3.3 离差平方和与方差（第1课时 离差平方和与方差的认识）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

3. 3离差平方和与方差 第1课时 离差平方和与方差的认识 第三章 数据初步分析 章节导读 3.1平均数 3.2 中位数与众数 3.3离差平方和与方差 3.4四分位数与箱线图 中位数与众数 离差平方和与方差 四分位数 箱线图 算术平均数与加权平均数 分布式计算 组 内(间)离 差 平 方 和 学 习 目 标 1 2 3 了解离差平方和、方差、标准差的概念; 会计算一组简单数据的离差平方和、方差 、标准差，知道离差平方和、方差 、标准差都能刻画这组数据的离散程度 ； 理解方差的计算公式，并会用它来比较两组数据的波动大小解决一些实际问题. 复习回顾 平均数、中位数与众数的特点： 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同的侧面反映了数据 的集中程度，但也存在各自的局限性。 平均数：①与每个数据有关；②易受极端值影响。 中位数：①与排列位置有关；②不受数据极端值影响。 众 数：①与出现次数有关；②不受极端值影响。 想一想 如果要选拔射击运动员参加比赛，不仅要看运动员成绩的高低，还会看运动员成绩是否稳定。 用平均数、中位数和众数能否刻画成绩的稳定性呢？ 4 新知探究 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 合作学习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 5 新知探究 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （2） 根据这两名运动员的成绩，在图中画出折线统计图。 合作学习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 描点、连线 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 你发现了什么？ 6 新知探究 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 合作学习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 分析：对于参加比赛而言，同等条件下，发挥的稳定性更为重要！ 7 新知探究 （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 合作学习 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 甲、乙两名运动员的平均成绩相同（都为8）， 从统计图中可以看出，甲各次射击的成绩都接近平均数8环，较稳定；而乙各次射击的成绩偏离平均数较大，波动较大。 在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 所以挑选甲较为合适。 8 归纳总结 对于一组数据,,...，这组数据的平均数为，则 =+...+ 离差平方和 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和，记为 。 甲射击成绩的离差平方和： ； 乙射击成绩的离差平方和： 。 想一想：直接计算甲、乙射击测试成绩的离差的和，结果如何？ 9 新知探究 方差 甲射击成绩与平均成绩的离差的和： 乙射击成绩与平均成绩的离差的和： 注意：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程度时，只适用于数据个数相同的情况。 容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的平均数来衡量数据的稳定性。 10 归纳总结 方差 一般地，一组数据的各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为 。 ①方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定； ②在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 特点 表示样本容量 表示样本平均数 典例分析 例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出 10株小麦苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6， 8， 10，16。哪块田地的小麦长得比较整齐？ 方差 因为，S2甲<S2乙，所以甲田地的小麦长得比较整齐. 12 归纳总结 标准差 求方差的一般步骤： 方差的选用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． 先平均，后求差，平方后，再平均。 由例1可知，数据的单位与方差的单位不一致，为了使单位一致，可用方差的算术平方根来表示，即标准差. 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 同方差一样，标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 拓展探究 探究活动（P75） （1）已知数据99，97，96，98，95，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据。将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数。 （2）观察你画的两个 图形，你发现了哪些 有趣的结论？ 方差的性质 14 拓展探究 探究活动（P75） （2）观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？ 方差的性质 ①这组数据中的每个数据都减去97，得到的新数据的平均数比原数据的平均数减少97； ②这组数据中的每个数据都减去97，得到的新数据的方差不变； 15 归纳总结 方差的性质 1.如果一组数据X1 X2 X3 … … Xn的平均数是x，方差是S2， 那么，X1±a, X2±a … … Xn±a 的平均数是x±a, 方差是S2 ； 2.如果一组数据X1 X2 X3 … … Xn 的平均数是x，方差是S2， 那么，bX1, bX2 … … bXn , 的平均数是bx , 方差是b2S2. 16 典例分析 请你用发现的结论来解决以下的问题： 已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y, 则 ①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为-————-------，方差为-------； ②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 ----------，方差为--------； ③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为-----------，方差为----------. ④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 ----------，方差为---------. 方差的性质 X+3 Y X-3 Y 3X 9Y 2X-3 4Y 试一试 17 随堂练习 基础过关(P75) 1.数据5,8,5,4,6,7,8,8,3,6的离差平方和是 ，方差是 。 28 2.8 步骤： 1.求数据的平均数=6； 2.利用离差平方和公式求离差平方和； 3.利用方差公式求方差。 随堂练习 基础过关(P75) 2.如图是小慧根据上海市某天上午和下午各四个整点时的气温绘制成的折线统计图。根据该统计图回答：该天上午和下午的气温哪个更稳定？请说明理由。 解：上午时段：9时、10时、11时、12时，对应温度依次为、、、。 下午时段：14时、15时、16时、17时，对应温度依次为、、、。 上午平均气温：； 下午平均气温： 上午方差：； 下午方差：； 因为，所以下午气温更稳定。 随堂练习 能力提升 3. 已知一组数据为7，1，5，，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为 . 6 随堂练习 能力提升 4. 某校模拟考试中，九年级（1）班的六名学生的数学成绩 （单位：分）如下：96，108，102，110，108，82.下列说法 不正确的是( ) A. 众数是108分 B. 中位数是105分 C. 方差约是94.3分 D. 标准差是 分 D 【解析】重新排序，再根据定义和公式进行判断 随堂练习 能力提升 5.甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量如下表. (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)从计算结果看，在10天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次品的波动较小？ 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 解:（1） ； ； （2）从计算结果看，在这10天中，乙机床出次品的平均数较小， 由于 ，所以乙机床出次品的波动较小． 随堂练习 能力提升 6.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下： 甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （1）填写下表： 同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率 甲 84 84 0.3 乙 84 84 34 84 90 0.5 14.4 随堂练习 能力提升 （2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价。 从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分， 乙的成绩比甲好； 从方差看，，甲的成绩比乙相对稳定； 从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好； 从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好。 课堂小结 稳定性 离差平方和与方差 方差 标准差 一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差. S2=________________________ 用来衡量一组数据的__________(即这组数据波动的大小）的统计量.在样本容量相同的情况下,方差越_________，说明数据的波动越大，越不__________ 一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 大 稳定 离差平方和 样本中，各数据与平均数的差的平方和 感谢聆听! [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] $