精品解析：四川省自贡市荣县中学2025-2026学年八年级下学期第一次月考数学试题

2026年上期第1学月八年级数学巩固练习 一、单选题 1. 二次根式有意义时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得不等式，解不等式可求x的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 2. 下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，同类二次根式可以合并，只需将各选项化为最简二次根式，对比被开方数即可得到结果． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求， B．，被开方数为，与可以合并，不符合要求， C．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求， D．，被开方数为，不等于，与不能合并，符合要求． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 4. 计算×＋的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式后相加，即可得到结果． 【详解】解：×＋ ． 5. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B选项，由三角形内角和为可判断C、D选项． 【详解】解：A选项，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； B选项，由，设， 则，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； C选项，由，结合， 则，解得，是直角三角形； D选项，由，设， 则，解得， 此时最大角，不是直角三角形． 6. 已知三角形三边长为a，b，c，如果，则是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形 C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可． 【详解】解：根据题意，得a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0， 解得a＝10，b＝8，c＝6， ∵62+82＝102， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是以a为斜边的直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 7. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用．根据题意得出，，进而可得，根据，，即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， 故选：C． 8. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝12， ∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12， ∴AC×BC＝24， AB＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形的面积及勾股定理、完全平方公式，关键是根据扇形面积公式列出算式然后利用完全平方公式及勾股定理进行化简求解即可． 二、填空题 9. 若最简二次根式和能合并,则a的值为___. 【答案】2 【解析】 【分析】最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同. 【详解】最简二次根式和能合并，可知被开方数相同 = 解得 故答案为2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义. 10. 计算：的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 11. 已知，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出和的值，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 12. 如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到，然后根据勾股定理即可求得的长，然后根据、，即可表示出点C表示的数． 【详解】解：点A表示的数为， ， 于点O， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， 数轴上点C表示的数为， 故答案为：． 13. 如图，在长方形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由矩形的性质得到各边的长度和直角，根据翻折的性质得到对应边相等，先在中利用勾股定理求出的长度，再设，用表示出和，最后在中根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由翻折的性质可知：，， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， 的长为． 14. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为________ 【答案】秒或秒或秒 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，根据勾股定理得出，根据题意得，然后分为底和腰两种情况讨论即可．解题的关键是掌握勾股定理及等腰三角形的性质． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒， ∴， ①当为底边时， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（秒）； ②当为腰时， 如图， 当时，得：（秒）； 当时， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 三、解答题 15. 计算﹣2（） 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算的法则计算即可． 【详解】原式＝2＝0． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 已知三条线段的长分别为，，，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，求． 【答案】或 【解析】 【分析】已知直角三角形的两边求第三边时，分两种情况，利用勾股定理求解解答． 【详解】解：当长为和的线段为直角边时， ； 当长为的线段为直角三角形的斜边时， ． 18. 在中，，，为边上一点，且，，求边的长度． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理可判定，再使用勾股定理计算出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 19. 八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？ 【答案】12米 【解析】 【详解】试题分析：本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答. 设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为x2+52=（x+1）2， 解得x=12m， 所以旗杆的高度为12米． 四、解答题 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析． 【解析】 【分析】（1）图（1）直角三角形，使它的三边长都是有理数三边可以分别为：3，4，5； （2）图（2）等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数三边可以分别为：，利用勾股定理画出图形即可； （3）图（3）画一个正方形，使它的面积是8，可知边长为；根据这些分析在网格中利用勾股定理画出符合条件的图形． 【详解】解：（1）如图，三角形三边的长分别为 （2）如图，画腰长为 底边长为（）的三角形如下： （3）如图，画边长为的正方形如下： 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，考查了等腰直角三角形的判定，正方形的判定，正确应用勾股定理，勾股定理的逆定理是解题关键． 21. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴． 22. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）； （2）这块空地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 五、解答题 23. 请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： （1）①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） （2）设有理数a、b满足：，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①；② （2）26 （3）3 【解析】 【分析】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【小问1详解】 解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：设，， ， ， ， ， 即． 24. 综合与实践：如图，在四边形中，，，． 【初步感知】 （1）求证：为等边三角形； （2）如图1，连接，求的长； （3）【深入探究】如图2，点F是上一点，连接，若平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）先根据勾股定理求出，结合，得出，即可证明为等边三角形； （2）如图1，连接，与相交于点，证明为的垂直平分线，得出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，即可解答． （3）如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，则，从而得，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 如图1，连接，与相交于点， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 【小问3详解】 如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期第1学月八年级数学巩固练习 一、单选题 1. 二次根式有意义时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算×＋的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形三边长为a，b，c，如果，则是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形 C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 7. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 9. 若最简二次根式和能合并,则a的值为___. 10. 计算：的值为______． 11. 已知，，则的值为___________． 12. 如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____． 13. 如图，在长方形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是______． 14. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为________ 三、解答题 15. 计算﹣2（） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知三条线段的长分别为，，，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，求． 18. 在中，，，为边上一点，且，，求边的长度． 19. 八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？ 四、解答题 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8． 21. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 22. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 五、解答题 23. 请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： （1）①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） （2）设有理数a、b满足：，求的值； （3）已知，求的值． 24. 综合与实践：如图，在四边形中，，，． 【初步感知】 （1）求证：为等边三角形； （2）如图1，连接，求的长； （3）【深入探究】如图2，点F是上一点，连接，若平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $