10.4三元一次方程组（分层练习） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 10.4三元一次方程组 （分层练习） 【典型例题】 【例1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【例2】关于方程组的以下解法中，不正确的是( ) A．由①②消去z，再由①③消去z B．由①②消去z，再由②③消去z C．由①③消去y，再由①②消去y D．由①②消去z，再由①③消去y 【例3】已知x，y，z满足，则 ． 【例4】若2a＋5b＋4c＝0，3a＋b－7c＝0，则a＋b－c的值是 ． 【例5】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【例6】在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题． (1) =_______； (2) 求的值． 【举一反三】 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是(　 ) A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2 B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋② C．加减法消去z，将①＋②与③＋② D．代入法消去x，y，z中的任何一个 【变式3】若同时满足：，，，则 ； 【变式4】对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【变式5】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式6】已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【巩固练习】 1.下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 2.解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 3.设＝＝，则的值为( ) A. B. C. D. 4.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a＋1，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为( ) A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 5.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 6.方程组的解是 。 7.三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是 . 8.三元一次方程的正整数解有 组. 9.已知x、y、z满足，则的值为 . 10.北山水果市场是我区最大的水果批发市场，张老师想购买甲、乙、丙三种水果，如果购买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共需付钱36元：如果购买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共需付钱32元．今要购买甲4千克，乙2千克，丙5千克，则共应付 元． 11.解方程组： 12.解方程组： （1） （2） 13.某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下： （1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人； （2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40． 求这次智力竞赛的平均成绩． 14.下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 15.【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【例2】关于方程组的以下解法中，不正确的是( ) A．由①②消去z，再由①③消去z B．由①②消去z，再由②③消去z C．由①③消去y，再由①②消去y D．由①②消去z，再由①③消去y 【答案】D 【例3】已知x，y，z满足，则 ． 【答案】 【例4】若2a＋5b＋4c＝0，3a＋b－7c＝0，则a＋b－c的值是 ． 【答案】0 【例5】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】（1） ，得 联立②④，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立①④，得 ，解得 把代入③，得 ∴ ∴ 【例6】在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题． (3) =_______； (4) 求的值． 【答案】（1）∵当，1，3时的值分别是，0，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴． 【举一反三】 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式2】解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是(　 ) A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2 B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋② C．加减法消去z，将①＋②与③＋② D．代入法消去x，y，z中的任何一个 【答案】C 【变式3】若同时满足：，，，则 ； 【答案】 【变式4】对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【答案】17 【变式5】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】（1） ，得 用④分别与①，②，③相减，得 ∴ （2） ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入③，得 ∴ ∴ 【变式6】已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【答案】设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，．据题意有， 甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出， ， 由①与得，所以， 由②与得，所以， 于是，所以（因为人数是整数）， 将代入①，②可知，， 再由③有． 答：甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 【巩固练习】 1.下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【答案】D 2.解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【答案】B 3.设＝＝，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 4.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a＋1，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为( ) A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 【答案】C 5.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【答案】A 6.方程组的解是 。 【答案】 7.三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是 . 【答案】 8.三元一次方程的正整数解有 组. 【答案】6 9.已知x、y、z满足，则的值为 . 【答案】 10.北山水果市场是我区最大的水果批发市场，张老师想购买甲、乙、丙三种水果，如果购买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共需付钱36元：如果购买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共需付钱32元．今要购买甲4千克，乙2千克，丙5千克，则共应付 元． 【答案】52 11.解方程组： 【答案】 ， 得， 把和④组成方程组得， 解此二元一次方程组得， 把，代入②得2×2+5×1-2z=11， 解得z=−1， ∴原方程组得解为． 12.解方程组： （1） （2） 【答案】（1）， 由①②，得． 设，k为常数且． 代入③，得，解得． ∴． ∴原方程组的解为； （2）， 解：，得，④ ，得．⑤ ④与⑤组成方程组，解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为． 13.某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下： （1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人； （2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40． 求这次智力竞赛的平均成绩． 【答案】设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为，，． ， 解得，，． 题全答对的只有4人，答对两题的有17人，3题全错的有5人 参赛总人数为：人， 平均得分为：分， 答：这次竞赛的平均得分为49分． 14.下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 15.【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $