3.3离差平方和与方差(第1课时) 课件 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

第3章 数据分析初步 3.3离差平方和与方差(第1课时) （浙教版）八年级 下 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 01 教学目标 01 02 了解离差平方和、方差的概念。 会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方差都能刻画这组数据的离散程度。 02 章节导入 在许多大型的文艺比赛中，统计评委的评分时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分? 三峡工程是具有水资源利用、发电、航运等综合效益的特大水利枢纽工程。 如果我们获得大坝下闸蓄水前后8个地点的水位海拔，可以用什么统计量来说明三峡工程对长江水位变化的影响？通过计算大坝下闸蓄水后水位海拔的方差，为长江出现“高峡出平湖”景象作出解释。 本章将学习刻画数据特征的平均数、中位数、众数、离差平方和与方差。在此基础上，我们还将学习四分位数和箱线图等。通过本章的学习，我们将对数据的作用有更多的认识，能够对统计的结果作出判断和预测。 02 新知导入 如果要选拔射击运动员参加比赛，不仅会考查运动员成绩的高低，还会考查运动员成绩的稳定性。在数学中，用什么统计量来刻画成绩的稳定性？ 03 新知讲解 合作学习 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 （2） 根据这两名运动员的成绩，在图中画出折线统计图。 （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 03 新知讲解 合作学习 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 03 新知讲解 合作学习 （2） 根据这两名运动员的成绩，在图中画出折线统计图。 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 03 新知讲解 合作学习 （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但甲各次射击的成绩都接近平均数8环，而乙各次射击的成绩偏离平均数较大。在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 03 新知探究 离差平方和： 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为 离差平方和，记为 。 特点 可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程度时，只适用于数据个数相同的情况。 对于一组数据，， ，，这组数据的平均数为 ，则 。 03 新知探究 甲、乙两名运动员射击测试成绩的离差平方和如下： (7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2； (10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16 。 你发现了什么？ 容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有 关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的 平均数来衡量数据的稳定性。 03 新知探究 方差： 一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据 的方差，记为 。 特点 方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定；在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 03 新知讲解 例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出 10株小麦苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6， 8， 10，16。 哪块田地的小麦长得比较整齐？ (12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm); (11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm); 解： 03 新知讲解 例1 因为S2甲<S2乙，所以甲这块地的小麦长得比较整齐. 03 新知探究 标准差： 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 特点 标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 03 新知探究 归纳总结 在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据． 04 课堂练习 基础题 1. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次 射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环 ）如 表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定 的运动员参加比赛，应选择( ) 甲 乙 丙 丁 9 8 9 8 1.6 0.8 0.8 3 C A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 04 课堂练习 基础题 2. 八年级一班甲小组的5名学生进行飞镖训练,某次训练的成绩(单位:环)分别为4,3,5,7,6.甲小组成绩的离差平方和是 　10　环2,标准差是 　 　环.  10　 　 3.已知一组数据为7，1，5， ，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为 ___. 6 04 课堂练习 基础题 4. 甲、乙两支篮球队的五名主力球员的身高如下表: 甲队主力球员身高/cm 194 203 187 192 189 乙队主力球员身高/cm 196 190 207 185 192 哪队的主力球员的平均身高较高?哪队的主力球员的身高较为整齐? 04 课堂练习 基础题 解: = ×(194+203+187+192+189)=193(cm), = ×(196+190+207+185+192)=194(cm), = ×[(194-193)2+(203-193)2+(187-193)2+(192-193)2+(189-193)2]=30.8(cm2), = ×[(196-194)2+(190-194)2+(207-194)2+(185-194)2+(192-194)2]=54.8(cm2). 因为193<194,所以 < ,即乙队的主力球员的平均身高较高. 因为30.8<54.8,所以 < ,即甲队的主力球员的身高较为整齐 04 课堂练习 提升题 1. 某校模拟考试中，九年级（1）班的六名学生的数学成绩 （单位：分）如下：96，108，102，110，108，82.下列说法 不正确的是( ) D A. 众数是108分 B. 中位数是105分 C. 方差约是94.3分 D. 标准差是 分 04 课堂练习 提升题 2. 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是 ,则另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数和方差分别是(　D　) B. 2,1 D. 4,3 D 3. 一组数据2,3,4,x,y的平均数是3,离差平方和是4,则xy= 　8　.  8　 04 课堂练习 拓展题 (1) 求出下列各组数据的平均数和方差. ① 1,2,3,4,5,6,7,8,9; ② 11,12,13,14,15,16,17,18,19; ③ 10,20,30,40,50,60,70,80,90. 04 课堂练习 拓展题 解:(1) ① = ×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,S2= ×[(1-5)2+(2-5)2+(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(9-5)2]= ② = ×(11+12+13+14+15+16+17+18+19)=15,S2= ×[(11-15)2+(12-15)2+(13-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(16-15)2+(17-15)2+(18-15)2+(19-15)2]= 　③ = ×(10+20+30+40+50+60+70+80+90)=50,S2= ×[(10-50)2+(20-50)2+(30-50)2+(40-50)2+(50-50)2+(60-50)2+(70-50)2+(80-50)2+(90-50)2]= 04 课堂练习 拓展题 (2) 根据(1)中的计算结果,你发现了什么规律?根据你发现的规律填写下表: 数　据 平均数 方　差 x1,x2,…,xn S2 x1+a,x2+a,…,xn+a S2 mx1,mx2,…,mxn m2S2 解:(2) 规律:一组数据中的每一个数加或减一个数,它的平均数也加或减这个数,方差不变;一组数据中的每一个数都变为原数的n倍,它的平均数变为原平均数的n倍,它的方差变为原方差的n2倍.填表如上 +a S2 m m2S2 05 课堂小结 1.离差平方和： 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为 离差平方和，记为 。 2.方差： 一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据 的方差，记为 。 3.标准差： 06 板书设计 3.3离差平方和与方差(第1课时) 1.离差平方和： 2.方差： $