精品解析：江苏苏州市张家港市梁丰初级中学2025-2026学年九年级下学期数学第三周周末试卷

梁丰初级中学初三数学第三周周末试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球体 4. 新冠病毒直径为0.000000012米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数图象上，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 6 D. 9 7. 某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为 元，则 与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 矩形 中，，，点 为矩形 内一点，使得．将 绕点 顺时针旋转 ，得到，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：=_____． 10. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 _____． 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留 ） 12. 观察下列等式． ，，，，…… 按照规律，第个等式（为正整数）为________． 13. 如图，，，，若 面积为10，则的面积为________． 14. 一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为_________．（结果保留 ） 15. 抛物线的顶点在直线上移动，且抛物线与轴交于 ， 两点．若线段 ，则顶点的坐标为________． 16. 如图，点是线段 上一点， ，以 为边在 一侧作等边，以为边在另一侧作等边，点 为中点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共82分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 甲、乙、丙三位同学进入校园歌手大赛的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序（抽签不放回）． （1）甲同学第一位出场的概率为________． （2）求丙不是最后一个出场的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 21. 如图， 对角线 ， 相交于点O，过点D作且，连接 ，，． （1）求证： 是菱形； （2）若 ， ，求的长． 22. 如图，一次函数的图象与轴、 轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点 重合），过点作轴，交射线 于，若，求点的坐标． 23. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷 长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高 为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） （1）求遮阳篷边缘点 到墙体 的距离 ； （2）当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影的长． 24. 如图， 内接于 ， 是 直径，点 在圆上，且，过点 作，垂足为点 ， 与 延长线相交于 ． （1）求证： 是 切线． （2）若，． ①求 的半径． ②求线段的长． 25. 如图，四边形 是矩形()． （1）如图1，若，点是 的中点，连接 、交于点 ． ①求的值； ②如图2，过点 作，交 于点 ，求的值； （2）如图3，若平分 ，分别交 、 于点 、，且满足，，求的值． 26. 抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． （1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）若点D在抛物线上且，求点D的坐标； （3）若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁丰初级中学初三数学第三周周末试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值：根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：∵当时，， ∴． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识．根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球体 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，利用三视图推导几何体的形状是解题的关键． 通过几何体的主视图是矩形和俯视图是圆形，即可得几何体为圆柱． 【详解】解：通过几何体的主视图和俯视图，可得几何体为圆柱， 故选：A． 4. 新冠病毒直径为0.000000012米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，负指数的绝对值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，即可求出答案． 【详解】解：如图，∵直线，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 已知点在反比例函数图象上，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数中，进行求解即可． 【详解】解：把点代入反比例函数，得； 故选C． 7. 某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 8. 矩形中，，，点 为矩形内一点，使得．将绕点 顺时针旋转，得到，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取 的中点 ，连接，先判断出点 在 上运动，当共线时， 有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取 的中点 ，连接， 由旋转的性质知：， ∴点 在 上运动， ∴当共线时， 有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴ 的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 10. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，确定出符合条件的可能数，和出现的总可能数，利用概率定义求解即可． 【详解】根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，共5个， 摸到红球的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留 ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 12. 观察下列等式． ，，，，…… 按照规律，第个等式（为正整数）为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律的探究．通过观察已知等式，左边均为连续整数的平方差，右边均为奇数，且与序号n相关，推导出第n个等式即可求解． 【详解】解：∵，，，，…… ∴第n个等式为， 故答案为：． 13. 如图，，，，若 面积为10，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入 面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 14. 一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为_________．（结果保留 ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，根据弧长公式是，代入数值进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得： 此扇形的弧长为， 故答案为：． 15. 抛物线的顶点 在直线上移动，且抛物线与轴交于 ， 两点．若线段 ，则顶点 的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．设抛物线顶点，求得，得到抛物线的解析式为，求得抛物线与轴交于 ， 两点的横坐标，利用 ，列式求得，据此求解即可． 【详解】解：设抛物线顶点，因顶点在直线上，故， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线开口向上且与轴有两个交点， ∴顶点纵坐标， 又，故， 可得， 令，则， 解得，， ∵抛物线与轴交于 ， 两点，且 ， ∴，即， ∴， ∴， ∴顶点 的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，点 是线段 上一点，，以 为边在 一侧作等边，以为边在另一侧作等边，点 为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的建立与点的表示、等边三角形的性质、中点坐标公式、二次函数求最值，建立出平面直角坐标系是解题的关键． 首先构造平面直角坐标系，利用中点坐标公式求得，，进而可以得到点M的坐标，进而求得的长度，再利用二次函数求最值即可求得最小值． 【详解】解：如图，以点A为原点建立平面直角坐标系， ∴，， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∵点 为中点， ∴，即， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共82分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂，算术平方根，特殊角的正切值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，则两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 故原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 甲、乙、丙三位同学进入校园歌手大赛的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序（抽签不放回）． （1）甲同学第一位出场的概率为________． （2）求丙不是最后一个出场的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接用概率公式求解即可； （2）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 甲同学第一位出场的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 一共有6种情况，丙不是最后一个出场的有4种情况， ∴丙不是最后一个出场的概率． 21. 如图， 对角线 ， 相交于点O，过点D作且，连接 ，，． （1）求证： 是菱形； （2）若 ， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴ ， ∴ 是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得 ，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明 是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， ∴ 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即 的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点 是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点 重合），过点 作轴，交射线于 ，若，求点 的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为； （2）点 的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点 ，交 于点 ，利用平行线分线段成比例定理求得，求得点 的纵坐标为4，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为 ， ∵点在直线 上， ∴，解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：作轴于点 ，交 于点 ， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点 的纵坐标为4， ∴，解得， ∴点 的坐标为． 23. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷 长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高 为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） （1）求遮阳篷边缘点 到墙体 的距离 ； （2）当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长． 【答案】（1）遮阳篷边缘点 到墙体 的距离为米； （2）阴影 的长为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）在中，根据已知数据及的余弦值即可解答； （2）首先，在中，根据，可得，然后，根据，证得四边形是矩形，可得，，接着，在中，根据已知数据及的正弦值可求得 的长，最后，可求得 的长． 【小问1详解】 解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体 的距离 为米； 【小问2详解】 解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影 的长为米． 24. 如图， 内接于 ， 是 直径，点 在圆上，且，过点 作，垂足为点 ， 与 延长线相交于 ． （1）求证： 是 切线． （2）若，． ①求 的半径． ②求线段 的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵是 的半径， 是 的切线； （2）①3；② 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）①可证明，得到，利用勾股定理得到 ，证明，得出，据此求 的长即可得到答案；②证明，根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）可知，则，， ∵ 是 直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的半径为3； ②， ， ， 25. 如图，四边形 是矩形()． （1）如图1，若，点 是 的中点，连接 、交于点 ． ①求的值； ②如图2，过点 作，交 于点 ，求的值； （2）如图3，若平分 ，分别交 、 于点 、 ，且满足，，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、以及锐角三角函数的定义，关键是灵活运用相似三角形的边的比例关系，结合几何图形性质建立线段和面积的联系，借助方程思想解决几何计算问题． （1）①先根据矩形对边平行的性质推出，再结合 是 中点的条件求出与 的比例，利用相似三角形对应边成比例的性质，直接得出的比值； ②先由得到，根据①的结论得到的比例，进而求出、 与 、 的数量关系，设 为 ，分别表示出梯形和梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式算出两个梯形的面积，最后化简求出面积的比值； （2）先判定为等腰直角三角形，得到，设、，结合的面积公式得出，再由推出，利用相似性质表示出和的长度，过 作，结合等腰直角三角形的性质求出的长度，再通过的面积公式化简得到，联立方程组解出 、的值，最后根据锐角三角函数的定义，用与的比值求出的值． 【小问1详解】 ①解：∵四边形 是矩形， ∴， ∴． ∵ 是 的中点，， ∴， 又， ∴， ∴，即； ②解：∵，， ∴， ∴． 由，得， ∴． ∵，设， ∴，，． 四边形为直角梯形，，，， ∴． 四边形为直角梯形，，，， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，． 设，，则，． ∵，∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． 过 作于，则， ∴，化简得． 联立，解得，（舍去的情况）， ∴，， ∴． 26. 抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． （1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）若点D在抛物线上且，求点D的坐标； （3）若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 【答案】（1）；顶点 的坐标为； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点 的坐标为，在线段 上取点 ，使 ，此时，求得，则，分点 在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线 的解析式，联立解一元二次方程即可求解； （3）根据相似三角形的性质可得，作交的延长线于点 ，过点 作轴，分别过点 和 作 的垂线，垂足分别为 和 ，证明，求得点 的坐标为，求得直线 的解析式，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴, ∴； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点 的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得或， ∴点 的坐标为， ∴； 如图所示，在线段上取点 ，连接 ，使得 ，则， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， 如图所示，当点 在轴上方时，设直线 交轴于点 ， ∴， ∴， ∴点 的坐标为， 设直线 的解析式为，则， ∴ ∴直线 的解析式为， 联立，解得或 ∴点 的坐标为； 如图所示，当点 在轴下方时，设 交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线 的解析式为，则， ∴ ∴直线 的解析式为， 联立，解得或， ∴点 的坐标； 综上，点 的坐标或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点 ，过点 作轴，分别过点 和 作 的垂线，垂足分别为 和 ， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点 的横坐标为，点 的纵坐标为， ∴点 的坐标为， 设直线 的解析式为， ∴， 解得， ∴直线 的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $