条等和线的距离比为，从而此时的； 而当动圆的圆心在点时，直线是距离最远的等和线， 易知点到直线与直线的距离比为， 从而此时的．综上， 故选：C 【变式4-2】（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 方法5 矩形大法 适用：：直角、 矩形背景，建系求向量模长、数量积最值. 【例5】在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 【答案】D 【解析】把直角三角形ABC补成矩形 易知，所以 故 故选D 【变式5】在四边形中，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】构造正方形和圆弧，根据矩形恒等式可知，，数形结合得到最小值. 【解析】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形恒等式可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 故答案为： 方法6 奔驰定理法 适用：平面向量中，以三角形为背景的面积比例与向量系数关系问题. 【例6】（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】是的垂心，延长交与点， 设， ， 同理可得，， 又，， 又，， 不妨设，其中， ， ，解得或， 当时，此时，则都是钝角， 则，矛盾. 故，则，是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 【点评】奔驰定理解题策略： 1. 识别“△内一点+向量线性和为0”的结构。 2.系数对应对面三角形面积：SA:SB:SC=x:y:z。 3.先整理向量式，再定面积比。 4.优先用于面积比、重心、垂心、内心题型。 5.点在外部慎用，需带符号判断。 【变式6-1】（多选）（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【解答】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【变式6-2】（多选）（24-25高一下·广东·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解答】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $