上海市徐汇中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段性练习卷

上海市徐汇中学2026学年九下数学阶段性练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）对于函数，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）二次函数的顶点式为，则p的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 4．（本题4分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大，则x的值可能是（   ） A．12 B．10 C．2 D．0 6．（本题4分）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）不等式的解集是______． 8．（本题4分）将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是__________． 9．（本题4分）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 10．（本题4分）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 11．（本题4分）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 12．（本题4分）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是_______． 13．（本题4分）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则______________ 14．（本题4分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是__________． 15．（本题4分）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 16．（本题4分）为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 17．（本题4分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发．在跑步过程中，甲、乙两人的距离与乙出发的时间之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确的是 __． 18．（本题4分）如图D为等边△ABC内一点，如果DA=3，DB=4，DC=5，那么△ABC的面积为______________． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）先化简，再求值：已知，求的值． 20．（本题10分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 21．（本题10分）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如下表所示（有两个数据被遮盖）． 日期 一 二 三 四 五 中位数 平均数 最高气温 2 1 0 ■ ■ 1 (1)在数据被遮盖的情况下，我们可以计算出________（多选） A．中位数；B．众数；C．第五日数据；D．方差 (2)直接写出第（1）小题你选择的所有数据． (3)当表格的信息中日期一、二、三、四中又有一个日期被遮盖，那么可以计算出的结果相较于原先最多少了________个 22．（本题10分）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 23．（本题12分）如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．（本题12分）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 25．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； (3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《上海市徐汇中学2026学年九下数学阶段性练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B A A C 1．B 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 2．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查二次函数顶点坐标公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．通过二次函数顶点横坐标公式，比较给定顶点式中的横坐标值，直接求出p即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点横坐标为：，顶点式为，即顶点横坐标为2， ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差，数据1，3，5，7，9中，每2个数相差2，一组数据2，4，6，8，x前4个数据也是相差2，若或时，两组数据方差相等，故先求出1，3，5，7，9这一组数据的平均数和方差，再根据题意代入另一组数据，求出平均数以及方差看是否满足题意即可． 【详解】解： 1，3，5，7，9这一组数据的平均数为：， 方差为：， ∵2，4，6，8，x这一组数据的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大， 则有 当时，2，4，6，8，x这一组数据的平均数为：， 满足题意， 故选：A 6．C 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， ， 即，， 故A不符合题意； 若，，与已知条件不符， 故不成立，C符合题意； B、， ，， 故B、D选项不符合题意； 故选：C． 7． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 首先展开不等式右边，然后移项合并同类项，注意到系数为负，除以负数时不等式方向反转，最后再分母有理化即可． 【详解】解： ∴原不等式的解集为， 故答案为：． 8． 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据抛物线平移规则，向左平移2个单位，将原函数中的替换为，然后问题可求解． 【详解】解：原抛物线为，向左平移2个单位后，新抛物线表达式为，化简得． 故答案为． 9． 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数的性质，根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可．掌握反比例函数比例系数的几何意义及反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 根据甲同学的说法可得：， ∴， 根据乙同学的说法可知：， ∴， ∴根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式是． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 11． 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 12． 【分析】本题考查了正多边形与圆的问题，正多边形的性质，熟练掌握了正多边形与圆的问题是解题的关键．作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P，求出、、的长，即可求得的半径 r 的取值范围，即得答案． 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P， 则，是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 是的直径， ， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 的半径 r满足． 故答案为： 13．8 【分析】本题考查平均数的计算，关键是掌握平均数的计算公式．根据平均数计算公式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：8． 14．8＜r＜10 【详解】试题分析：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时， ⊙A的半径为：AC=AD=4， ⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8； 如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时， ⊙A的半径为：AB=AD=5， ⊙B的半径为：r=2AB=10； ∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10． 故答案为8＜r＜10． 考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系；3.勾股定理. 15． 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 16．130 【分析】根据总数乘以体重小于80千克且不小于70千克的频率求解即可． 【详解】解：． 17．①②③ 【分析】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句话是关键，利用数形结合解决问题． 首先求出甲乙两人的速度，①是两人相遇的时间，相遇时两人的路程相等，列方程可以得出； ②是甲到达终点的时间，因为此图中的是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论； ③是100秒时，两人的距离为米． 【详解】解：， 甲速为每秒4米， ， 乙速为每秒5米， 由图可知，两人小时相遇，则， ，故①正确； 由图可知：乙100秒到终点， 而甲需要的时间为：秒，所以，故②正确； 当乙100秒到终点时，甲、乙二人的距离为：米， ，故③正确； 故答案为：①②③． 18． 【分析】此题根据旋转知识点分别绕点A逆时针旋转△ADC得到△AEB，分别根据旋转得到△ADE为等边三角形，△BDE为直角三角形，根据此求出面积，同理绕点C逆时针旋转△BDC得到△AFC，绕点B逆时针旋转△ADB得到△CMB，分别求出，，再根据求出△ABD的面积为． 【详解】如图：绕点A逆时针旋转△ADC得到△AEB，绕点C逆时针旋转△BDC得到△AFC，绕点B逆时针旋转△ADB得到△CMB， ∵绕点A逆时针旋转△ADC得到△AEB， ∴AD=AE，∠DAE=∠CAB=60°， ∴△ADE为等边三角形， 即AD=AE=DE=3， ∴ ， ∴， 由旋转知：BE=DC=5， 又BD=4, ∴ , 即△BDE为直角三角形，∠EDB=90°， ∴ ， ∴ ， 同理：， ， 由图知：， ∴， ， ， 即△ABD的面积为， 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理和旋转的相关知识点，难度较大，找出旋转后的直角三角形是关键． 19． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 20．，图见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及解集在数轴上的表示，解题的关键是分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 分别解不等式和，然后确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集，最后在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式10， ， ， ， ； 解不等式， ， ， ， ， ， 综合两个不等式的解和，根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为． 在数轴上表示解集： 21．(1) (2)第五日数据为，中位数为，方差为4 (3)3 【分析】本题考查了中位数、众数和方差，掌握相关的数据是解决本题的关键． （1）根据中位数、众数和方差的定义进行判断即可； （2）由（1）进行计算即可； （3）假设星期一被遮盖进行计算即可． 【详解】（1）解：根据平均数可得五日气温总和为， ∴前四天气温和为， ∴第五日气温为， ∴选项C可计算， ∴排序气温为， ∴中位数为中间数1， ∴选项A可计算， ∵所有数仅出现一次，无法确定， ∴选项B不可计算， ∵方差需要平均数和所有数据已知， ∴选项D可计算． 综上所述，是正确的， 故选； （2）解：由（1）可得，第五日数据为，中位数为， 方差为 ； （3）解：假设星期一被遮住了， 则五日气温总和为， ∴星期二、星期三、星期四的气温和为， ∴星期一、星期五的气温和为， 但无法知到星期一、星期五的具体温度， ∴选项C和选项D不可计算， ∵数据无法排序， ∴选项A无法计算， 故答案为：3． 22．(1) (2)°， 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角函数的求解，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入求得，推出；将代入求得，即可求解； （2）由题意得直线的解析式为：；联立与得：；可推出是等腰直角三角形，得；根据，得；作，即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：； 求得：； ∴； 将代入得：， 求得：； ∴； （2）解：由（1）可得：； ∵直线和直线平行， ∴直线的解析式为：； 联立与得：； ∴轴，且； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； 作，如图所示： 则； ∵，， ∴； ∴； 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由得，得到，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．(1)周长为，面积为 (2)新正方形的面积为；周长为；示意图见解析 【分析】（1）先求出等腰直角三角形④的腰长，可得正方形⑥的边长，进而得到等腰直角三角形①的腰长，再分别求出等腰直角三角形①和④的底边长，即可求出，进而求出，即可求出四边形的周长与面积； （2）根据③，④，⑤，⑥，⑦五块板的面积和为，可得用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为，即可解答． 【详解】（1）解：∵编号为④的等腰直角三角形的面积为1， ∴等腰直角三角形④的腰长为， ∴正方形⑥的边长为， ∴等腰直角三角形①的腰长为， ∴等腰直角三角形①的底边长为， ∵等腰直角三角形④的底边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，面积为； （2）解：∵③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出的正方形的面积刚好是的面积， ∴新正方形的面积为； ∴用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为， ∴新正方形的周长为； 示意图如下： ． 25．(1)，； (2)； (3) 【分析】本题综合考查二次函数图象与几何性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理． （1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得，过、作轴垂线得，，由相似比得． 【详解】（1）解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； （2）解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； （3）解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线的距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题核心是数形结合与转化思想，（1）侧重函数与方程转化，（2）巧用角与线段关系转化，（3）通过面积转化推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意的符号细节． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $