精品解析：内蒙古赤峰第四中学2025-2026学年高二第二学期5月月考数学试题

赤峰第四中学2025—2026学年第二学期月考试题 高二数学 2026.05 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知二项式的展开式共有19项，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 4. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） A. B. C. D. 5. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 6. 下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ） ①若X服从二项分布，则； ②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且； ③若X的方差为，则； ④已知，，则． A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①④ 7. 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 由点，，…，得到线性回归方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 相关系数与同号 B. 相关系数越大相关性越强 C. 相关系数，残差的平方和为0 D. 相关系数，点均在直线上 10. 某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ） A. 若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法 B. 若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法 C. 若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法 D. 若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，，则________. 13. 二项式展开式中x的系数是__________． 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）求函数的极值. 16. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 17. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有2个不同的零点，，且，求的取值范围． 19. 某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为. （1）求； （2）求； （3）得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2025—2026学年第二学期月考试题 高二数学 2026.05 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知二项式的展开式共有19项，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式的展开式共有19项， 则，故. 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得 ，故B正确. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】直接由二项分布的方差公式以及方差的性质即可求解. 【详解】因为随机变量，且，则. 故选：D. 4. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由概率之和为可得，解得， 因为， 所以. 5. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的应用判断选项. 【详解】因为，所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为与有关或有的把握认为与有关． 6. 下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ） ①若X服从二项分布，则； ②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且； ③若X的方差为，则； ④已知，，则． A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式判断①；求出超几何分布的期望判断②；根据方差的性质判断③；根据条件概率公式判断④. 【详解】若X服从二项分布，则，①正确； 选出女学生干部的人数为X的值为，且服从超几何分布， 所以，②正确； 若X的方差为，则，③错误； 因为，，所以，④错误. 故选：C. 7. 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出事件发生的个数和事件同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案. 【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为, 事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故. 故选：D. 8. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导后代入即可求得的值. 【详解】由题意得， 令，得，解得. 故选：A. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 由点，，…，得到线性回归方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 相关系数与同号 B. 相关系数越大相关性越强 C. 相关系数，残差的平方和为0 D. 相关系数，点均在直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线性回归分析中相关系数与回归直线方程相关性质求解. 【详解】即正相关，；即负相关，，故A正确； ，越大相关性越强，选项B不正确； 相关系数，相关性最强，残差的平方和为0，各观测点均在线性回归直线上，故CD均正确； 故选：ACD. 10. 某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ） A. 若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法 B. 若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法 C. 若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法 D. 若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解. 【详解】对于A，有种排法，故A正确； 对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确； 对于C，采用插空法，有种排法，故C正确； 对于D，有种排法，故D错误． 故选：ABC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，，则________. 【答案】0.44## 【解析】 【分析】利用两点分布的概率性质易得. 【详解】因随机变量服从两点分布，故. 故答案为：0.44. 13. 二项式展开式中x的系数是__________． 【答案】80 【解析】 【分析】求二项式展开式展开式通项公式，结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】通项为， 令，得，则展开式中x的系数是. 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）求函数的极值. 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负性研究函数单调性； （2）利用函数单调性求极值. 【小问1详解】 因为， 则， 令，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知， 函数的极大值为， 极小值为. 16. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 【答案】（1）分 （2）0.352 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数公式运算求解； （2）根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得每组的频率依次为， 则，解得， 设平均成绩的估计值为， 则（分）， 所以这100名学生的平均成绩估计值为74分. 【小问2详解】 每个学生成绩不低于80分的概率为0.4. 3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率； 3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率； 3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 17. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】（1）； （2）kg. 【解析】 【分析】（1）直接根据最小二乘法估计求回归方程； （2）直接根据回归方程计算预测值. 【小问1详解】 由题知，， ， . ，. 综上，y关于x的线性回归方程为：. 【小问2详解】 由（1）知回归方程为. 所以当时，. 故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为kg. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有2个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）代入求导得切点处的函数值与导数值，用点斜式直接写出切线方程. （2）先求导，按正负分类讨论导数符号，进而确定函数单调区间. （3）先排除情况，易得一个零点，依据零点间距小于1分区间结合端点函数值与极值点位置，求出取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又，. 因此曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ． 当时，恒成立，因此在上单调递减； 当时，令，得 ，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减，仅1个零点，不符合题意， 故． 当时，． 令 ，，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以． 要使有2个不同的零点，则，所以 ，即且． 注意到对任意，恒成立，则0为的一个零点，不妨设， 要使，则，且， 令，则 ，解得，所以． 当时，根据单调性可知，极小值点 ，且， 解得 ； 当时，根据单调性可知，极小值点 ，且， 解得， 综上，的取值范围是． 19. 某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为. （1）求； （2）求； （3）得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：） 【答案】（1），， （2） （3）2750元 【解析】 【分析】（1）根据概率的加法以及乘法公式，结合题意，可得答案； （2）由题意写出递推公式，构造等比数列，利用累加法，可得答案； （3）根据数列的通项公式，可得答案. 【小问1详解】 设员工每次游戏的得分为，则，， ，， . 【小问2详解】 由题意，， 则，解得或， 选， 由，则， ，……，， ， ， 当时，， 综上. 【小问3详解】 ， 即估计游戏奖励的预算资金为2750元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $