专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期中复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 平面向量数量积的运算 题型二 平面向量的模长问题 题型三 平面向量垂直问题 题型四 平面向量的夹角问题 题型五 平面向量的投影问题 题型六 四心问题 题型七 两角和与差的三角公式 题型八 倍角公式与半角公式 题型九 和差化积与积化和差 题型十 三角恒等变换给角求值问题 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 题型十三 三角恒等变换化简证明 题型十四 三角恒等变换的实际应用 题型十五 向量与三角函数的综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量夹角与数量积定义 能准确计算向量夹角，熟练运用数量积定义求数值与判断垂直关系 小题高频考点，易忽略向量共起点与零向量特殊规定 数量积的性质与运算律 能运用运算律化简数量积，区分不满足结合律，会求模与夹角 中档必考题，易混淆运算律与多项式乘法，易漏非零向量前提 数量积坐标运算 能通过坐标计算数量积、模长、夹角，快速判定向量垂直 高考必考基础点，常与解析几何结合，坐标计算易出错 两角和差公式（正、余、切） 能正用、逆用、变用公式完成三角式化简与求值 恒等变换核心，公式符号易混，正切需注意定义域限制 二倍角公式与升降幂 能灵活运用二倍角及变形公式进行升幂、降幂、扩角、缩角 高频考点，多用于化简、求周期/最值，降幂公式使用最频繁 辅助角公式 能将化为标准正弦型函数，确定振幅与相位 解答题必考，是求三角函数周期、单调性、最值的必备工具 半角公式与和差化积、积化和差 能使用半角公式求值，掌握和差化积、积化和差的化简思路 中档拓展考点，多用于复杂化简，符号判断与公式记忆易错 知识点01 数量积的概念及运算 一、数量积基础概念 1．向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与同向；当时，与反向；时（向量垂直） 2．向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为实数 （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为 （3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功（为与的夹角） 3．投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与共线的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的乘积，也等于与在方向上投影向量的模的乘积 二、性质与运算律 1．性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）夹角公式：； （5）模长不等关系： 2．基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：； 3．夹角特殊判定 （1）夹角为锐角且、不共线（2）夹角为钝角且、不共线 ·示例：（成立）；（不成立） ·易错：锐角/钝角的判定：不一定是锐角，还要排除共线同向。 三、数量积求解方法 1．定义法 已知及夹角，直接用；关键：两向量始点重合，否则平移调整 2．运算律转化法 利用运算律推导公式转化求解，常用：； ； 3．线性运算转化法 针对平面图形中的数量积，结合向量线性运算，将未知向量转化为模长、夹角已知的向量后再计算 知识点02 数量积的坐标运算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 ·示例：，，则。 垂直判定：。 ·易错：坐标相乘再相加，不要算成模长乘积。 知识点03 两角和差的余弦、正弦、正切 一、两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：: 2．两角差的余弦公式：: 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如 二、两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：: 2．两角差的正弦公式：: 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如 三、两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：: 2．两角差的正切公式：: 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形： 知识点04 二倍角公式及三角恒等变换 一、二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：；变形 2．二倍角的余弦（）：= 3．二倍角的正切（）： 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 二、辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． ·示例： ·易错：提取系数是平方和开方，不是直接提系数。 三、半角公式 ＝±，＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 四、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 ； ； 2、和差化积公式 ； ； 3、万能公式 ； ； 题型一 平面向量数量积的运算 例1．已知是边长为2的等边三角形，则___________． 变式1-1．已知点，向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 变式1-2．在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 变式1-3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE的中点，则的值为______． 题型二 平面向量的模长问题 解｜题｜技｜巧 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方 例2．已知向量，满足，，则________． 变式2-1．已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．已知向量，满足，，且，则______. 变式2-3．已知向量，． (1)若向量与共线，求实数k的值； (2)是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型三 平面向量垂直问题 例3．已知向量满足，，，则______． 变式3-1．已知，且向量与向量垂直，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 变式3-2．已知非零向量满足，则___________． 变式3-3．已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)若，求的值． 题型四 平面向量的夹角问题 解｜题｜技｜巧 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 例4．已知，则和的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型五 平面向量的投影问题 解｜题｜技｜巧 已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算. 例5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知两个粒子、从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为____________． 变式5-2．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 题型六 四心问题 例6．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 变式6-1．在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 变式6-2．已知是的重心，，，，则______． 变式6-3．若O为的外心，且，则______． 题型七 两角和与差的三角公式 例7．已知为第一象限角，，，则________． 变式7-1．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，且，，则值是______． 变式7-3．已知，则______. 题型八 倍角公式与半角公式 例8．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式8-1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 变式8-2．已知为锐角，且，则______. 变式8-3．已知，.则__________. 题型九 和差化积与积化和差 例9．计算______. 变式9-1．求值：． 变式9-2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式9-3．（多选）已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 题型十 三角恒等变换给角求值问题 例10．（多选）下列各式中值为1的是（    ） A． B． C． D． 变式10-1．___________. 变式10-2．________. 变式10-3．若，则___________. 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 解｜题｜技｜巧 凑角转化：若已知角与目标角非直接二倍关系，将目标角凑为已知角的二倍，再代公式计算；若含平方，可利用的变形公式进行降幂转化。 分步计算：先求已知角的相关三角值，再代入二倍角公式，步步验证符号，确保计算准确。 例11．若，且，则_____. 变式11-1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式11-2．已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式11-3．已知，，且，．求． 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 例12．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式12-1．已知，均为锐角，，，则______，______. 变式12-2．若，，，，则______. 变式12-3．已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 题型十三 三角恒等变换化简证明 例13．已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 变式13-1．（1）证明：； （2）化简：． 变式13-2．已知，求证：. 变式13-3．求证：. 题型十四 三角恒等变换的实际应用 例14．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为__________. 变式14-1．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 变式14-2．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）． A． B． C． D． 变式14-3．某手工制作活动，需要在半径为，圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一个平行四边形，如图所示，则这个平行四边形的面积最大值为______． 题型十五 向量与三角函数的综合 例15．已知直线是函数图象的对称轴，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式15-1．（多选）已知函数，，，则（   ） A．，的图象都关于点对称 B．，的图象都关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象 变式15-2．已知向量；，函数 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围； 变式15-3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若方程在内恰有两个实根，则的取值范围为 D．若函数（）在上单调递减，则的取值范围是 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·广东佛山·月考）的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·26高一下·上海·月考）如图，将9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是大正方形中两个已固定的格点，是大正方形中除、外其余所有格点，计算，则这些计算结果中，一共有多少种不同的数值（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．（2025·26高一下·四川内江·月考）在中，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·26高一下·上海·月考）将函数的图像关于对称，则实数______. 5．（2025·26高一下·吉林长春·月考）已知三点A，B，C满足，，，则的值为______. 6．（2025·26高一上·湖南郴州·期末）如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为4时，则的大小为__________.    7．（2025·26高一下·上海·月考）已知：、是同一平面内的两个向量，其中. (1)若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，与共线且，求. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（2025·26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·26高一下·安徽滁州·月考）已知为单位向量，若，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．6 10．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 11．（2024·25高一下·吉林长春·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值； (2)设，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（2025·26高三上·河北秦皇岛·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·26高三上·陕西西安·月考）小华为了测量某旗杆的高度，选择了，（与该旗杆底部在同一水平直线上且在，之间）两个测量点，且，之间的距离为10米.小华从点正上方的高台处，观测到旗杆顶部的仰角为，观测到旗杆底部的俯角为，从点正上方的高台处（与同高），观测到旗杆顶部的仰角为，则该旗杆的高度（   ） A．15米 B．米 C．米 D．20米 14．（2026·浙江金华·二模）（多选）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 平面向量数量积的运算 题型二 平面向量的模长问题 题型三 平面向量垂直问题 题型四 平面向量的夹角问题 题型五 平面向量的投影问题 题型六 四心问题 题型七 两角和与差的三角公式 题型八 倍角公式与半角公式 题型九 和差化积与积化和差 题型十 三角恒等变换给角求值问题 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 题型十三 三角恒等变换化简证明 题型十四 三角恒等变换的实际应用 题型十五 向量与三角函数的综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量夹角与数量积定义 能准确计算向量夹角，熟练运用数量积定义求数值与判断垂直关系 小题高频考点，易忽略向量共起点与零向量特殊规定 数量积的性质与运算律 能运用运算律化简数量积，区分不满足结合律，会求模与夹角 中档必考题，易混淆运算律与多项式乘法，易漏非零向量前提 数量积坐标运算 能通过坐标计算数量积、模长、夹角，快速判定向量垂直 高考必考基础点，常与解析几何结合，坐标计算易出错 两角和差公式（正、余、切） 能正用、逆用、变用公式完成三角式化简与求值 恒等变换核心，公式符号易混，正切需注意定义域限制 二倍角公式与升降幂 能灵活运用二倍角及变形公式进行升幂、降幂、扩角、缩角 高频考点，多用于化简、求周期/最值，降幂公式使用最频繁 辅助角公式 能将化为标准正弦型函数，确定振幅与相位 解答题必考，是求三角函数周期、单调性、最值的必备工具 半角公式与和差化积、积化和差 能使用半角公式求值，掌握和差化积、积化和差的化简思路 中档拓展考点，多用于复杂化简，符号判断与公式记忆易错 知识点01 数量积的概念及运算 一、数量积基础概念 1．向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与同向；当时，与反向；时（向量垂直） 2．向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为实数 （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为 （3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功（为与的夹角） 3．投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与共线的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的乘积，也等于与在方向上投影向量的模的乘积 二、性质与运算律 1．性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）夹角公式：； （5）模长不等关系： 2．基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：； 3．夹角特殊判定 （1）夹角为锐角且、不共线（2）夹角为钝角且、不共线 ·示例：（成立）；（不成立） ·易错：锐角/钝角的判定：不一定是锐角，还要排除共线同向。 三、数量积求解方法 1．定义法 已知及夹角，直接用；关键：两向量始点重合，否则平移调整 2．运算律转化法 利用运算律推导公式转化求解，常用：； ； 3．线性运算转化法 针对平面图形中的数量积，结合向量线性运算，将未知向量转化为模长、夹角已知的向量后再计算 知识点02 数量积的坐标运算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 ·示例：，，则。 垂直判定：。 ·易错：坐标相乘再相加，不要算成模长乘积。 知识点03 两角和差的余弦、正弦、正切 一、两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：: 2．两角差的余弦公式：: 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如 二、两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：: 2．两角差的正弦公式：: 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如 三、两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：: 2．两角差的正切公式：: 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形： 知识点04 二倍角公式及三角恒等变换 一、二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：；变形 2．二倍角的余弦（）：= 3．二倍角的正切（）： 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 二、辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． ·示例： ·易错：提取系数是平方和开方，不是直接提系数。 三、半角公式 ＝±，＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 四、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 ； ； 2、和差化积公式 ； ； 3、万能公式 ； ； 题型一 平面向量数量积的运算 例1．已知是边长为2的等边三角形，则___________． 【答案】 【详解】依题意可知和的夹角为， 所以. 变式1-1．已知点，向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由可得，又， 所以， 所以． 故选：D． 变式1-2．在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【答案】A 【详解】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 变式1-3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE的中点，则的值为______． 【答案】 【详解】如图：以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. 则，，，. 由，得分的比为，故. 为中点，故，即. ，. . 题型二 平面向量的模长问题 解｜题｜技｜巧 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方 例2．已知向量，满足，，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 即， 整理得， 又因为， 所以， 则， 所以． 变式2-1．已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，则 所以，因此充分性成立. 若，则， 即，即， 从而，即，因此必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 变式2-2．已知向量，满足，，且，则______. 【答案】 【详解】因为， 所以，展开得：， 代入得： ， 对两边平方得： ， 展开左边： ， 代入、， ​计算： ， 即 ， 因为模长为非负数，所以. 变式2-3．已知向量，． (1)若向量与共线，求实数k的值； (2)是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】 【详解】（1）因为向量，，则，， 若向量与共线，则，解得. （2）因为向量，，则，， 若，则， 整理可得，解得或. 题型三 平面向量垂直问题 例3．已知向量满足，，，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. 变式3-1．已知，且向量与向量垂直，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 又， 即，解得：. 变式3-2．已知非零向量满足，则___________． 【答案】 【详解】， ， 设， 则， ． 变式3-3．已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 即. 题型四 平面向量的夹角问题 解｜题｜技｜巧 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 例4．已知，则和的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则. 变式4-1．已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则， ， ，设， ，， ． 变式4-2．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得. 当与共线时，，此时和反向，不满足题意. 故的取值范围为. 变式4-3．如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题图，知，，又，所以，则． 题型五 平面向量的投影问题 解｜题｜技｜巧 已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算. 例5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 而，， 所以在上的投影向量为. 变式5-1．已知两个粒子、从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为____________． 【答案】 【详解】因为，， 所以与的夹角的余弦值为． 在上的投影向量为． 故答案为： 变式5-2．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量在方向上的投影向量为， 故选：A. 变式5-3．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 题型六 四心问题 例6．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】C 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 变式6-1．在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】A 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确. 故选：A. 变式6-2．已知是的重心，，，，则______． 【答案】 【详解】是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 变式6-3．若O为的外心，且，则______． 【答案】0 【详解】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 题型七 两角和与差的三角公式 例7．已知为第一象限角，，，则________． 【答案】 【详解】为第一象限角，，， 又，， 则， . 变式7-1．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 变式7-2．已知，且，，则值是______． 【答案】 【详解】由，，则，，； 根据，所以， 因此. 又因为，则，， 所以. 变式7-3．已知，则______. 【答案】 【详解】根据题意， ， 所以， 所以. 题型八 倍角公式与半角公式 例8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， ， 故. 变式8-1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . （4）原式 . 变式8-2．已知为锐角，且，则______. 【答案】2 【详解】由正切二倍角公式得： ， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 因为为锐角，，所以舍去，故. 变式8-3．已知，.则__________. 【答案】 【详解】由函数 ， 因为，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 题型九 和差化积与积化和差 例9．计算______. 【答案】2 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 变式9-1．求值：． 【答案】 【详解】原式 ． 变式9-2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 变式9-3．（多选）已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】， 所以或， 所以或， 解得：或， 又，所以， 所以A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以， 即， 所以， 所以，故C错误； 对于D， ，故D正确. 题型十 三角恒等变换给角求值问题 例10．（多选）下列各式中值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：，符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意 故选：AC 变式10-1．___________. 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 变式10-2．________. 【答案】 【详解】由题意得 ． 故答案为． 【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换． 变式10-3．若，则___________. 【答案】 【详解】 故答案为： 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 解｜题｜技｜巧 凑角转化：若已知角与目标角非直接二倍关系，将目标角凑为已知角的二倍，再代公式计算；若含平方，可利用的变形公式进行降幂转化。 分步计算：先求已知角的相关三角值，再代入二倍角公式，步步验证符号，确保计算准确。 例11．若，且，则_____. 【答案】 【详解】因为，所以 原等式即， 整理得：. 又，， 所以，即， 因为，所以，因此得 两边平方得， 整理得：. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，核心用到二倍角公式、两角差正弦公式与同角三角函数平方关系，运用因式分解和整体代换简化运算，避免单独求解和的繁琐计算 变式11-1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1：因为，即， 解得，所以． 解法2：因为，即， 因为，所以，． 变式11-2．已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 根据积化和差公式，. 因此. 变式11-3．已知，，且，．求． 【答案】 【详解】∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 例12．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 变式12-1．已知，均为锐角，，，则______，______. 【答案】 【详解】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 变式12-2．若，，，，则______. 【答案】 【详解】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 故答案为： 变式12-3．已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，解得， 所以. （2）因为，则， 则，可得， 所以， 则， 又因为，则， 所以. 题型十三 三角恒等变换化简证明 例13．已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 变式13-1．（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 变式13-2．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】左边， 右边， 因此，. 变式13-3．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明： 所以原等式成立． 题型十四 三角恒等变换的实际应用 例14．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 变式14-1．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 【答案】B 【详解】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示 设，则，， 由，，得， 则，， ， 当，即时，OB取得最大值， 此时 故选：B. 变式14-2．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知，，， 所以，在中，， 所以，其矩形木料的面积为. 故选：D 变式14-3．某手工制作活动，需要在半径为，圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一个平行四边形，如图所示，则这个平行四边形的面积最大值为______． 【答案】 【详解】如图，分别过，作于点，于点， 则四边形为矩形． 设, 由扇形半径为，圆心角为， 得，， 则， 则平行四边形的面积为， 故当时，. 题型十五 向量与三角函数的综合 例15．已知直线是函数图象的对称轴，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且直线是图象的对称轴，所以， 解得，由于，所以a的最小值为. 变式15-1．（多选）已知函数，，，则（   ） A．，的图象都关于点对称 B．，的图象都关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象 【答案】AC 【详解】对A，关于中心对称，也关于中心对称，故A正确； 对B，的一条对称轴为， 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对C，， 的图象向左平移个单位长度，可得到，故C正确； 对D，图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数，故D错误. 变式15-2．已知向量；，函数 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围； 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）已知向量；， 则 , 所以最小正周期， 令，可得， 所以的单调递减区间是. （2）（ⅰ）将函数的图象先向左平移个单位， 得， 再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数； （ⅱ）当时，， 由有两个解，可得有两个解， 根据，由正弦函数图象可得， 得. 变式15-3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若方程在内恰有两个实根，则的取值范围为 D．若函数（）在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】 ，故A正确； ，故B错误； ，则， 因为方程在内恰有两个实根， 则，与的图象有2个交点， 结合图形可知，，则的取值范围为，故C正确； （） 若，则 因为在上单调递减， 所以， 则，得， 因为，，所以，则，此时， 则的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·广东佛山·月考）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 2．（2025·26高一下·上海·月考）如图，将9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是大正方形中两个已固定的格点，是大正方形中除、外其余所有格点，计算，则这些计算结果中，一共有多少种不同的数值（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【详解】设大正方形的左下角顶点为坐标原点，则点坐标为，因此向量 所有格点 的坐标为 ，其中，且排除、，共14个点， 设向量，则， 因为的可能取值为（对应不同列的格点），所以的取值为： 当时：， 当时：， 当时：， 当时：， 所以共4种 不同的数值. 3．（2025·26高一下·四川内江·月考）在中，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】在中，，因为，所以， 所以，整理得：， 所以. 4．（2025·26高一下·上海·月考）将函数的图像关于对称，则实数______. 【答案】 【详解】函数 ，其中， 由函数图象关于对称．可知， 解得，故，所以. 5．（2025·26高一下·吉林长春·月考）已知三点A，B，C满足，，，则的值为______. 【答案】 【详解】由题意得，所以， 则， 又，，， 所以， 解得. 6．（2025·26高一上·湖南郴州·期末）如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为4时，则的大小为__________.    【答案】/ 【详解】设，，则，，，， ，所以， 即，两边平方整理得， 即，因为，所以，所以. 故答案为： 7．（2025·26高一下·上海·月考）已知：、是同一平面内的两个向量，其中. (1)若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，与共线且，求. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】 【详解】（1）由题意，，，则，， 又与的夹角为钝角， 则且与不共线， 所以，解得且， 综上所述，实数的取值范围为； （2）由题意，，，则， 设，因为与共线且， 所以，解得或， 所以或. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（2025·26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，且，即， 所以，且， 则. 故选：D. 9．（2025·26高一下·安徽滁州·月考）已知为单位向量，若，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】不妨设，因为， 则可设， 又，则，所以， 所以或， 当时，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； 当时，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 综上所述，的最小值为. 10．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 11．（2024·25高一下·吉林长春·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 则， 因为就是的夹角，所以的余弦值为. （2）由题意得，， 因为D、M、E三点共线，所以，且， 则，解得. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（2025·26高三上·河北秦皇岛·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，则， 又由，所以， 所以 ． 故选：C． 13．（2025·26高三上·陕西西安·月考）小华为了测量某旗杆的高度，选择了，（与该旗杆底部在同一水平直线上且在，之间）两个测量点，且，之间的距离为10米.小华从点正上方的高台处，观测到旗杆顶部的仰角为，观测到旗杆底部的俯角为，从点正上方的高台处（与同高），观测到旗杆顶部的仰角为，则该旗杆的高度（   ） A．15米 B．米 C．米 D．20米 【答案】D 【详解】如图，作，垂足为，则. 由题意可得，，， 则，，所以. 因为，所以， 所以米. 因为，且， 所以，， 所以米， 则米. 故选：D 14．（2026·浙江金华·二模）（多选）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意知，，，， 因为， 所以，故， 对于A，当时，则，此时，， 所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确； 对于B，因，故，即，故B错误； 对于C，当时，将代入得， 解得满足，故C正确； 对于D，当时，，代入得， 即满足，故D正确. 15．（2024·25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 【答案】 【详解】延长AC，使得， 令可知B，G，D三点共线， 时为AG最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，， 取NC中点为H， ，, 所以 所以. 即求的最小值， 当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为： 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $