精品解析：天津市第三十二中学2025～2026学年第二学期高二数学第一次月考试题

2025~2026学年度第二学期高二数学第一次月考 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内. 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有( ) A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计算原理即可求解． 【详解】根据题意可得从书架上任取1本书，有 种不同的取法． 故选：C． 2. 展开式中第3项的系数是（ ） A. 90 B. -90 C. -270 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项. 【详解】展开式的第3项为，故第3项系数为90， 故选：A 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当 时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 4. 函数在上的单调性是（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 在 上单调递减，在上单调递增 D. 在 上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解导函数值大于0、小于0的不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由 ，得；由 ，得， 所以函数在 上单调递减，在上单调递增. 故选：C 5. 若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当 或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 6. 已知函数在区间 上是增函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】解：由，得， 因为函数在区间 上是增函数， 所以在 上恒成立， 得恒成立 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题 7. 若二项式的展开式中的系数是-80，则实数( ) A. -80 B. 80 C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令x的次数为5求出对应r的值，再根据的系数是-80即可求出a的值． 【详解】的展开式的通项为， 令，解得． 的展开式中的系数是， ，解得． 故选：C． 8. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 9. 下列实数m的取值范围中，能使关于x的不等式恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数求出它的最大值，由这个最大值得出题设不等式恒成立的的范围，然后确定选项中集合是这个范围的子集即可． 【详解】由题意恒成立，设，则，易知 若，则恒成立，递增，，不合题意． 所以，在时是减函数，由得，当时，，递增，当时，，递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 令，则， 因为，所以当时，，递减，当时，，递增，由于 ，所以，所以存在，使得，当时，，原不等式成立，对照各选项，只有C满足， 故选：C． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，可把问题转化为研究函数的最值，由这个最值满足相应的条件得出参数取值范围，注意本题中要选的是这个范围的子集，而不一定是这个范围本身． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.请将答案填在题中横线上. 10. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后令 即可求出的单调递增区间. 【详解】由题可得函数定义域为 ， 对求导得：， 又， ，令 ，则只需即可，解得， 故函数的单调递增区间为. 11. 的展开式的中间一项为______. 【答案】924 【解析】 【分析】根据二项式的展开式通项公式，以及展开式的项数，即可求出展开式的中间一项． 【详解】解：的展开式通项公式为： ， 令 ，得， 即展开式的中间一项为． 故答案为：924 12. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据函数的单调性列出不等式，然后根据二次函数的性质计算即可. 【详解】对函数求导得，因为函数在定义域内单调递减， 即在上恒成立， 化简得. 因为， 则， 故实数的取值范围是 . 13. 现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法 【答案】 【解析】 【分析】 先排，然后排，最后排 ，由此求得不同着色方法数. 【详解】先排，有种方法； 然后排，最后排 ： ①当相同时，方法有种，故方法数有种. ②当不同时，方法有种，故方法数有种. 综上所述，不同的着色方法数有种. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题. 14. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有______. 【答案】 【解析】 【分析】分取出的数字有和没有两种情况讨论，先取数字、再排列. 【详解】若取出的数字有，则有个没有重复数字的四位数； 若取出的数字没有，则有个没有重复数字的四位数； 综上可得一共有个没有重复数字的四位数. 故答案为： 15. 已知函数，若对任意的，且，都有，则实数 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 化简不等式，得出函数的单调性，利用导数转化为不等式恒成立，进而分离参数求解对应函数的最值，即可得到参数的取值范围. 【详解】由，得， 由函数单调性的定义可得函数在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立，记，则，当时，，函数单调递减，且；当 时，，函数单调递增， 所以函数在上的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、最值，分离参数法求参数的取值范围；考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力及运算求解能力；将进行转化，从而求得函数的单调性，通过构造函数法和分离参数法求参数的取值范围是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 三、解答题：本大题共5个小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 16. 有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. （1）全体排成一排，女生必须站在一起； （2）全体排成一排，女生互不相邻； （3）已知甲、乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）相邻问题利用捆绑法求解； （2）不相邻问题利用插空法求解； （3）利用排除法，先全排，再减去甲站在排头，减去乙站在排尾，加上甲站排头的同时乙站排尾. 【小问1详解】 女生必须站在一起，则女生相邻，先排这3名女生，有种排法， 再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种排法， 故全体排成一排，女生必须站在一起有种排法. 【小问2详解】 先排4名男生，有 ，这4名男生产生5个空隙， 在这5个空隙中插入3个女生，有， 故全体排成一排，女生互不相邻有种排法. 【小问3详解】 7人全排有，甲站在排头的有，乙站在排尾的有， 甲站在排头且乙站在排尾的有， 故甲不站在排头，乙不站在排尾的有 . 17. 已知二项式的展开式中二项式系数和与各项系数和之差为255. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和为，各项系数和为则，解出即可得到答案. （2）先写出展开式中的通项公式，令的指数为0，即可得出答案. 【详解】解：（1）二项式系数和为，令得各项系数和为， 由条件可得，解得 （2）展开式中的通项公式为：， 令得， 故常数项为第3项 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证： 平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角 的正弦值． 【答案】18. 证明如下： 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则 , , , , , , ， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ， 所以 , , , 设平面的一个法向量为 ， 则，令 ，则 ， 因为 ，所以， 因为 平面，所以 平面； 19. ； 20. . 【解析】 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由 运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【18题详解】 略 【19题详解】 由（1）得， ， 设直线与平面所成角为， 则； 【20题详解】 由正方体的特征可得，平面的一个法向量为 ， 则， 所以二面角 的正弦值为. 19. 已知函数，且在和处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）设函数，若有且仅有一个零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求导，根据在和处取得极值，可得，解之即可得解； （2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意列出不等式，从而可得出答案. 【小问1详解】 解：， 因为在和处取得极值， 所以和是方程＝0的两个根， 则，解得，经检验符合已知条件， 所以； 【小问2详解】 解：由题意知， 当或 时，，当 时， ， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，， 因此，为使曲线与轴有一个交点，结合的单调性， 得：或， ∴或， 即当或时，使得曲线与轴有一个交点. 20. 已知函数，. （1）当 时，求函数的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数 的取值范围； （3）若，且 ，证明：. 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析. 【解析】 【详解】（1）， ①时，因为 ，所以， 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ②当时，令，解得， 当时，；当，． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值． （2）由题意，， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，故，故 ， 所以在区间上单调递增，函数． 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数k的取值范围为． （3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且． 不妨设，则， 要证，只要证，即证． 因为在区间上单调递增，所以， 又，即证， 构造函数， 即，． ， 因为，所以，即， 所以函数在区间上单调递增，故， 而，故， 所以，即，所以成立． 证法2 要证成立，只要证：. 因为，且，所以， 即，， 即， ，同理， 从而， 要证，只要证， 令不妨设，则， 即证，即证， 即证对恒成立， 设，， 所以在单调递增， ，得证，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高二数学第一次月考 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内. 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有( ) A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 24种 2. 展开式中第3项的系数是（ ） A. 90 B. -90 C. -270 D. 270 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 4. 函数在上的单调性是（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 在 上单调递减，在上单调递增 D. 在 上单调递增，在上单调递减 5. 若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知函数在区间 上是增函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若二项式的展开式中的系数是-80，则实数( ) A. -80 B. 80 C. -2 D. 2 8. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列实数m的取值范围中，能使关于x的不等式恒成立的是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.请将答案填在题中横线上. 10. 函数的单调递增区间是________. 11. 的展开式的中间一项为______. 12. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是________. 13. 现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法 14. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有______. 15. 已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共5个小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 16. 有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. （1）全体排成一排，女生必须站在一起； （2）全体排成一排，女生互不相邻； （3）已知甲、乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾； 17. 已知二项式的展开式中二项式系数和与各项系数和之差为255. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证： 平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角 的正弦值． 19. 已知函数，且在和处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 20. 已知函数，. （1）当 时，求函数的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，且 ，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $