精品解析：吉林长春市第二实验中学2025-2026学年度下学期对时训练高一数学试题

2025—2026学年度下学期对时训练 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页. 考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 5. 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. B. C. D. 6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体有6个面是正方形 B. 该几何体有8个面是正三角形 C. 该几何体恰有26条棱 D. 该几何体的表面积比原正方体的表面积小 7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响.下图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为纯虚数 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12. 在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为______. 13. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则______． 14. 2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m. 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. （1）求顶点的坐标； （2）在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 17. 如图，在三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，点D在上，且，. （1）求B的大小； （2）若，求的长. 18. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为． （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期对时训练 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页. 考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由于， 则， 则； 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 5. 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A 6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体有6个面是正方形 B. 该几何体有8个面是正三角形 C. 该几何体恰有26条棱 D. 该几何体的表面积比原正方体的表面积小 【答案】C 【解析】 【分析】根据截取的几何体形状可判断AB正确，再根据正方体每个表面的棱长可判断C错误， 【详解】对于A，B，因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形， 原来的六个表面还是正方形，所以A，B正确． 对于C，因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确． 对于D，不妨取正方体的棱长为2，截去的每个正三棱锥的侧面面积为， 而它的底面积是边长为的正三角形，其面积为， 即截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确． 故选：C 7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 8. 《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响.下图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解. 【详解】由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为 设三角形的腰为 由正弦定理可得，解得 所以三角形的面积为： 所以每块八卦田的面积约为： 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，需熟记定理和面积公式，属于基础题. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】对于AB：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体； 对于C：该展开图仅包含3个三角形，少于正四面体所需的4个面，无法围成正四面体，不符合要求. 对于D：折叠后会出现面重叠，无法围成封闭的正四面体，不符合要求； 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12. 在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得、的等量关系，然后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】依题意，，， 、、三点共线，， ， 当且仅当，，时，即时等号成立. 故答案为：. 13. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，同除，再由余弦定理、正弦定理将边化角得到，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以. 故答案为： 14. 2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m. 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】借助余弦定理可用与表示出，再利用二次函数性质与三角函数有界性即可得最大最小值. 【详解】设改变方向的地点为M，终点为P， 由于，所以，， ，， 由余弦定理得 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可知当时， 取得最小值； 由，则，， 结合二次函数的性质可知当或时， 取得最大值； 综上所述，，最远距离是，最近距离是. 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. （1）求顶点的坐标； （2）在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【小问1详解】 设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. 【小问2详解】 存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【小问1详解】 因为复数满足， 所以， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 17. 如图，在三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，点D在上，且，. （1）求B的大小； （2）若，求的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，应用和角正弦公式及三角形内角的性质化简求； （2）应用正弦定理求得，根据已知及余弦定理求. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，则， 所以，，故， 由，则； 【小问2详解】 由，，，则，故， 由，则，所以，则，故， 又，则为等腰三角形，且，故， 在中， 所以. 18. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为． （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【小问1详解】 由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； 【小问2详解】 由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. 【小问2详解】 (i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $