2026年上海市中考第一次模拟考试数学试卷（自编模拟）

2026年上海市初中中考第一次模拟考试试卷 数 学 本试卷共三大题，共25小题，考试用时120分钟，满分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知欢欢今年a岁，欢欢妈妈的年龄是欢欢的4倍，欢欢外婆的年龄是欢欢妈妈年龄的2倍，那么8年后，欢欢的年龄最有可能的是（    ） A．9岁 B．12岁 C．17岁 D．25岁 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 4．为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 5．已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．分解因式： ______． 8．不等式组的正整数解是 ______． 9．一元二次方程有两个相等的实数根，的值为___________． 10．已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 11．方程的根是______． 12．抛物线的开口向上，那么a的取值范围是____． 13．若事件、不会相互影响，事件发生的概率是，事件发生的概率是，则它们同时发生的概率是__________． 14．某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 15．为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 16．在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的_____倍（用科学记数法表示）． 17．在矩形中，过点作，垂足为，以为斜边作直角三角形，与交于点．如果，那么的取值范围是_____． 18．已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。 19．计算的值． 20． 解分式方程：． 21．某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费.年用天然气量 310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出 310 立方米为第二档．某户应交天然气费 y（元） 与年用天然气量 x（立方米）的关系如图所示，观察图像并回答下列问题： (1)年用天然气量不超过 310 立方米时，求 y 关于 x 的函数解析式（不写定义域）； (2)小明家 2021 年一年天然气费为 1227 元，求小明家 2021 年年天然气使用量． 22．（1）在中，记、、的对边分别为a、b、c． ①如图1，当是等边三角形（即）时，的面积为________（结果用含a的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出a、b满足的数量关系________． 23．如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 24．在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 25．在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市初中中考第一次模拟考试试卷 数 学 本试卷共三大题，共25小题，考试用时120分钟，满分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知欢欢今年a岁，欢欢妈妈的年龄是欢欢的4倍，欢欢外婆的年龄是欢欢妈妈年龄的2倍，那么8年后，欢欢的年龄最有可能的是（    ） A．9岁 B．12岁 C．17岁 D．25岁 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 4．为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 5．已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．分解因式： ______． 8．不等式组的正整数解是 ______． 9．一元二次方程有两个相等的实数根，的值为___________． 10．已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 11．方程的根是______． 12．抛物线的开口向上，那么a的取值范围是____． 13．若事件、不会相互影响，事件发生的概率是，事件发生的概率是，则它们同时发生的概率是__________． 14．某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 15．为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 16．在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的_____倍（用科学记数法表示）． 17．在矩形中，过点作，垂足为，以为斜边作直角三角形，与交于点．如果，那么的取值范围是_____． 18．已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。 19．计算的值． 20． 解分式方程：． 21．某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费.年用天然气量 310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出 310 立方米为第二档．某户应交天然气费 y（元） 与年用天然气量 x（立方米）的关系如图所示，观察图像并回答下列问题： (1)年用天然气量不超过 310 立方米时，求 y 关于 x 的函数解析式（不写定义域）； (2)小明家 2021 年一年天然气费为 1227 元，求小明家 2021 年年天然气使用量． 22．（1）在中，记、、的对边分别为a、b、c． ①如图1，当是等边三角形（即）时，的面积为________（结果用含a的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出a、b满足的数量关系________． 23．如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 24．在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 25．在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市初中中考第一次模拟考试试卷 数学·参考答案及评分细则 一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 6 答案 A B A B D 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7.(5x+1(5x-1. 8.3,4. 9.:±6. 10.>. 11.x=2 12.a>-4. 13.0.125 14.2. 15.660 16.6.25×104, 17.<k<1. 18.4-25. 三、解答题：本大题共7小题，共78分。 19.(10分) 【详解】解：原式=5-1-3+32*雨+2(5分) 2+5 =V3-1-3+2+5+2(8分) =25·(10分) 20.(8分) 【详解】解：方程可变为，动一可二 试卷第1页，共3页 方程两边同时乘以2(x+3)(x-3),得2(x-3)-(x+3)=3x-15, 解得x=3,(4分) 检验：当x=3时，2(x+3)(x-3)=0, x=3是原方程的增根， ∴原方程无解.(8分) 21.(10分) 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y=x,将点(310,930)代入y=kx,得930=310k, 解得k=3, .函数关系式为y=3x: (2).1227>930, ∴.小明家得天然气费属于第二档. 设第二档的关系式为y=kx+b1,将点(310,930)，和点(320,963)代入，得 (930=310k1+b1 963=320k1+b1’ k1=3.3 解得b1=-93’ 所以关系式为y=3.3x-93. 当y=1227时，1227=3.3x-93, 解得x=400 所以小明家2021年年天然气使用量时400立方米. 22.(12分) 【详解】解：(1)①△ABC的高=AB·sin60=号a, △ABC的面积=a号a=号a2, 故答案为：a:(3分) ②如图，过点B作BD⊥AC的延长线于点D, B DC 根据题意得，BC=a=2cm,AC=b=6cm, :∠C=120°， 试卷第1页，共3页 ∴.∠BCD=180°-120°=60°， BD=BC.s∠BCD=asin60°=-9a, △ABC的面积=专ACBD=专×b×号a=号ab=3V5cm2:(6分) (2):三个含120·的全等的三角形(a<b<c)可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等 边三角形， .小的等边三角形边长为b一a, “由(1)①可得小等边三角形的面积为(b-a)2, 由（1)②可得三个含120°的全等的三角形的面积为3×号b-渠b, :大等边三角形的面积=(b-a)2+渠b,(8分) :大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍， :5(b-a)2+9b=16×(b-a)2 化简得，5a2-11ab+5b2=0, 解得a=1b, 10 .a<b, b. 故答案为：a=4b.(12分) 23.(12分) 【详解】(1)解：如下图，连接AO延长交BD于H,连接B0, A H AD=AB, ·AH⊥BD, :BD=8, BH=DH=4,(2分) 试卷第1页，共3页 :AB=4V5, AH=AB2-BH=4-42=45,4分) 设圆0半径为r,则A0=B0=rOH=4W2-r, 8H2+0H2=B02,即42+(4y2-r)2=r2 解得：r=3V2;(6分) (2)连接AD,如下图， B H :∠BAC=90°， ·∠C+∠CAH=∠CAH+∠BAH=90°， .∠C=∠BAH, ·tan∠C=tan∠BAH,即器=器， =， 解得CH=8, :CD=CH-DH=4,(10分) :S△4m=CD·AH=专×4×4V2=8V2.(12分) 24.(12分) 【详解】（1)解：：一条抛物线与x轴交于点A(-2,0)、点B(4,0) .设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4), 0B=0C,B(4,0), .0C=0B=4, 抛物线与y轴正半轴交于点C, .C(0,4), 把C(0,4)代入y=a(x+2)(x-4),得a(0+2)(0-4)=4,解得a=-支， y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+4, ·抛物线的对称轴为直线x=一2有=1， 试卷第1页，共3页 当x=1时，y=-号×12+1+4=号， D(1,);(3分) (2)解：①：∠CAB+∠0CA=90°，∠PAB+∠CAB=90°， ∴.∠PAB=∠OCA, :A(-2,0),C(0,4), ∴.0A=2,0C=4, tan∠0CA=器=克， .tan∠PAB=tan∠OCA=支， 设直线AP与y轴交于点B,则：tan∠PAB=焉=， 0E=1, :点P在第一象限， .E(0,1), 设直线AP的解析式为y=kx+1, 把A(-2,0)代入，得-2k+1=0,解得k=专， y=x十1， |y=x+1 ∫x=-2|x=3 联立y=-2+x+4,解得y=0或{y=, P(3,): -32-10123056 -2 (7分) ②设抛物线向右平移h(h>0)个单位，得到新的抛物线， :y=-x2+x+4=-(x-1)2+号， 试卷第1页，共3页 :平移后的抛物线的解析式为y=-(x-1-)2+, ·平移后的抛物线的顶点坐标为M(1+h), 由①知：P(3,), Q(3+h), 设N(m,n), 四边形PMQN为平行四边形， ∴PQ,MN为对角线， (3+3+h=m+1+h +=+号 1m=5 …n=克 N(5,), 把N(5,支)代入y=-(x-1-h)2+号，得-(5-1-h)2+号=克， 解得h=4-22或h=4+22: 即平移的距离为4-22或4+2√2个单位长度. BAN -3+21 01 234567891012x (12分) 25.(14分) 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABP=∠C=90°，AD‖BC,AB=CD, :将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处， ∠AEP=90°，BP=EP=4,EA=AB=CD, 即∠FEP=90°， 试卷第1页，共3页 PF=5, EF=V52-42=3, AD BC, ∴.△ADE△FPE, 部==能， 即鳄=罕=等，(2分) ∠FEP=∠C=90°，∠EPF=∠CPD, .△EPFM△CPD, 鄙=器=器， 即=咒=罗， EA=CD, 鳄=罗， 即鳄==孚=咢， 设鳄==罕=咒=k, .AD=PD=5k,DE=CP=4k, PD=DE+PE=4k+4=5k, k=4, AD=PD=5k=20,DE=CP=4k=16,) “=訾， 9=等， .AE=12, 即AB=12, 四边形ABCD的面积=AB×AD=12×20=240;(4分) (2)解：：将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处，BP=1 .∠APB=∠APE,BP=EP=1, BP=1,CP=2, 试卷第1页，共3页 .BC=3, ☐ABCD, .ADI BC,AD=BC=3, ∴.∠APB=∠DAP,∠ADP=∠DPC, 即∠APE=∠DAP, .PD=AD=3, DE=2, AD‖BC, .△ADE△FPE, 部=， 即品=子， 解得FP=, FC=,(6分) 如图，连接CE, E 设△PEF的面积是3S,则△CEF的面积是S, .△CEP的面积是4S, :EP=1,DE=2, .△CED的面积是8S, :四边形CDEF的面积是号， △CED的面积是号-S, 即8S=号-S, 解得：S=言， :.△CEP的面积是4S=号，△CED的面积是8S=号， 试卷第1页，共3页 :△CDP的面积是号+号=2， 作DG1BC交BC延长线于G, 则S△cDP=专×PC×DG=专×2×DG=2, 解得：DG=2, :PD=3 :sinDPC==, ∠ADP=∠DPC, sinzADP=号；(8分) (3)解：：将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处， ∴.∠APB=∠APE,BP=EP,∠BAP=∠EAP,△ABP≌△AEP,AB=AP=AE, :☐ABCD, .AD‖BC,AD=BC, ∴·∠APB=∠DAP,∠ADP=∠DPC, 即∠APE=∠DAP, .PD=AD, AB=AP, ∴∠APB=∠ABP, 即∠APB=∠ABP=∠APE=∠DAP, .△ABP△DAP, “器-器-品 :△ABP兰△AEP, ∴.△AEP∽△DAP “器-器-器 即器=彤=品=器=影， 设器=x,AD=a,则PD=AD=a, :器=部， 试卷第1页，共3页 “x=竖， 即AP=aX, :器=器=影， BP=EP=·AP=a·ax=a2x, .ED=PD-PE=a-ax2=a(1-x2), :ED>0,a>0, ∴.1-x2>0, 即x2<1, AD=BC=a,BP=a2x, ..CP=BC-BP=a-ax2=a(1-x2),(10) 如图，当点F在线段PC上时， D E B :CF=专PF, PF=号PC=号a(1-x2), :AD‖BC, .△ADEM△FPE, 部=， 小-9 a 即=， .3x2=2(1-x2)2, 整理得2x4-7x2+2=0, 解关于x2的方程得x2=生， 4 x2<1, 试卷第1页，共3页 2026年上海市初中中考第一次模拟考试试卷 数学·解析版 本试卷共三大题，共25小题，考试用时120分钟，满分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知欢欢今年a岁，欢欢妈妈的年龄是欢欢的4倍，欢欢外婆的年龄是欢欢妈妈年龄的2倍，那么8年后，欢欢的年龄最有可能的是（    ） A．9岁 B．12岁 C．17岁 D．25岁 【答案】C 【详解】解：∵欢欢今年a岁，妈妈年龄为岁，外婆年龄为岁． 又∵实际生活中外婆的年龄需符合合理范围（通常为岁左右）． ∴在之间，解得a的范围是． ∴8年后欢欢的年龄为，其范围是岁． 结合选项，只有岁在此范围内． ∴答案为C 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 3．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 4．为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【答案】A 【分析】此题主要考查了中位数、众数的运用，正确的理解题目意思是解题关键． 由题目已知可得，据此可以判断一定不随的变化而变化的是众数，中位数． 【详解】解：由题目已知，随机抽取的是名学生的中长跑成绩，根据图表可知： ， ， 一定不随的变化而变化的是众数，中位数， 故选A． 5．已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意， 则， ∴ 点的坐标为． 故选：B． 6．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．分解因式： ______． 【答案】 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．不等式组的正整数解是 ______． 【答案】， 【分析】先分别求出每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【详解】 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 可知整数解是3，4． 故答案为：3，4． 9．一元二次方程有两个相等的实数根，的值为___________． 【答案】 【详解】对于一元二次方程，其判别式为． 由于方程有两个相等的实数根，因此，即，解得， 所以 或． 故答案为:． 10．已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数性质，根据题意得，再根据反比例函数的增减性即可求解，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴在每个象限中，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 11．方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，二次根式的性质，原方程可化为：或，先解方程，再验根． 【详解】解：原方程可化为：或 或， ， 原方程的解为， 故答案为：． 12．抛物线的开口向上，那么a的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数大于0．据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴二次项系数， 解得． 故答案为：． 13．若事件、不会相互影响，事件发生的概率是，事件发生的概率是，则它们同时发生的概率是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查相互独立事件的概率计算，掌握两个相互独立事件同时发生的概率计算公式是解题的关键． 由于事件和相互独立，同时发生的概率等于各自概率的乘积． 【详解】解：若事件、不会相互影响，事件发生的概率是，事件发生的概率是，则它们同时发生的概率是：． 故答案为：． 14．某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 15．为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 【答案】660 【详解】解：设抽取学生调查中认为二次函数较难的有人， 则，解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以认为动点问题较难的同学占， （个）． 故答案为：660． 16．在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的_____倍（用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：万，亿， ， 故答案为：． 17．在矩形中，过点作，垂足为，以为斜边作直角三角形，与交于点．如果，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 通过作平行线构造相似三角形，列出比例式求解，结合点F的运动路径求解即可得出k取值范围． 【详解】解：过点C作交的延长线于点G，连接交于点O， 则， 所以， 因为四边形是矩形， 所以， 所以， 而， 所以， 因为以为斜边作直角三角形， 所以点F在以为直径的圆上运动， 当点F与点E重合时，P与F重合，此时，但不存在直角三角形， 故， 综上所述，． 因为， 所以， 故答案为：． 18．已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 【答案】 【详解】解：∵正六边形的边长为4， ∴外接圆半径， ∵正六边形的每条边都是外接圆的一条弦， ∴对应的圆心角为， 又∵， ∴为等边三角形， 取的中点G，连接并延长交于点H，则是点H到弦的最大距离； ∵为等边三角形， ∴，，， ∴， 在含的中，， ∴， ∴任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。 19．计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分数指数幂，掌握二次根式和分数指数幂的运算法则是解题的关键． 根据绝对值、分数指数幂、二次根式的性质化简，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．解分式方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，先对分母进行因式分解，再按照解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程可变为，， 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21．某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费.年用天然气量 310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出 310 立方米为第二档．某户应交天然气费 y（元） 与年用天然气量 x（立方米）的关系如图所示，观察图像并回答下列问题： (1)年用天然气量不超过 310 立方米时，求 y 关于 x 的函数解析式（不写定义域）； (2)小明家 2021 年一年天然气费为 1227 元，求小明家 2021 年年天然气使用量． 【答案】(1)y=300x (2)400 【详解】（1）设y与x的函数关系式为y=kx，将点（310，930）代入y=kx，得930=310k， 解得k=3， ∴函数关系式为y=3x； （2）∵1227＞930， ∴小明家得天然气费属于第二档． 设第二档的关系式为y=k1x+b1，将点（310，930），和点（320，963）代入，得 ， 解得， 所以关系式为y=3.3x-93． 当y=1227时，1227=3.3x-93， 解得x=400． 所以小明家2021年年天然气使用量时400立方米． 22．（1）在中，记、、的对边分别为a、b、c． ①如图1，当是等边三角形（即）时，的面积为________（结果用含a的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出a、b满足的数量关系________． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解一元二次方程； （1）①的高，再根据面积公式求解即可； ②如图，过点作的延长线于点，先求出，再根据面积公式求解即可； （2）由（1）①可得小等边三角形的面积为，由（1）②可得三个含的全等的三角形的面积为，得到大等边三角形的面积，再根据大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍，列方程求解即可． 【详解】解：（1）①的高， 的面积， 故答案为：； ②如图，过点作的延长线于点， 根据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （2）∵三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形， ∴小的等边三角形边长为， ∴由（1）①可得小等边三角形的面积为， 由（1）②可得三个含的全等的三角形的面积为， ∴大等边三角形的面积， ∵大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍， ∴， 化简得，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 23．如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接延长交于，连接，结合易得，由垂径定理可知，进而由勾股定理可解得得值，设圆半径为，则，然后由勾股定理解得的值即可； （2）连接，证明，由正切的定义可知，即，代入求得，易知，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图，连接延长交于，连接， ， ， ， ， ， ， 设圆半径为，则， ，即 解得：； （2）连接，如下图， ， ， ， ，即， ∴，解得， ， ． 24．在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 25．在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $