专题3.4 乘法公式重难点题型专训（2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦初中数学乘法公式核心知识点，系统梳理平方差公式和完全平方公式。通过几何图形面积探究公式推导，明确公式特点，结合即时训练，构建“概念探究-特点归纳-即时应用”的学习支架。 资料特色在于数形结合，借助正方形剪拼等几何图形直观验证公式（几何直观），题型从基础运算到几何应用、字母系数求解，培养运算能力与推理意识。拓展训练与自我检测助力综合应用，课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺，强化知识掌握。

专题3.4 乘法公式重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 题型五 求完全平方式中的字母系数 拓展训练一 乘法公式综合练习 知识点一：平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 知识点二：完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（2026·七年级下 山东东营）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏·期中）若，则_____． 1．（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算：______． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）在学习用平方差公式分解因式时，老师给了每个学生一张边长为的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）将正方形与正方形如图所示放置，延长交于点H，若长方形的面积为24，且，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．25 B．24 C．20 D．18 3．（23-24七年级下·湖南湘西·月考）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算：______. 4．（25-26七年级下·上海黄浦·月考）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，，则的值是（　　） A．6 B．14 C． D．4 【例2】（25-26七年级下·山东济南·月考）化简： _______ ． 1．（25-26七年级下·广西河池·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）若有理数n满足，则代数式______． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【经典例题四 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·北京·开学考试）已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 1．（25-26七年级下·陕西安康·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积为（   ）． A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．现有若干块如图所示的正方形或长方形纸片． (1)①借助图1写出一个我们学过的乘法公式：________； ②借助图2直接写出长方形的面积：________； (2)若图2中长方形的面积为50，其中阴影部分的面积为30，求的值； (3)若共有A型纸片10张，B型纸片10张，C型纸片20张，现在用2张A型纸片，x张B型纸片，y张C型纸片按图3所示方法拼成一个大的长方形，则的最大值为________． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·月考）若是一个完全平方式的展开式，则的值为（   ）． A． B． C．或 D． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若是一个完全平方式，则常数a的值为_______． 1．（25-26七年级下·山东济南·月考）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 2．（2023·七年级下 河北石家庄）若整式是完全平方式，下列不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）下列说法： 若，则的值是； 是完全平方式，则； 若，则；若，则，其中正确的有_____ 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 【拓展训练一 乘法公式综合练习】 【例1】（24-25七年级下·全国·周测）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海金山·期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么_____． 1．（25-26七年级下·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南焦作·期末）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 4．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 1．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）下列式子中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）下列计算不正确的是（    ） A． B．若，则 C．是一个完全平方式，则为 D． 6．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 7．（25-26七年级下·山东济南·月考）计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 9．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 11．（25-26七年级下·山东青岛·月考）的个位数字是______． 12．（25-26七年级下·四川成都·月考）现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是__________． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______． 15．（25-26七年级下·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 16．（25-26七年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 18．（24-25七年级下·山东东营·期末）（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 19．（25-26七年级下·广西玉林·期末）【问题情境】我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为所以，． 【数学思考】（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示=___________，___________； ②比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【拓展探究】（2）已知两个等腰直角三角形（和）的直角边长分别为和（）．将这两个等腰直角三角形按如图4方式放置在一起，连接．如果是线段的中点，连接．请比较与的面积大小． 20．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 乘法公式重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 题型五 求完全平方式中的字母系数 拓展训练一 乘法公式综合练习 知识点一：平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式为，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，是完全平方形式，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； B、，符合平方差公式结构， ∴该选项正确； C、，不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； D、，是完全平方形式， ∴该选项错误． 2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【分析】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 知识点二：完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两个多项式的大小，采用常用的作差法，对差进行配方，根据平方的非负性判断差的符号，即可得出大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵对任意实数，都有， ∴ ，即， ∴． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】先将整式变形为，进而求出、的值，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 解得， 阴影部分的面积为． 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（2026·七年级下 山东东营）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方的法则，逐一判断选项的运算是否正确． 【详解】选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误． 选项B：∵与不是同类项，不能合并， ∴，B错误． 选项C：∵， ∴C错误． 选项D：∵积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 【例2】（25-26七年级下·江苏·期中）若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式的应用．先利用乘法交换律调整因式顺序．再连续运用平方差公式化简等号左边．对比等式两边对应项的次数即可求出的值． 【详解】解： 又 1．（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，然后运用整式乘法法则和平方差公式化简代数式，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ． 2．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算：______． 【答案】 【分析】将原式相邻两项两两分组，利用平方差公式化简分组后的式子，再对所有项求和即可得到结果． 【详解】解：原式 . 4．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)-1 (2)6 【分析】本题考查积的乘方，平方差公式； （1）根据作业的方法逆用积的乘方计算即可； （2）由求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）在学习用平方差公式分解因式时，老师给了每个学生一张边长为的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何表示，数形结合是解决问题的关键． 根据位同学裁剪拼接的过程，数形结合，由面积相等验证平方差公式即可得到答案． 【详解】 解： 左图阴影部分是由四个全等的等腰梯形构成，梯形上底为、下底为，高是， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 左图阴影部分是由两个全等的直角梯形构成，梯形上底为、下底为，高是， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 左图阴影部分是由两个全等的矩形和一个正方形构成，矩形长为、宽为；正方形边长为， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 综上所述，位同学裁剪拼接的过程，均能验证平方差公式， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的几何背景，用含a，b的式子分别表示出选项中每个阴影图形的面积，即可判断出正确答案． 【详解】解：A．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，可以验证，不合题意； B．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，可以验证，不合题意； C．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，不能验证，符合题意； D．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，可以验证，不合题意； 故选C． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）将正方形与正方形如图所示放置，延长交于点H，若长方形的面积为24，且，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．25 B．24 C．20 D．18 【答案】C 【分析】设正方形与正方形的边长分别为a，b，则阴影部分的面积为，，，结合完全平方公式，求得，得，所以． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为a，b，则阴影部分的面积为，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的特征是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·月考）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算：______. 【答案】 【分析】本题考查了数字“”转换，将数字“”化成添加到原式中，然后利用平方差公式依次计算化简即可得解，采用平方差的公式计算化简是解题关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 4．（25-26七年级下·上海黄浦·月考）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】(1) (2)28平方分米 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，，则的值是（　　） A．6 B．14 C． D．4 【答案】A 【分析】本题利用完全平方公式对所求代数式变形，再整体代入已知条件计算即可得到结果. 【详解】∵，，， ∴ 原式 ； 【例2】（25-26七年级下·山东济南·月考）化简： _______ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 1．（25-26七年级下·广西河池·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C． ，故不正确； D． ，故不正确． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式变形为，进而根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）若有理数n满足，则代数式______． 【答案】/ 【分析】观察代数式特点，考虑用完全平方公式变形解决问题，令，，可得，，求出即可． 【详解】解：令，， 则，， ∴， ∴， ∴， 即． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题四 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 【例2】（25-26七年级下·北京·开学考试）已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ． 即． 1．（25-26七年级下·陕西安康·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积为（   ）． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用．根据题意得出，，进而可得，根据，，即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 即， ， ， 所需防滑瓷砖的面积为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 【答案】 【分析】根据，将，，代入进行计算即可；根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，， 若，， 则； 由图可得， 若时， ． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．现有若干块如图所示的正方形或长方形纸片． (1)①借助图1写出一个我们学过的乘法公式：________； ②借助图2直接写出长方形的面积：________； (2)若图2中长方形的面积为50，其中阴影部分的面积为30，求的值； (3)若共有A型纸片10张，B型纸片10张，C型纸片20张，现在用2张A型纸片，x张B型纸片，y张C型纸片按图3所示方法拼成一个大的长方形，则的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)的值为7 (3)28 【分析】（1）①根据图1用两种方法表示大正方形面积即可；②由①同理即可求解； （2）根据题意可得长方形总面积，阴影面积，得，空白面积，则，进而即可求解； （3）由大长方形面积的两种表示，得，，将变形为，列举的取值，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由图可得，图1的大正方形边长为， ∴其面积为， 同时可拆分为1个A型纸片、1个B型纸片、2个C型纸片， ∴乘法公式为：； ②长方形的长为，宽为， ∴其面积为， 同时可拆分为2个A型纸片、2个B型纸片、5个C型纸片， ∴； （2）解：∵长方形总面积为50， ∴， ∵阴影部分面积为30，对应个A型纸片和个B型纸片， ∴， ∴， ∴空白部分面积为，对应个C型纸片， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图可得，拼成的大长方形面积为， 大长方形长为、宽为， ∴ ， ∴（B型纸片），且；（C型纸片），且， ∴ ， ∴当时，n的值为1至9（当时，，舍去）， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至5， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至3， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至2， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至2， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当m的值为6至10时，， ∵要使最大， ∴，， ∴； ∴的最大值为． 【点睛】本题核心是数形结合的面积法，通过两种方法计算图形面积建立代数等式，小问3需将合理变形，结合约束条件列举求最值，关键是几何与代数的转化思想． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·月考）若是一个完全平方式的展开式，则的值为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，将给定二次三项式与完全平方公式进行对比，对应系数即可求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为 ， 又∵，且原式是完全平方式的展开式， ∴，等式两边同时除以得， ∴ ． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若是一个完全平方式，则常数a的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵是完全平方式， ， ． 1．（25-26七年级下·山东济南·月考）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 2．（2023·七年级下 河北石家庄）若整式是完全平方式，下列不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的要求进行判断即可． 【详解】∵， ∴=，是完全平方式， ∴A不符合题意； ∵， ∴=，是完全平方式， ∴B不符合题意； ∵， ∴=，是完全平方式， ∴C不符合题意； ∵， ∴=，不是完全平方式， ∴D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的要求是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）下列说法： 若，则的值是； 是完全平方式，则； 若，则；若，则，其中正确的有_____ 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，根据完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则逐项运算即可判断，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则及乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故正确； ∵是完全平方式， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴，， ∴， 故正确； ∴正确， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 【答案】(1)1 (2)45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）原式利用完全平方公式变形，然后根据非负数的性质求出x，y的值即可； （2）根据完全平方公式确定出常数项，然后得出a、m、n、k的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）由题意得：， ∴，，，， ∴． 【拓展训练一 乘法公式综合练习】 【例1】（24-25七年级下·全国·周测）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的定义是关键． 通过平方差公式，即，验证各选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，但原选项写为，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·上海金山·期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么_____． 【答案】510 【分析】本题主要考查了乘法公式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由题可知，进而代入求解即可． 【详解】解：∵2028是黄金数，即 ∴， ， ， ， ， 故答案为： 1．（25-26七年级下·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级下·河南焦作·期末）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式． 【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为， 因此整体面积为： 方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为： 边长为 的正方形：2 个，面积和为 边长为 的正方形：1 个，面积和为 长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为 总面积为： 两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为 故答案为：． 4．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式的变形及几何图形面积的转化是解题的关键． （1）通过大正方形面积的两种表示方法推导完全平方公式相关关系式． （2）解题关键在于设元，将几何条件转化为关于a、b的方程，并利用公式整体求出的值，最后代入面积公式求得结果． 【详解】（1）解：利用图形可以推导出的关系式为，图1：； 图2：. 故答案为：， （2）解：设，，则， ， ， ， ， ，， ． 1．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）下列式子中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，适用条件为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解： A．，存在相同项，相反项与，符合条件，可以用平方差公式计算． B．，存在相同项，相反项与，符合条件，可以用平方差公式计算． C．，存在相同项，相反项与，符合条件，可以用平方差公式计算． D．，不符合平方差公式的适用条件，不能用平方差公式计算． 2．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，分别表示出正方形的面积和长方形的面积，通过作差比较二者大小． 【详解】`解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，类比题干中的方法，将代数式通过完全平方公式变形，利用平方的非负性求最小值即可． 【详解】解：∵， 当时，取最小值． 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式的几何应用，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意； 由B选项可得：，故本选项不符合题意； 由C选项可得：，故本选项符合题意； 由选项D可得：，故本选项不符合题意， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）下列计算不正确的是（    ） A． B．若，则 C．是一个完全平方式，则为 D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方运算法则，多项式乘法运算法则，完全平方式的定义，平方差公式对各选项依次解答，即可作出判断． 【详解】解：A． ，故此选项不符合题意； B． ∵， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵是一个完全平方式， ∴，故此选项不符合题意； D． ，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查积的乘方运算法则，多项式乘法运算法则，完全平方式的定义，平方差公式．掌握相应的运算法则，定义和公式是解题的关键． 6．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个方阵的边长为a，减少120人后组成一个方阵的边长为b，由题意得，，，且a、b都是4的倍数，进而得，再利用240的约数情况进行讨论，求出a、b的值即可求解． 【详解】解：设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个正方形队列的边长为a，减少120人后组成一个正方形队列的边长为b， ∴增加120人后组成一个正方形队列总人数为，减少120人后组成一个正方形队列总人数为，且a、b都是4的倍数， 由此可得，， ∴， ， ∴当时，满足， 则人， 当时，满足， 则人， ∴原有战士有904人或136人， 故选：A． 7．（25-26七年级下·山东济南·月考）计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴； ∴； 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 9．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 10．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 11．（25-26七年级下·山东青岛·月考）的个位数字是______． 【答案】 0 【分析】先利用平方差公式逐步化简原式，再根据3的幂次的个位数字循环规律求解即可. 【详解】解：原式 ； ∵， ∴的个位数字以四个数为一组进行循环， ∵， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为0. 12．（25-26七年级下·四川成都·月考）现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是__________． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则． ∵两个正方形的面积之差是24， ， ． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______． 【答案】9 【分析】根据图形的面积，面积差的意义，完全平方公式的应用解答即可； 【详解】解：根据题意，得，， 故， 故， 即， 故． 15．（25-26七年级下·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 16．（25-26七年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 17．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 18．（24-25七年级下·山东东营·期末）（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】(1)， (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 19．（25-26七年级下·广西玉林·期末）【问题情境】我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为所以，． 【数学思考】（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示=___________，___________； ②比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【拓展探究】（2）已知两个等腰直角三角形（和）的直角边长分别为和（）．将这两个等腰直角三角形按如图4方式放置在一起，连接．如果是线段的中点，连接．请比较与的面积大小． 【答案】（1）①；②＜ （2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）根据和表示三角形的面积，然后运用作差法解题即可． 【详解】解：（1）①，， ②， ； 故答案为：①，；②； （2）， ， ， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【答案】(1) (2)猜想：a，b，c之间的关系为，验证见解析 (3)单项式为或或 【分析】（1）根据示例可得到结果； （2）猜想规律为，利用完全平方公式展开后，可得到结果； （3）根据题意，分类讨论，可得到结果． 【详解】（1）解：根据示例可发现：； （2）解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； （3）解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $