第六章 计数原理 单元测试卷【强化版】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 单元测试卷（强化版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．展开式中系数为无理数的项共有（    ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 【答案】D 【详解】因为展开式的通项公式为， 当时，展开式中系数为无理数项，共5项. 故选：D 2．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】二项式的展开式中所有二项式系数和为，所以. 故选：C 3．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 【答案】B 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙， 再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法． 故选：B. 4．的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】通项为常数项， 令可得， 所以， 故选：B． 5．用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 6．书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从5本杂志中任意挑选2本有种不同的选法， 其中挑选的杂志类型相同的选法有， 所以挑选的杂志类型相同的概率为. 故选：C. 7．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【详解】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 8．从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法， 再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种. 故选：C. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 10．关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大 【答案】BCD 【详解】展开式共项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确； 共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BCD 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 【答案】 【详解】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课， 其中只选1门知识类选修课的选法有种. 选2门知识类选修课的选法有种. 所以符合条件的选法有种. 故答案为：18. 13．若，则的值为______． 【答案】34 【详解】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 14．已知，则______． 【答案】 【详解】， 设，则， 解得， 设，则， 解得， 则. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．化简：. 【答案】 【详解】原式 . 16．已知等式成立，求的值． 【答案】0 【详解】令，得， 令，得， 所以. 17．在二项式的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为. （2）解：由题意可知，展开式的各项系数之和为. 18．甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)256 (2)48 【详解】（1）由题意知，甲可报名参加，，，四个社区医院任意一个，共有4种选择，同理乙、丙、丁同样有4种选择， 共有报名方法为. （2）将甲、乙看作一个整体，共有4种报名方法，丙不报社区医院，即有3种报名方法，丁有4种报名方法， 则共有报名方法种. 19．一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 【答案】(1)56 (2)21 (3)35 【详解】（1）解：因为共有8个球， 所以共有不同的取法种数为； （2）因为不取红球， 所以只要在7个白球中取5个球即可， 因此共有不同的取法种数为； （3）因为必须取红球， 所以只需在7个白球中再取4个球即可， 因此共有不同的取法种数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理 单元测试卷（强化版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．展开式中系数为无理数的项共有（    ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 2．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 4．的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 5．用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 6．书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 8．从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 13．若，则的值为______． 14．已知，则______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．化简：. 16．已知等式成立，求的值． 17．在二项式的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； 18．甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？ 19．一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $