精品解析：内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段测试数学试题

呼铁一中2025-2026学年第二学期高二4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，则的和等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 若数列的通项公式为,则数列的前n项和为 A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 4. 若公比为的等比数列的前项和为,且成等差数列，则 A. B. C. D. 5. 等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 设为等差数列的前项的和，且，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 数列中，，且，则这个数列的前项的绝对值之和为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 10. 对于公差为1的等差数列{an}，a1＝1，公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，则下列说法正确的是（　　） A. an＝n B. bn＝2n﹣1 C. 数列{lnbn}为等差数列 D. 数列{anbn}的前n项和为（n﹣1）2n+1+2 11. 若正项无穷数列是等差数列，且，则（ ） A. B. 当时，的前项和为 C. 公差的取值范围是 D. 当为整数时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前项和，则满足的的最小值为________ 13. 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则公比________. 14. 中国古代数学名著算法统宗中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差是几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还______文钱． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 16. 已知等差数列的公差不为 0 ，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 17. 已知数列满足且 （1）求证：数列为等差数列 （2）求数列的通项公式 18. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求的前项和． 19. 已知数列的前n项和为，且，，数列满足：，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼铁一中2025-2026学年第二学期高二4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，则的和等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 由等差数列的性质得 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2. 若数列的通项公式为,则数列的前n项和为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果. 【详解】因为， 所以数列的前n项和 . 故选C 【点睛】本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型. 3. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 4. 若公比为的等比数列的前项和为,且成等差数列，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列{an}的首项为a1，由a2，9，a5成等差数列列式求得a1，再由等比数列的前n项和求解． 【详解】设等比数列{an}的首项为a1，由a2，9，a5成等差数列，且q=2， 得2×9=2a1+16a1，即a1=1． 故选B． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，是基础题． 5. 等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，根据条件得到方程，求出首项和公差，得到，，裂项相消法求和即可. 【详解】设公差为，则， 解得， 故， 所以， 所以的前10项和为. 故选：A 6. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 7. 设为等差数列的前项的和，且，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， ， 故数列也为等差数列，并且公差为， 又， ， 又，         ，可得  ， ， . 8. 数列中，，且，则这个数列的前项的绝对值之和为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由知数列为等差数列，由此可得；根据的正负可确定前项的绝对值之和为，利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 令，解得：， . 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 由已知构造出数列是等比数列，可求出数列的通项公式以及前项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】，∴，∴数列是等比数列 又∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：AB. 10. 对于公差为1的等差数列{an}，a1＝1，公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，则下列说法正确的是（　　） A. an＝n B. bn＝2n﹣1 C. 数列{lnbn}为等差数列 D. 数列{anbn}的前n项和为（n﹣1）2n+1+2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列和等差数列的通项公式，可判断A、B、C选项；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可判断D选项． 【详解】由公差为1的等差数列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正确； 由公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B错误； 由lnbn＝ln2n＝nln2，可得数列{lnbn}是首项和公差均为ln2的等差数列，故C正确； 设数列{anbn}的前n项和为Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n， 2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面两式相减可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1 n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正确． 故选：ACD． 11. 若正项无穷数列是等差数列，且，则（ ） A. B. 当时，的前项和为 C. 公差的取值范围是 D. 当为整数时，的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由等差中项的性质分析A，由等差数列前项和公式分析B，由等差数列的通项公式及单调性分析C、D． 【详解】根据题意，正项无穷数列是等差数列，设其公差为，依次分析选项： 对于A，等差数列中，若，则， 所以，故A正确； 对于B，由于，，则公差， 故的前项和，故B错误； 对于C，由于，只需且即可，则有， 即的取值范围为，故C错误； 对于D，由等差数列的性质，，若为整数，必为整数， 又由数列是正项数列，故，故，即最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前项和，则满足的的最小值为________ 【答案】5 【解析】 【分析】先由求出，进而可求出结果. 【详解】（1）当时，； （2）当时，由得：， 两式相减，得：，也符合， 由，得：，所以，满足的的最小值为5. 故答案为5 【点睛】本题主要考查由数列的前项和求通项公式的，熟记与的关系即可，属于常考题型. 13. 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则公比________. 【答案】 【解析】 【分析】将成等差数列转化为，解方程后可得所求的. 【详解】设等比数列的公比为，由成等差数列可得 即.，得 所以， 故答案为： 14. 中国古代数学名著算法统宗中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差是几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还______文钱． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以为首项，为公差的等差数列， 又，， 则丁还钱数． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】 （1）证明：, 于是, 因为， 即数列是以为首项，2为公比的等比数列． 因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件推出，说明数列是以2为公比的等比数列．然后求解通项公式． （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以. 【点睛】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 16. 已知等差数列的公差不为 0 ，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，将等差数列通项代入，得到，求得通项公式． （2）求得，根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列， 得，得，由，得， 则. （2）由（1），则， 则 即. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的概念和前项和公式，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题. 17. 已知数列满足且 （1）求证：数列为等差数列 （2）求数列的通项公式 【答案】（1）证明：由 ，得，所以， 所以数列为等差数列，首项为1，公差为2. （2）. 【解析】 【分析】（1）将条件取倒数可得，从而得证； （2）利用等差数列先求得，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以 【点睛】本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题. 18. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求的前项和． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，，可得，， 解得， 则； （2）由（1）知 可得， 则的前项和. 19. 已知数列的前n项和为，且，，数列满足：，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)由可得数列是等比数列，即可求得，由得数列是等差数列，即可求得. (2)由(1)可得，再利用错位相减法求和即得. (3)将问题等价转化为对任意恒成立，构造数列并判断其单调性，即可求解作答. 【小问1详解】 数列的前项和为，，，当时，， 则，而当时，，即得， 因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则， 数列中，，，则数列是等差数列， 而，，即有公差，则， 所以数列，的通项公式分别是：，. 【小问2详解】 由(1)知，， 则， 则有， 两式相减得：， 从而得， 所以数列的前n项和. 【小问3详解】 由(1)知，， 依题意得对任意恒成立，设，则， 当，，为单调递减数列，当，，为单调递增数列， 显然有，则当时， 取得最大值，即最大值是，因此，， 所以实数k的取值范围是. 【点睛】思路点睛：一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 的前n项和时， 可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $