精品解析：广东省汕头市潮南区2025--2026学年下学期七年级数学科阶段学案（一）

七年级数学科阶段学案（一） 内容包括：第七章——第八章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列现象中，属于平移现象的是（ ） A. 钟摆的运动 B. 方向盘的转动 C. 电梯的升降 D. 建筑在水面的倒影 3. 9的平方根是（　　） A. B. C. D. 4. 如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在实数，，0，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A. ∵，∴（内错角相等，两直线平行） B. ∵，∴（两直线平行，内错角相等） C. ∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D. ∵，∴（两直线平行，同位角相等） 10. 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题） 11. 如图，在数轴上表示的点可能是______． 12. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为________． 13. 下列命题中：①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题有______．（填序号） 14. 如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为______． 15. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 计算：． 17. 如图，点O是直线上一点，，平分，，求的度数． 18. 如图，，点E在上，点F在上，．那么吗？阅读下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， （________________________）， ∴（等量代换）． ∴________∥________（________________________）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（________________________）． ∴________=________（等量代换）． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 20. 在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） （1）过点E画直线； （2）在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； （3）点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 21. 如下图，点D，H分别在上，点E，F都在上，交于点，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步 确定立方根的位数 ∵， ∴，即， 即59319的立方根是一个两位数； 第二步 确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表： 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且不重不漏． ∵59319的个位数字是9，∴能确定的个位数字是9； 第三步 确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位． 数字59319太大，为了便于确定十位数字，可先划去59319后面的三位319得到数59． ∵， ∴，即， ∴的十位数字是3， ∴． （1）【归纳总结】求较大完全立方数的立方根时，先确定结果的______，再确定各数位上的数字． （2）【迁移应用】的立方根是一个______位数，其立方根的个位数字是______； （3）已知是整数x的立方，按照上述方法求x； （4）①的立方根是______； ②的立方根是______； ③的立方根是______． 23. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学科阶段学案（一） 内容包括：第七章——第八章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 2. 下列现象中，属于平移现象的是（ ） A. 钟摆的运动 B. 方向盘的转动 C. 电梯的升降 D. 建筑在水面的倒影 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平移的定义为：把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到新的图形，这种移动叫做平移，平移不改变图形的方向， ∴A．钟摆的运动是绕定点摆动，方向不断改变，不属于平移，不符合题意； B．方向盘的转动方向改变，不属于平移，不符合题意； C．电梯的升降是整体沿竖直直线方向移动，图形方向和形状大小均不改变，属于平移，符合题意； D．建筑在水面的倒影是轴对称变换，不属于平移，不符合题意． 3. 9的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 4. 如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 6. 如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得出，再结合已知条件得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：由对顶角得出， ∵， ∴， ∴． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、∵， ∴，该选项计算正确； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误． 8. 在实数，，0，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：，， 在实数，，0，，，，中，无理数有，，，共3个． 9. 如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A. ∵，∴（内错角相等，两直线平行） B. ∵，∴（两直线平行，内错角相等） C. ∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D. ∵，∴（两直线平行，同位角相等） 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键． 根据平行线的性质及平行线的判定定理解答． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），正确，该选项不符合题意； B、∵， ∴（两直线平行，内错角相等），正确，该选项不符合题意； C、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补），正确，该选项不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），原结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 10. 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 如图，在数轴上表示的点可能是______． 【答案】点Q 【解析】 【分析】先估算的取值范围，进而可确定表示的点所在的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点可能是点Q． 12. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为________． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两条对边互相平行，， ∴， ∴． 13. 下列命题中：①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题有______．（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】根据平行线的判定、直角的性质、实数的性质和平行公理，逐一判断每个命题的真假即可．本题考查命题真假的判断，熟练掌握相关基础定理和性质是解题的关键． 【详解】解：①同旁内角相等，两直线平行，是假命题． 平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行． ②如果两个角是直角，那么它们相等，是真命题． 所有直角都等于，因此所有直角都相等． ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 若两个实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数． ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题． 平行公理为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 14. 如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得，，，即得，再根据梯形的面积公式解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，，， ∴，， ∴四边形是直角梯形， ∵为中点， ∴， ∴， 解得， ∴平移距离为， 故答案为：． 15. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴ ， ， ∵，， ∴，， ∴． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算立方根，算术平方根，绝对值，再加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，点O是直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，根据平分，求出，根据，结合即可求解； 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，，点E在上，点F在上，．那么吗？阅读下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， （________________________）， ∴（等量代换）． ∴________∥________（________________________）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（________________________）． ∴________=________（等量代换）． 【答案】对顶角相等；AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；； 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理以及对顶角相等这一性质． 先根据对顶角性质得到，结合已知进行等量代换推出，再利用平行线性质得到与与的关系，最后通过等量代换得出与的关系． 【详解】解：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程可求得a，进而求得x；再利用立方根的定义求得b，然后求得的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴，即，解得， ∴， ∴， 又∵b的立方根是， ∴， ∴， ∵2的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 20. 在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） （1）过点E画直线； （2）在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； （3）点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2）如图所示；垂线段最短 （3）4，如图所示 【解析】 【分析】（1）先确定的方向（从到是向右 3 格、向上 3 格），再从点出发，按相同方向（向右 3 格、向上 3 格）找到格点，连接直线即可； （2）过点作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点P是过E作的垂线的垂足，此时最短， 依据是：垂线段最短； 【小问3详解】 解：要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，在图中，这样的格点（不与重合）共有,,,共4个. 21. 如下图，点D，H分别在上，点E，F都在上，交于点，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，，进而根据平行线的性质得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步 确定立方根的位数 ∵， ∴，即， 即59319的立方根是一个两位数； 第二步 确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表： 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且不重不漏． ∵59319的个位数字是9，∴能确定的个位数字是9； 第三步 确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位． 数字59319太大，为了便于确定十位数字，可先划去59319后面的三位319得到数59． ∵， ∴，即， ∴的十位数字是3， ∴． （1）【归纳总结】求较大完全立方数的立方根时，先确定结果的______，再确定各数位上的数字． （2）【迁移应用】的立方根是一个______位数，其立方根的个位数字是______； （3）已知是整数x的立方，按照上述方法求x； （4）①的立方根是______； ②的立方根是______； ③的立方根是______． 【答案】（1）位数 （2）两，5 （3） （4）①48；②；③0.81 【解析】 【分析】（1）根据实例第一步即可得解； （2）根据实例的计算方法计算即可； （3）第一步确定位数，第二步确定个位数字，第三步确定十位数字即可； （4）分别计算立方根即可 【小问1详解】 根据题目要求，先确定立方根的位数； 【小问2详解】 ， ， ， 的立方根是一个两位数， 根据已知条件表格发现： 十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且不重不漏， 的个位数字是， 能确定的个位数字是． 【小问3详解】 ， 是一个两位数， 的个位数字是，且， 的个位数字是， 去掉末尾后三位后是，且，， ， 的十位数字是， ； 【小问4详解】 数字的立方根是一个两位数， 的个位数字是，且， 个位数字是， 去掉末尾后三位是，且，， ， 十位数字是， 的立方根是； 求的立方根，先求的立方根， ， 数字的立方根是一个两位数， 的个位数字是，且， 个位数字是， 去掉末尾后三位是，且，， ， 十位数字是， 的立方根是； ， 被开方数有六位小数， 的立方根是两位小数， 的最后数位数字是，且， 百分位的数字是， 去掉末尾后三位是，且，， ， 十分位数字是， 的立方根是． 23. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1）， 选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $