第六章 计数原理 单元测试卷（基础版）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 第六章计数原理基础版单元卷，120分钟150分，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|排列数计算、二项式常数项、涂色问题|单选基础（如第3题报名问题），多选综合（如第9题排列方法判断）| |填空题|3题15分|小球分配、区域涂色、展开式系数|情境简洁，直接考察公式应用（如第12题盒子放球）| |解答题|5题77分|排列组合应用、二项式定理综合、有限制条件排列|分层设计，含实际情境（如第15题选课代表）和逻辑推理（如第18题相邻不相邻排列）|

第六章 计数原理单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 【答案】A 【详解】. 2．的展开式中的常数项为（    ） A．20 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得展开式的通项为， 令，即，所以展开式中的常数项为. 3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解． 【详解】由题可知，不同报法的种数是． 4．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 5．已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理即可直接求解. 【详解】选类，有6种选法， 选类，有4种选法， 选类，有5种选法， 选类，有4种选法， 故共有种. 【点睛】 6．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 7．除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意得， 又因为， 所以除以9的余数为. 8．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到第3行到第10行的各行的第4个数的和为，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】由二项式， 可得第3行到第10行的各行的第4个数的和为， 又由组合数的性质知：且 所以，即第3行到第10行的各行的第4个数的和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 【答案】BD 【分析】利用捆绑法可判断A，利用插空法可判断B，利用定序问题模型可判断C，利用间接法可判断D. 【详解】对于A，将看成一个整体，与全排列， 有种排法，A错误； 对于B，将排好，然后将安排在空位中，有种排法，B正确； 对于C，5人全排列，有种排法，在左边与在右边的情况数目相同， 则在左边的排法有60种，C错误； 对于D，不考虑限制条件，5人有种不同的排法， 由题意得站在最左边的排法有种，站在最右边的排法有种， 而站在最左边且站在最右边的排法种， 则有种不同的排法，D正确； 10．下列各式正确的是（   ） A．已知，则的取值为6或7 B． C．的展开式中的系数为 D．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 【答案】ABC 【分析】由组合数的性质和二项式定理，计数原理及排列组合可得. 【详解】对于A，由题意得或，解得或；故A正确 对于B，由， 所以，故B正确； 对于C，的展开式中的系数为，故C正确； 对于D，将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，故D错误. 11．已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法即可判断． 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则，所以，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 则，即，故C错误； 对于D，令，则， 所以，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 【答案】56 【详解】先把9个相同的小球排成一行，然后在9个小球之间的8个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有种. 13．用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【分析】分别确定“英语角”、“语文学苑”、“理综世界”、“数学天地”这四个区域所用粉笔的颜色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 14．若的展开式中的系数为30，则__________ 【答案】 【详解】因为的展开式的通项公式为，其中， 令，得，即， 所以的展开式中的系数为，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】(1)5400 (2)4620 【分析】（1）分类讨论有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，利用排列组合结合分类计数原理即可求解； （2）分类讨论男生甲入选和不入选，利用排列组合结合分类计数原理即可求解. 【详解】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． （2）因为女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的安排方法有：种； ②男生甲不入选的安排方法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 16．计算： (1)； (2)解方程：； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用组合数的计算公式求解； （2）根据排列数和组合数的计算公式解方程； （3）利用组合数的计算公式求解. 【详解】（1）； （2）由题知． 由且； （3）由题知 解得， 又，且 ， ∴不等式的解集为. 17．在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）二项式展开式的通项为. 其中， 前3项系数依次为，，. 由前3项系数成等差数列，得. 整理得，解得（舍去）. 令，即，解得. 代入通项得系数：. （2）有理项要求为整数，即是4的倍数. 又，故. ： ： ： 所以所求有理项为 18．包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 【答案】(1)5040 (2)240 (3)720 (4)1440 (5)840 【详解】（1）7人站成一排，共有种不同的排法. （2）先排甲、乙两人，共有种不同的排法， 再排其他人，共有种不同的排法， 所以共有种不同的排法. （3）把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队， 所以共有种不同的排法. （4）先排其余4人，再把甲乙丙插入4人形成的5个空位（含两端），保证均不相邻， 所以共有种不同的排法. （5）7人的全排列中，甲乙丙的相对顺序共种，仅1种符合要求， 所以共有种不同的排法. 19．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)18 (3) 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先左右求导，再应用赋值法计算求解； （3）应用换元法化简，再应用二项式通项公式计算求解. 【详解】（1）令，可得； （2）两边求导可得， 再令，可得； （3）令， 即求， 中的系数为， 所以. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 2．的展开式中的常数项为（    ） A．20 B．15 C． D． 3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（    ） A． B． C． D． 4．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 5．已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 6．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 7．除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 8．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 10．下列各式正确的是（   ） A．已知，则的取值为6或7 B． C．的展开式中的系数为 D．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 11．已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 13．用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 14．若的展开式中的系数为30，则__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 16．计算： (1)； (2)解方程：； (3)解关于的不等式：． 17．在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 18．包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 19．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $