8.5.2（2）直线与平面平行的性质 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.5 空间直线、平面的平行 §8.5.2（2） 直线与平面平行的性质【导学】 【导学目标】 1. 理解线面平行的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2. 会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理，并能证明一些空间位置关系的简单命题． 【导学重点】能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题． 【导学难点】利用直线与平面平行的性质定理证明空间平行问题. 【知识要点】 直线与平面平行的判定及性质 定理 条 件 结 论 图形语言 符号语言 简记 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 线线平行， 则线面平行. 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 线面平行， 则线线平行. 【方法归纳】线面平行的性质的应用 线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤： (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面； (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面； (3)确定交线； (4)由性质定理得出线线平行的结论． 典型例题 题型一 线面平行性质定理的理解 【例1-1】下列说法中正确的是(　　) ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行； ④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内． A． ①②③④　 B．①②③　　 C．②③④　　 D．①②④ 【例1-2】若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a、b、c…，那么这些交线的位置关系为(　　) A． 都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 【变式1-1】已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30°　　　　　　 B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 【变式1-2】下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　) A． a⊄α，b⊂α，a∥b B．b⊂α，a∥b C．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD 题型二 线面平行性质定理的应用 【例2-1】如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形． 【例2-2】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 【思路探究】　先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解． 【解析】已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β. 求证：a∥l. 证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b， ∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c， ∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β. 又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l. 又∵a∥b，∴a∥l. 【例2-3】若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行． 【解析】　已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l. 求证：a∥b∥l. 证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β， ∴a∥β， 又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b， ∴a∥b∥l. 题型三 线面平行性质定理的综合应用 【例3-1】(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， 下列命题中，正确的有(　　) A． BM∥平面DE B．CN∥平面AF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF 【例3-2】如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，求GH. 【例3-3】如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值． 【变式3】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为(　　) A． AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45° 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.5 空间直线、平面的平行 §8.5.2（2） 直线与平面平行的性质【导学】【解析】 【导学目标】 1. 理解线面平行的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2. 会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理，并能证明一些空间位置关系的简单命题． 【导学重点】能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题． 【导学难点】利用直线与平面平行的性质定理证明空间平行问题. 【知识要点】 直线与平面平行的判定及性质 定理 条 件 结 论 图形语言 符号语言 简记 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 线线平行， 则线面平行. 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 线面平行， 则线线平行. 【方法归纳】线面平行的性质的应用 线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤： (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面； (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面； (3)确定交线； (4)由性质定理得出线线平行的结论． 线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． (7)垂直于同一条直线的两个平面平行． (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 典型例题 题型一 线面平行性质定理的理解 【例1-1】下列说法中正确的是(　　) ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行； ④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内． A． ①②③④　 B．①②③　　 C.②③④　　 D．①②④ 【答案】D 【例1-2】在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C∥平面BC1D，则D为(　　) A．棱AB的中点　　　 B．棱A1B1的中点 C．棱BC的中点 D．棱AA1的中点 【答案】B 【解析】：如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E， ∵A1E∥BD，DC1∥EC，DC1∩BD＝D， ∴平面A1CE∥平面BC1D，又A1C⊂平面A1CE， 则A1C∥平面BC1D． 故选B． 题型二 线面平行性质定理的应用 【例2-1】如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形． 【证明】∵平面MNPQ与AB平行，平面ABC与平面MNPQ的交线为MN， 且AB⊂平面ABC，根据线面平行的性质定理，可得：MN∥AB 同理，平面ABD与平面MNPQ的交线为PQ，且AB⊂平面ABD，根据线面平行的性质定理，可得：PQ∥AB 由MN∥AB且PQ∥AB，得：MN∥PQ 又∵已知平面MNPQ与CD平行，平面ACD与平面MNPQ的交线为MQ，且CD⊂平面ACD，可得：MQ∥CD 同理，平面BCD与平面MNPQ的交线为NP，且CD⊂平面BCD，根据线面平行的性质定理，可得：NP∥CD 由MQ∥CD且NP∥CD，根据平行公理，得：MQ∥NP 【例2-2】如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG． 证明：FG∥平面AA1B1B． 【证明】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D， 所以CC1∥平面BB1D． 又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG． 因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG． 而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B， 所以FG∥平面AA1B1B． 【例2-3】若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行． 【解析】　已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l. 求证：a∥b∥l. 【证明】如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β， ∴a∥β， 又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b， ∴a∥b∥l. 题型三 线面平行性质定理的综合应用 【例3-1】(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， 下列命题中，正确的有(　　) A． BM∥平面DE B．CN∥平面AF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF 【答案】BCD 【例3-2】如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，求GH. 【解析】∵平面AGF∥平面PEC，平面AGF∩平面PCD=GF，平面PEC∩平面PCD=PC， 根据面面平行的性质定理，可得：GF∥PC 又∵F是CD的中点，∴G是PD的中点。 ∵ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE∥DF且AE=DF， 故四边形AEDF是平行四边形，因此H是ED的中点。 在△PDE中，G是PD的中点，H是ED的中点，根据三角形中位线定理， 可得：GH∥PE且GH=PE ∵PA=PB=AB=2，E是AB的中点，∴PE⊥AB，且AE=1. 在Rt△PAE中， 由勾股定理： 因此：GH=PE=.​ 【例3-3】如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值． 【解析】∵ABCD是菱形，∴BC=CD，且E、F分别是BC、CD的中点， ∴CE=CF，△CEF是等腰三角形. 又∵菱形对角线平分内角， ∴AC平分∠BCD，因此AC⊥EF，且O是EF的中点. 在菱形ABCD中，E、F为中点， ∴EF∥BD，且O是AC上靠近C的三等分点， 即AO:OC=2:1. 连接MO，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=MO， 根据线面平行的性质定理，可得PC∥MO。 在△PAC中，MO∥PC， ∴△AMO∼△APC，因此AP：AM=AC：AO. ∵AO:OC=2:1， ∴AO:AC=2:3，即AP：AM=3：2，则PM：AM=1：2， ∴PM:MA=1:2. 【例3-4】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：GH∥平面PAD． 【证明】：如图，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点．又M是PC的中点， 所以AP∥OM．又知OM⊂平面BMD，AP⊄平面BMD． 根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD． 因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG． 根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH． 因为GH⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以GH∥平面PAD． 【例3-5】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为(　　) A． AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45° 【答案】C 【解析】选项 A：AC⊥BD 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，且PQ⊥QM。 PQ∥MN，MN⊂平面ACD，PQ⊂平面ACD，所以PQ∥平面ACD。 平面ABC∩平面ACD=AC，PQ⊂平面ABC，所以PQ∥AC。 同理，QM∥BD。 因为PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故选项 A对； 选项 B：AC∥ 截面PQMN 由选项 A 的分析可知PQ∥AC，且PQ⊂ 截面PQMN，AC⊂截面PQMN，所以AC∥ 截面PQMN。 故选项 B对； 选项 C：AC=BD 由PQ∥AC，QM∥BD，且PQMN是正方形，可得PQ=QM，只有当BM=CM时，AC=BD，题目中没有这个条件，所以AC不一定等于BD。故选项 C错； 选项 D：异面直线PM与BD所成的角为450, 因为QM∥BD，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,又因为PQMN是正方形，所以∠PMQ=450，即异面直线PM与BD所成的角为450。故选项 D对； 【答案】C 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $