专题11多项式的乘法（7知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题11 多项式的乘法 （7知识点+7题型+过关检测） 【题型1 计算多项式乘多项式】 2 【题型2 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 3 【题型3 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 3 【题型4 多项式乘多项式——化简求值】 4 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 4 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 6 【题型7 整式乘法混合运算】 8 1. 理解多项式乘多项式的运算法则，掌握法则的推导过程（转化为单项式乘多项式），明确适用条件。 2. 能熟练运用法则进行多项式乘多项式运算，掌握特殊类型（x+p）（x+q）的简便算法，提升运算规范性和准确性。 3. 能运用多项式乘法解决不含某项求字母值、化简求值、图形面积、规律探究及混合运算等问题。 4. 进一步体会转化的数学思想，培养逻辑推理、综合应用和规律探究能力，养成规范解题的习惯。03 知识•梳理 知识点1：多项式乘多项式法则 1. 法则内容：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 字母表示：（其中a、b、m、n可为单项式或常数项）。 3. 关键说明：① 遵循“逐项相乘，不重不漏”，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项；② 每一项相乘时，注意符号（同号得正，异号得负）；③ 所有积相加后，必须合并同类项，整理为最简形式。 知识点2：（x+p）（x+q）型多项式乘法（特殊形式） 1. 简便法则：。 2. 推导逻辑：按多项式乘多项式法则展开，合并同类项后可得，核心是“一次项系数为p+q，常数项为p×q”。 3. 适用场景：两个一次二项式相乘，且一次项系数均为1（若系数不为1，可先提取系数，再运用此规律）。 知识点3：多项式乘法的易错点梳理 1. 逐项相乘时，漏乘某一项（尤其常数项、符号为负的项）。 2. 项与项相乘时，符号判断失误（忽略负号，导致结果符号错误）。 3. 展开后未合并同类项，或同类项合并错误（尤其是一次项、常数项）。 4. 运用（x+p）（x+q）规律时，混淆一次项系数和常数项的计算（误将p+q算成pq，或反之）。 知识点4：“不含某项求字母值”的核心方法 1. 第一步：按多项式乘多项式法则展开，合并同类项，整理为标准整式形式（按某一字母的降幂排列）。 2. 第二步：找到“不含的项”，令其系数为0（不含某项，说明该项的系数为0）。 3. 第三步：解关于字母的方程，求出字母的值（注意检验，确保计算无误）。 知识点5：多项式乘法与图形面积的关联 1. 核心思路：用多项式表示图形的边长，通过“总面积=各部分面积之和”或“大图形面积-小图形面积”列出多项式乘法关系式。 2. 关键：准确用整式表示边长，结合图形分割/拼接，将图形面积转化为多项式乘积，再化简计算。 知识点6：整式乘法混合运算的顺序 1. 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，最后算加减（有括号先算括号内的）。 2. 注意：混合运算中，每一步都要遵循对应法则，符号处理贯穿始终，计算后及时合并同类项。 知识点7：多项式乘法中的规律探究 1. 探究思路：先计算前几个简单的多项式乘积，观察结果的系数、次数、项数的变化规律。 2. 关键：归纳总结规律，用含n（正整数）的代数式表示规律，再验证规律的正确性。 04 题型•汇总 【题型1 计算多项式乘多项式】 解题思路： 1. 用第一个多项式的每一项，依次乘第二个多项式的每一项，注意符号。 2. 写出所有乘积项，合并同类项，整理为最简整式（按降幂排列）。 易错点：① 漏乘项；② 符号错误；③ 同类项合并失误。 【典例1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．计算： 跟随训练1-2．计算． (1)； (2)． 跟随训练1-3．化简：． 【题型2 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 解题思路： 1. 识别题型：两个一次二项式相乘，一次项系数均为1。 2. 运用简便法则：，直接写出结果（或展开验证）。 易错点：混淆一次项系数（p+q）和常数项（pq）的计算。 【典例2】．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 跟随训练2-1．若，，则M与N的大小关系为（    ）． A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定 跟随训练2-2．计算： 跟随训练2-3．计算：． 【题型3 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 解题思路： 1. 展开多项式乘积，合并同类项，整理为标准整式形式。 2. 找到“不含的项”，令其系数等于0，列出方程。 3. 解方程，求出字母的值，检验结果。 易错点：① 展开时漏乘、符号错误；② 合并同类项失误；③ 未令不含项的系数为0。 【典例3】．若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 跟随训练3-1．使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟随训练3-2．若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 跟随训练3-3．若的展开式中不含和项，求的值． 【题型4 多项式乘多项式——化简求值】 解题思路： 1. 先按多项式乘多项式法则展开，合并同类项，将代数式化简至最简。 2. 代入已知字母的值，按运算顺序计算结果（注意符号和乘方运算）。 易错点：① 化简不彻底就代入；② 代入时符号错误、运算顺序混乱。 【典例4】．已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 跟随训练4-1．，则代数式___________． 跟随训练4-2．先化简，再求值：，其中． 跟随训练4-3．先化简，再求值：，其中，． 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 解题思路： 1. 根据图形，用整式表示出相关边长（含字母）。 2. 根据面积公式，列出多项式乘法关系式（总面积=边长×边长）。 3. 展开、合并同类项，化简关系式（若有已知条件，代入求具体值）。 易错点：① 用整式表示边长时出错；② 面积公式运用错误；③ 多项式展开、化简失误。 【典例5】．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；② ；③；④；你认为其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 跟随训练5-1．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 跟随训练5-2．小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片______张． 跟随训练5-3．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 解题思路： 1. 计算前2-3个简单的多项式乘积，记录结果的项数、系数、次数变化。 2. 归纳总结规律，用含n（正整数）的代数式表示第n个式子的结果。 3. 验证规律（代入n=1、2，看是否与计算结果一致）。 易错点：① 前几个式子计算错误，导致规律归纳失误；② 无法准确用代数式表示规律。 【典例6】．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 跟随训练6-1．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值：…，请你利用上面的结论，若，则的值为___． 跟随训练6-2．【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 跟随训练6-3．填空： ； ； ； (1)______； (2)猜想：______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算（结果用幂的形式表示）： ①； ②． 【题型7 整式乘法混合运算】 解题思路： 1. 按运算顺序：先算乘方，再算各类乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式），最后算加减。 2. 每一步遵循对应法则，注意符号处理，计算过程中及时合并同类项。 易错点：① 运算顺序混乱（先算加减，后算乘法）；② 乘方运算、符号判断失误；③ 同类项合并错误。 【典例7】．已知可得：，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 跟随训练7-1．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 跟随训练7-2．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 跟随训练7-3．定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 4．若，则的值为（   ） A． B． C．13 D． 5．若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 6．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 7．若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 8．观察下列各式及其展开式 …… 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 9．一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是___米． 10．有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论，其中正确的是________． ①第5项为③若则④当时，第k项的值为 11．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 12．“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： (1)第6个图案中“☆”的个数是________；第n个图案中“☆”的个数为________； (2)若第个图案与第个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 13．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门将阴影部分进行绿化，中间边长为米的正方形将修建一座雕塑，则： (1)用含a、b的式子表示绿化面积，并简化式子； (2)求，时，绿化面积是多少． 14．在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 15．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)___________； (2)___________； (3)___________；… (4)由此我们可以得到___________； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： (5)； (6)； (7)若，求的值． 16．新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 多项式的乘法 （7知识点+7题型+过关检测） 【题型1 计算多项式乘多项式】 2 【题型2 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 4 【题型3 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 5 【题型4 多项式乘多项式——化简求值】 7 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 9 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 13 【题型7 整式乘法混合运算】 18 1. 理解多项式乘多项式的运算法则，掌握法则的推导过程（转化为单项式乘多项式），明确适用条件。 2. 能熟练运用法则进行多项式乘多项式运算，掌握特殊类型（x+p）（x+q）的简便算法，提升运算规范性和准确性。 3. 能运用多项式乘法解决不含某项求字母值、化简求值、图形面积、规律探究及混合运算等问题。 4. 进一步体会转化的数学思想，培养逻辑推理、综合应用和规律探究能力，养成规范解题的习惯。03 知识•梳理 知识点1：多项式乘多项式法则 1. 法则内容：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 字母表示：（其中a、b、m、n可为单项式或常数项）。 3. 关键说明：① 遵循“逐项相乘，不重不漏”，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项；② 每一项相乘时，注意符号（同号得正，异号得负）；③ 所有积相加后，必须合并同类项，整理为最简形式。 知识点2：（x+p）（x+q）型多项式乘法（特殊形式） 1. 简便法则：。 2. 推导逻辑：按多项式乘多项式法则展开，合并同类项后可得，核心是“一次项系数为p+q，常数项为p×q”。 3. 适用场景：两个一次二项式相乘，且一次项系数均为1（若系数不为1，可先提取系数，再运用此规律）。 知识点3：多项式乘法的易错点梳理 1. 逐项相乘时，漏乘某一项（尤其常数项、符号为负的项）。 2. 项与项相乘时，符号判断失误（忽略负号，导致结果符号错误）。 3. 展开后未合并同类项，或同类项合并错误（尤其是一次项、常数项）。 4. 运用（x+p）（x+q）规律时，混淆一次项系数和常数项的计算（误将p+q算成pq，或反之）。 知识点4：“不含某项求字母值”的核心方法 1. 第一步：按多项式乘多项式法则展开，合并同类项，整理为标准整式形式（按某一字母的降幂排列）。 2. 第二步：找到“不含的项”，令其系数为0（不含某项，说明该项的系数为0）。 3. 第三步：解关于字母的方程，求出字母的值（注意检验，确保计算无误）。 知识点5：多项式乘法与图形面积的关联 1. 核心思路：用多项式表示图形的边长，通过“总面积=各部分面积之和”或“大图形面积-小图形面积”列出多项式乘法关系式。 2. 关键：准确用整式表示边长，结合图形分割/拼接，将图形面积转化为多项式乘积，再化简计算。 知识点6：整式乘法混合运算的顺序 1. 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，最后算加减（有括号先算括号内的）。 2. 注意：混合运算中，每一步都要遵循对应法则，符号处理贯穿始终，计算后及时合并同类项。 知识点7：多项式乘法中的规律探究 1. 探究思路：先计算前几个简单的多项式乘积，观察结果的系数、次数、项数的变化规律。 2. 关键：归纳总结规律，用含n（正整数）的代数式表示规律，再验证规律的正确性。 04 题型•汇总 【题型1 计算多项式乘多项式】 解题思路： 1. 用第一个多项式的每一项，依次乘第二个多项式的每一项，注意符号。 2. 写出所有乘积项，合并同类项，整理为最简整式（按降幂排列）。 易错点：① 漏乘项；② 符号错误；③ 同类项合并失误。 【典例1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项． 根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案． 【详解】解： 故选：A． 跟随训练1-1．计算： 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 跟随训练1-2．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练1-3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【题型2 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 解题思路： 1. 识别题型：两个一次二项式相乘，一次项系数均为1。 2. 运用简便法则：，直接写出结果（或展开验证）。 易错点：混淆一次项系数（p+q）和常数项（pq）的计算。 【典例2】．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 跟随训练2-1．若，，则M与N的大小关系为（    ）． A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定 【答案】A 【分析】先根据多项式乘法法则展开M和N，再计算，根据差的正负判断大小关系． 【详解】解： ， ∴． 跟随训练2-2．计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算． 利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 跟随训练2-3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型3 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 解题思路： 1. 展开多项式乘积，合并同类项，整理为标准整式形式。 2. 找到“不含的项”，令其系数等于0，列出方程。 3. 解方程，求出字母的值，检验结果。 易错点：① 展开时漏乘、符号错误；② 合并同类项失误；③ 未令不含项的系数为0。 【典例3】．若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则把展开，再根据展开后不含x的一次项，且常数项为，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 由得：， 把代入得：， ∴． 跟随训练3-1．使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【详解】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 跟随训练3-2．若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 【答案】 【详解】解： ， ∵其结果中不含项， ∴， 解得， ． 跟随训练3-3．若的展开式中不含和项，求的值． 【答案】36 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而得出和项的系数为零进而得出答案． 【详解】解： ， 由题意知：展开式中不含和项，则有，， 解得：，， ∴． 【题型4 多项式乘多项式——化简求值】 解题思路： 1. 先按多项式乘多项式法则展开，合并同类项，将代数式化简至最简。 2. 代入已知字母的值，按运算顺序计算结果（注意符号和乘方运算）。 易错点：① 化简不彻底就代入；② 代入时符号错误、运算顺序混乱。 【典例4】．已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 跟随训练4-1．，则代数式___________． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 跟随训练4-2．先化简，再求值：，其中． 【答案】；10 【分析】先根据单项式乘多项式运算法则，多项式乘多项式运算法则，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 跟随训练4-3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项后代数求解． 【详解】解： ∵， ∴原式． 【题型5 多项式乘多项式与图形面积】 解题思路： 1. 根据图形，用整式表示出相关边长（含字母）。 2. 根据面积公式，列出多项式乘法关系式（总面积=边长×边长）。 3. 展开、合并同类项，化简关系式（若有已知条件，代入求具体值）。 易错点：① 用整式表示边长时出错；② 面积公式运用错误；③ 多项式展开、化简失误。 【典例5】．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；② ；③；④；你认为其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】通过计算大长方形的面积（整体法）或分割成小长方形面积之和（分割法）来验证各选项是否正确． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积可以表示为，故①正确； 若将大长方形竖向分割，左右两部分宽为，中间部分宽为，高均为， ∴面积也可以表示为，故②正确； 若将大长方形横向分割，上部分高为，下部分高为，长均为， ∴面积也可以表示为，故③正确； 若将大长方形分割为6个小长方形，面积之和为，而④中给出的式子为，多了，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 跟随训练5-1．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，分别利用多项式乘法法则计算出两个长方形的面积，再作差化简即可得出答案． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为米，宽为米， 中间空白长方形的长为米，宽为米， ∴阴影部分的面积为： 跟随训练5-2．小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片______张． 【答案】11 【分析】根据题意可得大长方形的面积为，再根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意可得大长方形的面积为： ， ∵长方形卡片的面积为， ∴共需要类卡片11张． 跟随训练5-3．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)拼图见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据图形可知：； （2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：， 由图可得D型卡片是一个边长为的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：； （3）解：设， 根据题意，得， ， ∴ ， ∵随着的长度变化，S的值始终保持不变 ∴， ∴， ∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变． 【题型6 多项式乘法中的规律问题】 解题思路： 1. 计算前2-3个简单的多项式乘积，记录结果的项数、系数、次数变化。 2. 归纳总结规律，用含n（正整数）的代数式表示第n个式子的结果。 3. 验证规律（代入n=1、2，看是否与计算结果一致）。 易错点：① 前几个式子计算错误，导致规律归纳失误；② 无法准确用代数式表示规律。 【典例6】．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 跟随训练6-1．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值：…，请你利用上面的结论，若，则的值为___． 【答案】 【分析】先根据已知计算归纳出多项式乘法的一般规律，再结合已知等式推导出，求出或，结合求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据已知计算可归纳规律得：， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 跟随训练6-2．【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可得，化简即求解； （2）令，代入求得，令，代入求得，求出，令，求出，即可求解； （3）分别求出当时和当时，式子的值，结合（2）中的解题方法，即可求解； （4）求出时，式子的值，即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理，得， 故． （2）当时，， 当时，， 整理，得， 故 ∴． 当时，， ∴． （3）当时，， 当时，， 奇数次数项系数之和为． （4）当时，， 即各项系数和为． 【点睛】通过观察所给的式子，将所求的式子进行恰当的赋值，从而求解是解题的关键． 跟随训练6-3．填空： ； ； ； (1)______； (2)猜想：______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算（结果用幂的形式表示）： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据题干中的等式即可得出答案； （2）根据已知等式总结规律即可； （3）①将原式变形后利用所得规律计算即可； ②将原式变形后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）由题干中的等式可得． （2）由已知等式可得（其中为正整数，且）． （3）①， 结合（2）的结论，可得， 故． ②， 结合（2）的结论，可得， 故 ； 即． 【题型7 整式乘法混合运算】 解题思路： 1. 按运算顺序：先算乘方，再算各类乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式），最后算加减。 2. 每一步遵循对应法则，注意符号处理，计算过程中及时合并同类项。 易错点：① 运算顺序混乱（先算加减，后算乘法）；② 乘方运算、符号判断失误；③ 同类项合并错误。 【典例7】．已知可得：，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】将原式变形为，，，再将其代入即可求解． 【详解】解：∵． ∴，，． ∴ ． 跟随训练7-1．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 跟随训练7-2．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 跟随训练7-3．定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，需要分别根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式乘单项式法则，多项式乘多项式法则计算各选项，判断运算是否正确 【详解】解：选项A：∵ 合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变， ∴ ，A错误； 选项B：∵ 积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数， ∴ ，B错误； 选项C：∵ 单项式相乘，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加， ∴ ，C错误； 选项D：∵ ， ∴ D运算正确 2．若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 3．若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 4．若，则的值为（   ） A． B． C．13 D． 【答案】D 【分析】展开等式左边，合并同类项后，根据多项式相等对应项系数相等得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵展开等式左边得 ， 又， ∴对比对应项系数得， ． 5．若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项可知，项的系数为0，即可得解． 【详解】解： 展开式中不含项， ， 解得：． 6．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据题目中规定的运算方式列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 7．若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解． 【详解】解： 若的计算结果中没有关于的一次项， 则， 解得：． 8．观察下列各式及其展开式 …… 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 【答案】28 【分析】观察展开式，找到右边各项系数的规律，首位是1，第二个数为上一列两数的和，且对称分布，进而分别列举出指数分别为 6，7，8 的等式的右边各项的系数，找到项，即可求得项的系数． 【详解】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故 含项的系数是28． 9．一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是___米． 【答案】7 【分析】设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【详解】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 则原正方形的边长是7米． 10．有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论，其中正确的是________． ①第5项为③若则④当时，第k项的值为 【答案】①②③④ 【分析】依次求出各整式及…，发现规律：，整式中的第n项为：（n为正整数），即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 整式中的第2项为：， ， 整式中的第3项为：， …… 观察发现，，整式中的第n项为：（n为正整数）， 整式中的第5项为：，故①正确． 当时，，故②正确． 若，则， 解得：，故③正确． 当时，令整式中的第k项的值为M， 则， ， 两式相减得：， ，故④正确； 11．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【答案】(1)平方米 (2)此时种植区的总面积S为108平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：此时种植区的总面积S为108平方米． 12．“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： (1)第6个图案中“☆”的个数是________；第n个图案中“☆”的个数为________； (2)若第个图案与第个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 【答案】(1)21； (2)72 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，得出第个图案中“”的个数是，再列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：第个图案中“☆”的个数可表示为， 第个图案中“☆”的个数可表示为， 第个图案中“☆”的个数可表示为， 第个图案中“☆”的个数可表示为， ∴第个图案中“☆”的个数可表示为； 第个图案中“☆”的个数可表示为； （2） 解：第个图案中有个“”， 第个图案中有个“”， 第个图案中有个“”， 第个图案中有个“”， ∴第个图案中“”的个数是， 由题意可得，， 整理得，， 解得：． 13．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门将阴影部分进行绿化，中间边长为米的正方形将修建一座雕塑，则： (1)用含a、b的式子表示绿化面积，并简化式子； (2)求，时，绿化面积是多少． 【答案】(1)平方米 (2)6300平方米 【分析】（1）根据图形可以用代数式表示出绿化的面积； （2）将a、b的值代入代数式，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得， 绿化面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米， 即绿化面积为6300平方米． 14．在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）仿照题干计算即可； （2）根据（1）作答即可； （3）将化为，根据（2）的规律计算即可； （4）根据（1）求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 （3）解： （4）解：由（1）知 ∵ ∴ 即 ∴ 当时， 当时， 15．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)___________； (2)___________； (3)___________；… (4)由此我们可以得到___________； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： (5)； (6)； (7)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)1 【分析】（1 ）（2 ）（3 ）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4 ）根据计算规律可直接得出结果； （5 ）（6 ）将原式变形，然后利用（4 ）中规律求解即可； （7 ）利用（3 ）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解：； （6）解： ； （7）解：， ， 解得， ∴． 16．新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)（i）792，297；（ii）23，32 (2) 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，（i）； （ii）； （2）解：对左边式子提取公因式11： ， 对右边式子提取公因式11： ， ∴横线上填：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $