精品解析：湖南永州市新田县第一中学2025-2026学年下学期高一入学检测试题数学（一）

高一下期数学考试（一） 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合 ，则 =（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知是一次函数,且满足,则（ ）. A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 5. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 1 6. 科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（ ）（参考数据：） A. 第6代种子 B. 第7代种子 C. 第8代种子 D. 第9代种子 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 二､多选题（本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. ， 10. 已知函数 的图象关于点 对称，则的值可以是（ ）. A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同的根 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数(且 )的定义域是 ，则实数的取值范围为____. 13. 已知 ，，则 ____. 14. 已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，. （1）试用向量来表示； （2） AM交DN于O点，求的值． 17. 如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计算时间. （1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； （2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数的值. （2）当时，判断并证明函数的单调性. （3）当时，是否存在实数使得对任意恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下期数学考试（一） 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意， ，则， 所以 . 2. 已知命题，，则命题的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定. 【详解】命题为特称命题，其否定为，. 故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 3. 已知是一次函数,且满足,则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出一次函数的解析式,利用,得到等式,列出方程组,解方程组即可求出的解析式. 【详解】因为是一次函数,所以设, 由,得. 整理得, 所以,解得. 故选A. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式,考查了数学运算能力. 4. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 5. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用两角和的正切公式的变形公式化简计算即可 【详解】 ， 故选：D 6. 科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（ ）（参考数据：） A. 第6代种子 B. 第7代种子 C. 第8代种子 D. 第9代种子 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可. 【详解】第代种子的数量为， 由题意得，得，即. 因为， 故种子数量首次超过100万粒的是第7代种子. 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象，求出函数的解析式，再对每一选项逐一判断求解. 【详解】由题意图象相邻对称轴间的距离为，可得，因此，所以， 当时，，故. 由，得，因为函数的最大值为2，所以， 因此. A选项，，非最值，故不是图象的对称轴，A错误； B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，图象不关于原点对称，B错误； C选项，的单调区间长度为，不可能在长度为的区间上单调递增，C错误； D选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，D正确. 故选：D 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用函数的对称性得出对称轴判断A，应用奇函数及函数的对称性得出对称中心判断B，应用单调性的定义结合对称性判断C，应用函数的周期性和单调性判断D. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于点中心对称，故A正确； 因为在区间上，有，所以在上单调递增， 因为关于轴对称，关于点中心对称，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故C正确； 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 又在上单调递增， 所以，故D错误. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，以及作差法，判断选项. 【详解】对于A，当时，，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D，因为，从而恒成立.故D正确． 故选：BD. 10. 已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（ ）. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】依题意，函数 ， 由，得， 则函数的图象关于点 对称，即 ， 当时，；当时，，BD是， 不存在整数，使得，AC不是. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称, 作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决. 【详解】对于A：令是偶函数，则，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 即，即周期，故B正确； 对于C：，， 所以，故C错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出的图象与的图象， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ABD． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数(且 )的定义域是 ，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的定义域为， 所以，不等式的解集为， 因此，函数是减函数，即， 故实数的取值范围为. 13. 已知，，则____. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得， 所以. 14. 已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由条件结合偶函数的性质和奇函数性质，求函数的周期，结合周期性性质求结论. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：2. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，解对数不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意是的真子集，显然，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，即，解得，即， 由，即，所以，解得，即， 所以，则. 【小问2详解】 由，即， 因为恒成立，解得， 所以， 由是的充分不必要条件，所以是的真子集，显然， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围是. 16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，. （1）试用向量来表示； （2） AM交DN于O点，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可得解. （2）设，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据三点共线，结合平面向量共线定理可得存在实数使，再结合平面向量基本定理即可得解. 【小问1详解】 由，得，所以， 由，得，所以. 【小问2详解】 设，则， 由三点共线，得存在实数使， 由向量不共线，得，，解得， 因此，所以. 17. 如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计算时间. （1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； （2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）建立如图所示坐标系，求出的角速度进而求出在时间t(s)内所转过的角为，得到正弦函数模型，再代入可求解； （2）令求出符合条件的解即可. 【小问1详解】 如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角. 每秒钟内所转过的角为，则OP在时间t(s)内所转过的角为. 由题意可知水轮逆时针转动，得. 当时，，得，即. 故所求的函数关系式为. 【小问2详解】 令， 得，令，得， 故点P第一次到达最高点大约需要4s. 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数的值. （2）当时，判断并证明函数的单调性. （3）当时，是否存在实数使得对任意恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）为上的增函数，证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据求得，再检验满足偶函数定义即可； （2）根据复合函数单调性判断，再结合函数单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为对任意恒成立，再求函数的最小值，并解对数不等式即可得答案. 【小问1详解】 解：定义域为， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得， 此时，定义域为， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 解：当时，为上的增函数， 证明：任取，且，则 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，当时，为上的增函数. 【小问3详解】 解：当时，， 则， 原不等式可化为， 即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以,化简得，解集为， 所以，不存在实数满足条件. 19. 已知函数. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简整理得，再整体代换求解即可； （2）令，进而将问题转化为的最值，再结合二次函数性质求解即可； （3）根据三角恒等变换化简整理得，再结合求解即可. 【小问1详解】 ， 令，得， 所以函数图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 ， 令， 则， 则， 可得，当即时，； 当即时，. 因为存在，对任意，有恒成立， 所以为的最小值，为的最大值， 所以， 所以，所以. 【小问3详解】 因为， 所以 ， 化简得， ， ， 得， 所以， 因为，所以，， 所以，，即. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $