10.4三元一次方程组（巩固练习）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 10.4三元一次方程组 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列方程组中是三元一次方程组的是( ) A. B.C.， D. 【例2】已知方程组，则x＋y＋z的值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】已知三元一次方程组，则 ． 【例4】若是三元一次方程组的解，则k的值是 ． 【例5】(1)解方程组： (2)解方程组 【例6】已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【举一反三】 【变式1】三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式3】三元一次方程组的解是 ． 【变式4】如图，，，分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放，那么应放 个    【变式5】解下列三元一次方程组： (1)； (2) 【变式6】已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1． （1）求a，b，c的值； （2）当时，求代数式的值． 【巩固练习】 1.下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2.三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 3.方程组（　　） A．无解 B．有组解 C．有组解 D．有无穷多组解 4.已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 5.已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 6.已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 7.如图,“□”中所填的数是 ． 8.如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ． 9.已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 10.对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ． 11.解方程组 12.解方程组：． 13.已知，，为正数，且，求的值． 14.下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 15.魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何？”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡，母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡和小鸡各多少只？设公鸡，母鸡和小鸡各有，，只，请完成下列问题． （1）请列出满足题意的方程组，并求出与（用含的代数式表示）； （2）由于，，均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列方程组中是三元一次方程组的是( ) A. B.C.， D. 【答案】B 【例2】已知方程组，则x＋y＋z的值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【例3】已知三元一次方程组，则 ． 【答案】18 【例4】若是三元一次方程组的解，则k的值是 ． 【答案】-15 【例5】(1)解方程组： (2)解方程组 【答案】解：(1) 由②－①，得3x＋3y＝3④， 由③－②，得21x＋3y＝57⑤， 由⑤－④，得18x＝54， 解得x＝3， 将x＝3代入④，得9＋3y＝3， 解得y＝－2， 将x＝3，y＝－2代入①，得3＋2＋z＝0， 解得z＝－5， 所以方程组的解为 (2) ①×5－②，得4x＋7y＝23④， 由③x＝4y，代入④得16y＋7y＝23， 解得y＝1， 将y＝1代入③，得x＝4， 将x＝4，y＝1代入①，得z＝1， 则方程组的解为 【例6】已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【答案】∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 【举一反三】 【变式1】三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【变式2】如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【变式3】三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【变式4】如图，，，分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放，那么应放 个    【答案】5 【变式5】解下列三元一次方程组： (1)； (2) 【答案】解：（1） ①＋②，得4x＋z＝5，④ ③＋④，得5x＝10，解得x＝2 把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0 把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3 所以原方程组的解为． （2） ①＋②，得x＋z＝2，④ ②＋③，得5x－8z＝36，⑤ ④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2 把z＝－2代入④，得x＝4 把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0 所以原方程组的解是． 【变式6】已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1． （1）求a，b，c的值； （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）解：由题意知，， 得，，即， 得，，即， 将，，代入③式得，，解得， ∴，， ∴，，； （2）解：由（1）可知，， 把，代入， ∴的值为2． 【巩固练习】 1.下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.方程组（　　） A．无解 B．有组解 C．有组解 D．有无穷多组解 【答案】A 4.已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 5.已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 6.已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 7.如图,“□”中所填的数是 ． 【答案】 8.如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ． 【答案】5，6，4 9.已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 10.对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ． 【答案】 11.解方程组 【答案】 ②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 则方程组的解为． 12.解方程组：． 【答案】， 得：， 把代入①，②得： 得：， 把代入④得：， ∴方程组的解为：． 13.已知，，为正数，且，求的值． 【答案】， ， ， 同理可得：，， 解得：，，， ． 14.下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 【答案】（1）我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，方法有代入消元法和加减消元法．其中的步骤二通过代入消元法消去未知数z，将三元一次方程组变成了二元一次方程组，体现了数学中消元思想． 故答案为：一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元； （2） 解：由方程②，得……④ 将④分别代入方程①和③，得 整理得： 故答案为： 15.魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何？”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡，母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡和小鸡各多少只？设公鸡，母鸡和小鸡各有，，只，请完成下列问题． （1）请列出满足题意的方程组，并求出与（用含的代数式表示）； （2）由于，，均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）解：由题意得，， 解得 （2）解：由（1）得， ∵x、y、z都是正整数， ∴都是正整数， ∴x一定是4的倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 同理此时的x都不满足题意； 综上所述，或或． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $