精品解析：江苏张家港市梁丰初级中学2025-2026学年下学期九年级数学第六周学情自测

梁丰初级中学初三数学第六周周测卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在（　　） 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 70～90 90～110 110～130 130～150 150～170 人数 4 14 17 10 5 A. 第二组 B. 第三组 C. 第四组 D. 第五组 6. 如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 7. 如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（ ） A. 7 B. C. D. 8. 如图，内接于，的平分线交于点E，交于点D，连接，若，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 3.5 D. 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 10. 分解因式：___________. 11. 已知，则____． 12. 已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是________． 13. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 14. 已知点关于原点的对称点为，且在直线上，把直线的图象向下平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 15. 如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 16. 如图，在四边形中，，，，则______． 三、解答题（82分） 17. 计算： 18. 解方程组 19. 先化简，再求值：，其中满足． 20. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图； （2）请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______； （3）若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数． 21. 现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“前”、郭”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若小刚同学从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 ； （2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求小明取出两个球上的汉字能组成“前郭”的概率． 22. 如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 23. 如图，中，，圆O为的外接圆，弦于点F，交于点E，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 24. 如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． （1）如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； （2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 25. 已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁丰初级中学初三数学第六周周测卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴得到，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得，， 则，，，， 故C正确． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．不等式两边同时加或减去同一个数字或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数字或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数字或整式，不等号方向改变．据此逐项分析判定即可． 【详解】解：∵， ∴，，故选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的增减性，对应反比例函数，时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第四象限， ∴． 故选：A． 5. 某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在（　　） 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 70～90 90～110 110～130 130～150 150～170 人数 4 14 17 10 5 A. 第二组 B. 第三组 C. 第四组 D. 第五组 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，可以计算出抽取的学生人数，然后即可得到中位数落在哪一组． 【详解】解：4＋14＋17＋10＋5＝50，偶数个数据中位数为中间两个数的平均值， 第25和26个数据在第三组， 中位数在第三组， 故选：B． 【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义及求法． 6. 如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意可得，进而列方程求出，再根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ，， ， 解得：， 顶点在函数的图象上， ， ． 7. 如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：． 8. 如图，内接于，的平分线交于点E，交于点D，连接，若，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 3.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质得出，即，，，设，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值已舍去）， 经检验，为原分式方程的根， ∴． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 10. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 11. 已知，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法法则逆运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的除法逆运算法则，可得， 将，代入得： 原式． 12. 已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得母线长，继而根据弧长公式求得弧长，根据圆锥的侧面展开图的面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为7，高为24， ∴圆锥的母线长， ∵圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， ∴圆锥侧面展开图的面积． 13. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 14. 已知点关于原点的对称点为，且在直线上，把直线的图象向下平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 【答案】## 【解析】 【详解】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．先求出点的坐标，再求出k的值，最后根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 解：由题知， 点和点P关于原点对称，且点P的坐标为， 点的坐标为． 将点代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 将直线的图象向下平移2个单位后，所得直线的解析式为． 故答案为：． 15. 如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正切的定义及勾股定理．连接，根据折叠的性质得到，，，证明，从而得出，再由设，则，从而得到相关线段的表达式，设，则，，，利用勾股定理求得x的值，进而得到的值，最终可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 由折叠性质可知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，通过，可得点四点共圆，所以，由，设，则，所以，得，再证明，所以，故有，从而求得，，所以，，代入，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点四点共圆，如图， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（82分） 17. 计算： 【答案】10 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键． 对①式乘以 3 ，②式乘以 2 ，再利用加减消元法求解． 【详解】解：， ，得③， ，得④， ，得，解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 20. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图； （2）请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______； （3）若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数． 【答案】（1）100， 补全条形统计图如下： （2） （3）人． 【解析】 【分析】（1）根据最喜欢去B地研学的学生人数和所占百分比求出调查的学生人数，进而求出最喜欢去A地研学的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用乘最喜欢去D地研学的学生人数占比求解即可； （3）用七年级学生人数乘以最喜欢去C地研学的学生人数占比求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 最喜欢去A地研学的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：， 即研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数为人． 21. 现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“前”、郭”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若小刚同学从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 ； （2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求小明取出两个球上的汉字能组成“前郭”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果，再找出小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意，从中任取一个球共有4种结果， 则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的结果有2种， 则小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的概率为， 答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的概率为． 22. 如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的性质求出，从而可得，，将代入反比例函数计算即可得出结果； （2）直线的解析式为，令直线交轴于点，求出，得到，再由计算即可得出结果； （3）求出直线的解析式为，从而求出，得到，，计算得出，则，设，再分两种情况：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点；当点在第一象限时，过点作轴交直线于点，分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 如图：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时点的横坐标为； 如图，当点在第一象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23. 如图，中，，圆O为的外接圆，弦于点F，交于点E，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理推出，证明从而推出； （2）先根据求出，再利用勾股定理求出，最后利用得出，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． 由（1）知，， ∴，即． ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． （1）如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； （2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过点B作于点N，延长交于点M，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得，再结合图形即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． 【小问2详解】 解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 25. 已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长． 【答案】（1） （2） ， 理由：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取点，连接， 则，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴点D在直线上， ∴； （3）秒，，最大周长： 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，得； （2）根据，得，，结合，，得，，取点，连接，得，，得，得，求出直线解析式，当时，，得点D在直线上，即得； （3）根据，，得是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求出直线解析式为，设，则，得，当时，有最大值2，得，得周长最大值为，此时，得，得，得，得秒． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵轴于点， ∴轴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当最大时，的周长最大， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值2， ∵， ∴， ∴周长最大值为：， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理推论，线段长周长问题产生的二次函数综合，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $